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1.若等腰三角形的两边长分别为7和12，则这个等腰三角形的周长为
·变式题组·
(1)[条件变式][2025·阜阳期末]若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为
(2)[逆向变式][开放性问题][2025·南京中考]若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是
26或31
.·变式题组·
(1)[条件变式][2025·阜阳期末]若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为
24
.(2)[逆向变式][开放性问题][2025·南京中考]若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是
5(答案不唯一)
（写出一个即可）.答案
1.26或31
(1)24
(2)5(答案不唯一)
(1)24
(2)5(答案不唯一)
解析
【分析】
解决等腰三角形边长、周长类问题，首先要明确：当腰长和底边长未明确给出时，需要分类讨论两种情况：①已知的其中一边为腰长，另一边为底边长；②交换腰和底的长度。其次每一种情况都要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）检验是否能构成三角形，排除不符合的情况后再计算周长。第(2)问是逆向问题，可先设腰长为未知数，根据周长表示出底边长，再结合三边关系求出腰长的取值范围，在范围内任取一个合理值即可。
【解析】
1. 分两种情况讨论：
① 若腰长为7，底边长为12，此时三边长为7、7、12，满足7+7＞12，可构成三角形，周长为$7+7+12=26$；
② 若腰长为12，底边长为7，此时三边长为12、12、7，满足$12+7＞12$，可构成三角形，周长为$12+12+7=31$。
(1) 分两种情况讨论：
① 若腰长为4，底边长为10，此时三边长为4、4、10，$4+4=8＜10$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为10，底边长为4，此时三边长为10、10、4，满足$10+4＞10$，可构成三角形，周长为$10+10+4=24$。
(2) 设等腰三角形的腰长为$a$，则底边长为$12-2a$，根据三角形三边关系可得不等式组：
$\begin{cases}2a＞12-2a \\12-2a＞0 \end{cases}$
解第一个不等式得$a＞3$，解第二个不等式得$a＜6$，即腰长的取值范围是$3＜a＜6$，因此腰长可以取该区间内的任意值。
【答案】
1.26或31
(1)24
(2)5（答案不唯一）
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.三角形三边关系
3.分类讨论思想
【点评】
本题组围绕等腰三角形的边长、周长问题设置，核心考查分类讨论的思维，解题时需注意当腰和底不明确时必须分类讨论，且每类情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免出现错解、漏解的情况，开放性问题只需在取值范围内任选合理值即可。
【难度系数】
0.7
解决等腰三角形边长、周长类问题，首先要明确：当腰长和底边长未明确给出时，需要分类讨论两种情况：①已知的其中一边为腰长，另一边为底边长；②交换腰和底的长度。其次每一种情况都要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）检验是否能构成三角形，排除不符合的情况后再计算周长。第(2)问是逆向问题，可先设腰长为未知数，根据周长表示出底边长，再结合三边关系求出腰长的取值范围，在范围内任取一个合理值即可。
【解析】
1. 分两种情况讨论：
① 若腰长为7，底边长为12，此时三边长为7、7、12，满足7+7＞12，可构成三角形，周长为$7+7+12=26$；
② 若腰长为12，底边长为7，此时三边长为12、12、7，满足$12+7＞12$，可构成三角形，周长为$12+12+7=31$。
(1) 分两种情况讨论：
① 若腰长为4，底边长为10，此时三边长为4、4、10，$4+4=8＜10$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为10，底边长为4，此时三边长为10、10、4，满足$10+4＞10$，可构成三角形，周长为$10+10+4=24$。
(2) 设等腰三角形的腰长为$a$，则底边长为$12-2a$，根据三角形三边关系可得不等式组：
$\begin{cases}2a＞12-2a \\12-2a＞0 \end{cases}$
解第一个不等式得$a＞3$，解第二个不等式得$a＜6$，即腰长的取值范围是$3＜a＜6$，因此腰长可以取该区间内的任意值。
【答案】
1.26或31
(1)24
(2)5（答案不唯一）
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.三角形三边关系
3.分类讨论思想
【点评】
本题组围绕等腰三角形的边长、周长问题设置，核心考查分类讨论的思维，解题时需注意当腰和底不明确时必须分类讨论，且每类情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免出现错解、漏解的情况，开放性问题只需在取值范围内任选合理值即可。
【难度系数】
0.7
2.某等腰三角形的周长是21 cm，一条腰上的中线把其周长分成差为3 cm的两部分，该三角形的腰长是
8或6
cm.答案
2.8或6
解析
【分析】
解题时首先设腰长为x cm，可得底边长为(21-2x)cm。腰上的中线分周长得到的两部分均包含中线长度，因此两部分的周长差实际是“腰长+半腰长”与“底边长+半腰长”的差，即腰长和底边长的差为3cm，此处需分两种情况讨论：一是腰比底边长3cm，二是底比腰长3cm，分别列方程求解后，还要验证所得三边长是否满足三角形三边关系，排除无法构成三角形的情况。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为x cm，则底边长为(21-2x)cm，分两种情况讨论：
① 腰长比底边长3cm，列方程：
$x - (21 - 2x) = 3$
解得 $x=8$
此时三边长为8cm、8cm、5cm，满足$8+5＞8$，可构成三角形；
② 底边长比腰长3cm，列方程：
$(21 - 2x) - x = 3$
解得 $x=6$
此时三边长为6cm、6cm、9cm，满足$6+6＞9$，可构成三角形。
【答案】
8或6
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题易错点为忽略分类讨论只得到一种解，或解出边长后未验证是否满足三角形三边关系，解题时需注意对不确定的边长关系分类讨论，同时要验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
解题时首先设腰长为x cm，可得底边长为(21-2x)cm。腰上的中线分周长得到的两部分均包含中线长度，因此两部分的周长差实际是“腰长+半腰长”与“底边长+半腰长”的差，即腰长和底边长的差为3cm，此处需分两种情况讨论：一是腰比底边长3cm，二是底比腰长3cm，分别列方程求解后，还要验证所得三边长是否满足三角形三边关系，排除无法构成三角形的情况。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为x cm，则底边长为(21-2x)cm，分两种情况讨论：
① 腰长比底边长3cm，列方程：
$x - (21 - 2x) = 3$
解得 $x=8$
此时三边长为8cm、8cm、5cm，满足$8+5＞8$，可构成三角形；
② 底边长比腰长3cm，列方程：
$(21 - 2x) - x = 3$
解得 $x=6$
此时三边长为6cm、6cm、9cm，满足$6+6＞9$，可构成三角形。
【答案】
8或6
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；分类讨论
【点评】
本题易错点为忽略分类讨论只得到一种解，或解出边长后未验证是否满足三角形三边关系，解题时需注意对不确定的边长关系分类讨论，同时要验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
3.若等腰三角形的一个内角是 $ 70° $，则它底角的度数是
·变式题组·
(1)[条件变式][2025·潜山期末]若等腰三角形的一个外角是 $ 128° $，则这个等腰三角形的顶角的度数是
(2)[条件变式]在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ B = 50° $，则 $ ∠ A $ 的度数为
70°或55°
.·变式题组·
(1)[条件变式][2025·潜山期末]若等腰三角形的一个外角是 $ 128° $，则这个等腰三角形的顶角的度数是
76°或52°
.(2)[条件变式]在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ B = 50° $，则 $ ∠ A $ 的度数为
65°或80°或50°
.答案
3.70°或55°
(1)76°或52°
(2)65°或80°或50°
(1)76°或52°
(2)65°或80°或50°
解析
【分析】
解决等腰三角形角度计算问题时，若题目未明确给出的角是顶角还是底角、外角对应顶角还是底角，必须分情况讨论，最后每种情况都要用三角形内角和为180°验证是否成立，避免漏解或错解。
1. 第3题：给出的70°内角可能是顶角也可能是底角，两种情况分别计算底角度数即可，均符合内角和要求。
2. 第(1)题：先根据外角与相邻内角互补求出对应内角的度数，再分这个内角是顶角还是底角两种情况，计算对应顶角的度数。
3. 第(2)题：给出的∠B未明确是顶角还是底角，且∠A可能是顶角也可能是底角，因此分三类讨论计算∠A的度数，全部符合要求均保留。
【解析】
第3题
分两种情况讨论：
① 当70°的角为顶角时，底角的度数为$(180°-70°)÷2=55°$；
② 当70°的角为底角时，符合等腰三角形底角相等、内角和为180°的要求，底角度数为70°。
第(1)题
首先计算外角对应的内角度数：$180°-128°=52°$，分两种情况讨论：
① 当52°的角为底角时，顶角的度数为$180°-52°×2=76°$；
② 当52°的角为顶角时，顶角度数就是52°。
第(2)题
分三种情况讨论：
① 当$∠ B$为顶角时，$∠ A$是底角，$∠ A=(180°-50°)÷2=65°$；
② 当$∠ B$为底角，$∠ A$为顶角时，$∠ A=180°-50°×2=80°$；
③ 当$∠ B$为底角，$∠ A$也为底角时，$∠ A=∠ B=50°$。
【答案】
3.$70°$或$55°$
(1)$76°$或$52°$
(2)$65°$或$80°$或$50°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本组是等腰三角形角度计算的典型分类讨论题型，解题核心是未明确类型的角需要分情况讨论，计算后要验证结果是否符合三角形内角和要求，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.65
解决等腰三角形角度计算问题时，若题目未明确给出的角是顶角还是底角、外角对应顶角还是底角，必须分情况讨论，最后每种情况都要用三角形内角和为180°验证是否成立，避免漏解或错解。
1. 第3题：给出的70°内角可能是顶角也可能是底角，两种情况分别计算底角度数即可，均符合内角和要求。
2. 第(1)题：先根据外角与相邻内角互补求出对应内角的度数，再分这个内角是顶角还是底角两种情况，计算对应顶角的度数。
3. 第(2)题：给出的∠B未明确是顶角还是底角，且∠A可能是顶角也可能是底角，因此分三类讨论计算∠A的度数，全部符合要求均保留。
【解析】
第3题
分两种情况讨论：
① 当70°的角为顶角时，底角的度数为$(180°-70°)÷2=55°$；
② 当70°的角为底角时，符合等腰三角形底角相等、内角和为180°的要求，底角度数为70°。
第(1)题
首先计算外角对应的内角度数：$180°-128°=52°$，分两种情况讨论：
① 当52°的角为底角时，顶角的度数为$180°-52°×2=76°$；
② 当52°的角为顶角时，顶角度数就是52°。
第(2)题
分三种情况讨论：
① 当$∠ B$为顶角时，$∠ A$是底角，$∠ A=(180°-50°)÷2=65°$；
② 当$∠ B$为底角，$∠ A$为顶角时，$∠ A=180°-50°×2=80°$；
③ 当$∠ B$为底角，$∠ A$也为底角时，$∠ A=∠ B=50°$。
【答案】
3.$70°$或$55°$
(1)$76°$或$52°$
(2)$65°$或$80°$或$50°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本组是等腰三角形角度计算的典型分类讨论题型，解题核心是未明确类型的角需要分情况讨论，计算后要验证结果是否符合三角形内角和要求，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.65
4.[新定义问题]定义:如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍,那么称这个三角形为“倍角三角形”.若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”,则它的顶角的度数为
36°或90°
.答案
4.36°或90°
解析
【分析】
首先明确题目两个核心条件：一是三角形为等腰三角形，即两个底角相等；二是属于“倍角三角形”，即存在一个内角是另一个内角的2倍。由于倍角关系不明确，不确定是顶角是底角的2倍，还是底角是顶角的2倍，因此需要分类讨论，再结合三角形内角和为180°计算顶角度数，最后验证结果是否符合三角形构成要求。
【解析】
设等腰三角形的顶角为$α$，底角为$β$，根据等腰三角形性质可知两个底角相等，结合三角形内角和定理可得$α + 2β = 180°$，分两种情况讨论：
1. 若顶角是底角的2倍，即$α=2β$
将$α=2β$代入$α + 2β = 180°$，得：
$2β + 2β =180°$
解得$β=45°$，则顶角$α=2×45°=90°$，符合要求。
2. 若底角是顶角的2倍，即$β=2α$
将$β=2α$代入$α + 2β = 180°$，得：
$α + 2×2α=180°$
解得$α=36°$，符合要求。
综上，该等腰三角形顶角度数为$36°$或$90°$。
【答案】
$36°$或$90°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义结合几何性质的基础题型，解题的关键是根据倍角的不确定关系合理分类，避免漏解，计算后要注意验证结果是否符合三角形内角和规律。
【难度系数】
0.7
首先明确题目两个核心条件：一是三角形为等腰三角形，即两个底角相等；二是属于“倍角三角形”，即存在一个内角是另一个内角的2倍。由于倍角关系不明确，不确定是顶角是底角的2倍，还是底角是顶角的2倍，因此需要分类讨论，再结合三角形内角和为180°计算顶角度数，最后验证结果是否符合三角形构成要求。
【解析】
设等腰三角形的顶角为$α$，底角为$β$，根据等腰三角形性质可知两个底角相等，结合三角形内角和定理可得$α + 2β = 180°$，分两种情况讨论：
1. 若顶角是底角的2倍，即$α=2β$
将$α=2β$代入$α + 2β = 180°$，得：
$2β + 2β =180°$
解得$β=45°$，则顶角$α=2×45°=90°$，符合要求。
2. 若底角是顶角的2倍，即$β=2α$
将$β=2α$代入$α + 2β = 180°$，得：
$α + 2×2α=180°$
解得$α=36°$，符合要求。
综上，该等腰三角形顶角度数为$36°$或$90°$。
【答案】
$36°$或$90°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义结合几何性质的基础题型，解题的关键是根据倍角的不确定关系合理分类，避免漏解，计算后要注意验证结果是否符合三角形内角和规律。
【难度系数】
0.7
5. [2026·宣城期末]若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40°$,则这个等腰三角形的底角的度数是
65°或25°
.答案
5.65°或25°
解析
【分析】
等腰三角形的类型未明确时，腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需分两种情况分类讨论：先根据高与腰的夹角求出等腰三角形的顶角，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知高与腰的夹角为直角，高与另一腰的夹角为40°，因此顶角 = 90° - 40° = 50°
根据等腰三角形两底角相等的性质，底角 = (180° - 50°) ÷ 2 = 65°
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为40°，可得顶角的外角 = 90° - 40° = 50°，因此顶角 = 180° - 50° = 130°
因此底角 = (180° - 130°) ÷ 2 = 25°
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形中典型的分类讨论题型，易错点是忽略钝角三角形的腰上的高在三角形外的情况，造成漏解，解题时需先判断高的位置，再结合相关性质计算。
【难度系数】
0.6
等腰三角形的类型未明确时，腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需分两种情况分类讨论：先根据高与腰的夹角求出等腰三角形的顶角，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知高与腰的夹角为直角，高与另一腰的夹角为40°，因此顶角 = 90° - 40° = 50°
根据等腰三角形两底角相等的性质，底角 = (180° - 50°) ÷ 2 = 65°
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为40°，可得顶角的外角 = 90° - 40° = 50°，因此顶角 = 180° - 50° = 130°
因此底角 = (180° - 130°) ÷ 2 = 25°
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形中典型的分类讨论题型，易错点是忽略钝角三角形的腰上的高在三角形外的情况，造成漏解，解题时需先判断高的位置，再结合相关性质计算。
【难度系数】
0.6
6.等腰三角形有一内角的度数为$40°$，一腰的垂直平分线与另一腰所在直线相交所成的锐角的度数为
50°或10°
。答案
6.50°或10°
解析
【分析】
本题需要采用分类讨论思想求解，首先等腰三角形已知的40°内角未明确是顶角还是底角，需分两种情况计算顶角度数；其次结合腰的垂直平分线的性质，垂直平分线与腰垂直，会和另一腰所在直线构成直角三角形，再利用直角三角形两锐角互余即可求出所求锐角的度数，注意当顶角为钝角时，垂直平分线与另一腰的交点在腰的延长线上，不要漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当度数为40°的内角是等腰三角形的顶角时：
设等腰三角形顶角为∠A=40°，腰AB的垂直平分线DE交另一腰AC于点E，D为垂足。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，两锐角互余，
∴所求锐角∠AED=90°-∠A=90°-40°=50°；
② 当度数为40°的内角是等腰三角形的底角时：
等腰三角形的顶角度数=180°-40°×2=100°，设顶角为∠BAC=100°，
此时腰AB的垂直平分线DE交另一腰CA的延长线于点E，D为垂足，
∴∠ADE=90°，∠EAD=180°-∠BAC=80°，
在Rt△ADE中，两锐角互余，
∴所求锐角∠AED=90°-∠EAD=90°-80°=10°。
综上，所求锐角的度数为50°或10°。
【答案】
50°或10°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形中典型的分类讨论题型，解题的关键是明确未指明类型的内角要分顶角、底角两种情况讨论，同时注意钝角等腰三角形中垂直平分线与另一腰的交点落在腰的延长线上的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要采用分类讨论思想求解，首先等腰三角形已知的40°内角未明确是顶角还是底角，需分两种情况计算顶角度数；其次结合腰的垂直平分线的性质，垂直平分线与腰垂直，会和另一腰所在直线构成直角三角形，再利用直角三角形两锐角互余即可求出所求锐角的度数，注意当顶角为钝角时，垂直平分线与另一腰的交点在腰的延长线上，不要漏解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当度数为40°的内角是等腰三角形的顶角时：
设等腰三角形顶角为∠A=40°，腰AB的垂直平分线DE交另一腰AC于点E，D为垂足。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，两锐角互余，
∴所求锐角∠AED=90°-∠A=90°-40°=50°；
② 当度数为40°的内角是等腰三角形的底角时：
等腰三角形的顶角度数=180°-40°×2=100°，设顶角为∠BAC=100°，
此时腰AB的垂直平分线DE交另一腰CA的延长线于点E，D为垂足，
∴∠ADE=90°，∠EAD=180°-∠BAC=80°，
在Rt△ADE中，两锐角互余，
∴所求锐角∠AED=90°-∠EAD=90°-80°=10°。
综上，所求锐角的度数为50°或10°。
【答案】
50°或10°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形中典型的分类讨论题型，解题的关键是明确未指明类型的内角要分顶角、底角两种情况讨论，同时注意钝角等腰三角形中垂直平分线与另一腰的交点落在腰的延长线上的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ ABC$的平分线与$AC$边所夹的锐角为$60°$，求$∠ A$的度数.
答案
7.解:设$∠ABC$的平分线交$AC$于点E.
∵$AB=AC$,
∴$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠A)$.
∴$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{4}(180°-∠A)$.
分两种情况讨论：
①如图①,当$∠BEC=60°$时,$∠ABE+∠A=∠BEC=60°$,
∴$\frac{1}{4}(180°-∠A)+∠A=60°$.
∴$∠A=20°$.
②如图②,当$∠AEB=60°$时,$∠ABE+∠A=180°-∠AEB$,
∴$\frac{1}{4}(180°-∠A)+∠A=180°-60°,∴∠A=100°$.
综上所述,$∠A$的度数为$20°$或$100°$.
解析
【分析】
本题是等腰三角形的角度求解问题，解题思路如下：首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，用∠A表示出底角∠ABC的度数；再结合角平分线的定义，得到角平分线分出的小角∠ABE的度数；由于题目仅说明角平分线与AC所夹的锐角为60°，未指明具体是哪个夹角，因此需要分两种情况讨论：①夹角为靠近点C的∠BEC=60°，②夹角为靠近点A的∠AEB=60°；最后结合三角形外角性质或内角和定理列方程求解即可。
【解析】
设$∠ABC$的平分线交$AC$于点E.
∵$AB=AC$,
∴$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠A)$.
∴$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{4}(180°-∠A)$.
分两种情况讨论：
①如图①,当$∠BEC=60°$时，根据三角形外角的性质，$∠ABE+∠A=∠BEC=60°$,
∴$\frac{1}{4}(180°-∠A)+∠A=60°$,
解得$∠A=20°$.
②如图②,当$∠AEB=60°$时，在$△ABE$中，根据三角形内角和为180°，$∠ABE+∠A=180°-∠AEB$,
∴$\frac{1}{4}(180°-∠A)+∠A=180°-60°$,
解得$∠A=100°$.
综上所述,$∠A$的度数为$20°$或$100°$.
【答案】
$∠A$的度数为$20°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质、角平分线的定义、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“角平分线与AC所夹锐角”存在两种情况，容易造成漏解。解题时结合方程思想求解角度，能让逻辑更清晰，计算更简便。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形的角度求解问题，解题思路如下：首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，用∠A表示出底角∠ABC的度数；再结合角平分线的定义，得到角平分线分出的小角∠ABE的度数；由于题目仅说明角平分线与AC所夹的锐角为60°，未指明具体是哪个夹角，因此需要分两种情况讨论：①夹角为靠近点C的∠BEC=60°，②夹角为靠近点A的∠AEB=60°；最后结合三角形外角性质或内角和定理列方程求解即可。
【解析】
设$∠ABC$的平分线交$AC$于点E.
∵$AB=AC$,
∴$∠ABC=∠C=\frac{1}{2}(180°-∠A)$.
∴$∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{4}(180°-∠A)$.
分两种情况讨论：
①如图①,当$∠BEC=60°$时，根据三角形外角的性质，$∠ABE+∠A=∠BEC=60°$,
∴$\frac{1}{4}(180°-∠A)+∠A=60°$,
解得$∠A=20°$.
②如图②,当$∠AEB=60°$时，在$△ABE$中，根据三角形内角和为180°，$∠ABE+∠A=180°-∠AEB$,
∴$\frac{1}{4}(180°-∠A)+∠A=180°-60°$,
解得$∠A=100°$.
综上所述,$∠A$的度数为$20°$或$100°$.
【答案】
$∠A$的度数为$20°$或$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质、角平分线的定义、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“角平分线与AC所夹锐角”存在两种情况，容易造成漏解。解题时结合方程思想求解角度，能让逻辑更清晰，计算更简便。
【难度系数】
0.6
8.如图，在正方形网格中，点A，B在格点上，在图中网格的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C共有（
A.8个
B.9个
C.10个
D.11个
C
）A.8个
B.9个
C.10个
D.11个
答案
8.C
解析
【分析】
要找出所有使△ABC为等腰三角形的格点C，需按照等腰三角形“两边相等”的特征分三类讨论：第一类是AB为腰，A为顶角顶点（即AB=AC）；第二类是AB为腰，B为顶角顶点（即AB=BC）；第三类是AB为底边（即AC=BC）。先计算AB的长度，再分别在三类情况下排查符合要求的格点，注意排除三点共线的情况，最后汇总总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得：$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，分三种情况讨论：
1. 当AB为腰、A为顶角顶点时，$AC=AB=2\sqrt{2}$，以A为圆心、AB长为半径画弧，与网格格点的交点（不含点B）共有4个，均满足三点不共线，可构成等腰三角形；
2. 当AB为腰、B为顶角顶点时，$BC=AB=2\sqrt{2}$，以B为圆心、AB长为半径画弧，与网格格点的交点（不含点A）共有4个，均满足三点不共线，可构成等腰三角形；
3. 当AB为底边时，$AC=BC$，点C在AB的垂直平分线上，在格点中找到垂直平分线上符合条件的点，共有2个，均可构成等腰三角形。
综上，符合条件的点C共有$4+4+2=10$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题关键是按腰和底边的不同情况分类讨论，排查格点时要注意排除三点共线的情况，避免漏解或多算。
【难度系数】
0.6
要找出所有使△ABC为等腰三角形的格点C，需按照等腰三角形“两边相等”的特征分三类讨论：第一类是AB为腰，A为顶角顶点（即AB=AC）；第二类是AB为腰，B为顶角顶点（即AB=BC）；第三类是AB为底边（即AC=BC）。先计算AB的长度，再分别在三类情况下排查符合要求的格点，注意排除三点共线的情况，最后汇总总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得：$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，分三种情况讨论：
1. 当AB为腰、A为顶角顶点时，$AC=AB=2\sqrt{2}$，以A为圆心、AB长为半径画弧，与网格格点的交点（不含点B）共有4个，均满足三点不共线，可构成等腰三角形；
2. 当AB为腰、B为顶角顶点时，$BC=AB=2\sqrt{2}$，以B为圆心、AB长为半径画弧，与网格格点的交点（不含点A）共有4个，均满足三点不共线，可构成等腰三角形；
3. 当AB为底边时，$AC=BC$，点C在AB的垂直平分线上，在格点中找到垂直平分线上符合条件的点，共有2个，均可构成等腰三角形。
综上，符合条件的点C共有$4+4+2=10$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题关键是按腰和底边的不同情况分类讨论，排查格点时要注意排除三点共线的情况，避免漏解或多算。
【难度系数】
0.6
9.如图，P是射线OD上一动点，且∠AOD＝30°.当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数为
30°或75°或120°
.答案
9.30°或75°或120°
解析
【分析】
题目未明确等腰△AOP的腰和顶角，因此需分三种情况讨论：分别以O、A、P为顶角顶点，结合已知∠AOD=30°，利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和为180°，分别计算对应情况下∠A的度数，最后验证所有情况是否符合三角形存在的条件。
【解析】
已知∠AOP=∠AOD=30°，△AOP为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 若$OP=AP$，此时两底角为$∠ O$和$∠ OAP$，根据等边对等角得$∠ OAP=∠ O=30°$，即$∠ A=30°$；
2. 若$OA=OP$，此时顶角为$∠ O=30°$，两底角为$∠ OAP$和$∠ OPA$，根据三角形内角和与等边对等角得：$∠ OAP=(180°-30°)÷2=75°$，即$∠ A=75°$；
3. 若$OA=AP$，此时两底角为$∠ O$和$∠ APO$，根据等边对等角得$∠ APO=∠ O=30°$，则顶角$∠ OAP=180°-30°×2=120°$，即$∠ A=120°$。
以上三种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
30°或75°或120°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形的经典分类讨论题型，解题核心是当等腰三角形未明确腰与顶角时，需分三类情况讨论，解题时要注意避免漏解，同时需验证每种情况是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
题目未明确等腰△AOP的腰和顶角，因此需分三种情况讨论：分别以O、A、P为顶角顶点，结合已知∠AOD=30°，利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和为180°，分别计算对应情况下∠A的度数，最后验证所有情况是否符合三角形存在的条件。
【解析】
已知∠AOP=∠AOD=30°，△AOP为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 若$OP=AP$，此时两底角为$∠ O$和$∠ OAP$，根据等边对等角得$∠ OAP=∠ O=30°$，即$∠ A=30°$；
2. 若$OA=OP$，此时顶角为$∠ O=30°$，两底角为$∠ OAP$和$∠ OPA$，根据三角形内角和与等边对等角得：$∠ OAP=(180°-30°)÷2=75°$，即$∠ A=75°$；
3. 若$OA=AP$，此时两底角为$∠ O$和$∠ APO$，根据等边对等角得$∠ APO=∠ O=30°$，则顶角$∠ OAP=180°-30°×2=120°$，即$∠ A=120°$。
以上三种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
30°或75°或120°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于等腰三角形的经典分类讨论题型，解题核心是当等腰三角形未明确腰与顶角时，需分三类情况讨论，解题时要注意避免漏解，同时需验证每种情况是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
