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1.如图，点D，E分别在$△ ABC$的边AB，AC上，且DE与BC不平行.下列条件中，能判定$△ ADE$与$△ ACB$相似的是（
A.$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
B.$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$
C.$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$
D.$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$
A
）A.$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
B.$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$
C.$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$
D.$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$
答案
1.A
2.在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，若$∠ B=∠ B'$，$AB=6$，$BC=8$，$B'C'=4$，则当$A'B'=$
3
时，$△ ABC∽△ A'B'C'$.答案
2.3
3.如图,在$□ ABCD$中,$AB=10$,$AD=6$,$E$是$AD$的中点.若在$AB$上取一点$F$,当$BF=$
1.8
时,$△ CBF ∽ △ CDE$.答案
3.1.8
变式训练
对应边确定→对应边不确定
如第3题图,在$□ ABCD$中,$AB=10,AD=6,E$是$AD$的中点.若在射线$BA$上取一点$F$,当$BF=$
对应边确定→对应边不确定
如第3题图,在$□ ABCD$中,$AB=10,AD=6,E$是$AD$的中点.若在射线$BA$上取一点$F$,当$BF=$
1.8 或 20
时,$△ CBF$与$△ CDE$相似.答案
[变式训练]1.8 或 20
4.如图,在正三角形ABC中,点D,E分别在AC,AB上,且$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$,AE=BE,则 (
A.$△ AED ∽ △ BED$
B.$△ BAD ∽ △ BCD$
C.$△ AED ∽ △ ABD$
D.$△ AED ∽ △ CBD$
D
)A.$△ AED ∽ △ BED$
B.$△ BAD ∽ △ BCD$
C.$△ AED ∽ △ ABD$
D.$△ AED ∽ △ CBD$
答案
4.D
5.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B'，折痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10，若以点B'，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是
$\frac{40}{9}$ 或 5
。答案
5.$\frac{40}{9}$或 5
[解析]设 $BF = x$, 则 $FC = BC - BF = 10 - x$.
$\because △ ABC$ 按题图所示的方式折叠,使点 $B$ 落在边 $AC$ 上,记为点 $B'$,折痕为 $EF$,$\therefore B'F = BF = x$.$\because ∠ FCB' = ∠ BCA$,$\therefore $当$\frac{CF}{CB}=\frac{CB'}{CA}=\frac{FB'}{BA}$时,$△ CFB'∽△ CBA$,即$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$,解得$x=\frac{40}{9}$;当$\frac{CF}{CA}=\frac{CB'}{CB}=\frac{FB'}{AB}$时,$△ CFB'∽△ CAB$,即$\frac{10-x}{8}=\frac{x}{8}$,解得$x=5$.综上所述,当 $BF$ 的长度为 $\frac{40}{9}$ 或 5 时;以点 $B',F,C$ 为顶点的三角形与 $△ ABC$ 相似.
[解析]设 $BF = x$, 则 $FC = BC - BF = 10 - x$.
$\because △ ABC$ 按题图所示的方式折叠,使点 $B$ 落在边 $AC$ 上,记为点 $B'$,折痕为 $EF$,$\therefore B'F = BF = x$.$\because ∠ FCB' = ∠ BCA$,$\therefore $当$\frac{CF}{CB}=\frac{CB'}{CA}=\frac{FB'}{BA}$时,$△ CFB'∽△ CBA$,即$\frac{10-x}{10}=\frac{x}{8}$,解得$x=\frac{40}{9}$;当$\frac{CF}{CA}=\frac{CB'}{CB}=\frac{FB'}{AB}$时,$△ CFB'∽△ CAB$,即$\frac{10-x}{8}=\frac{x}{8}$,解得$x=5$.综上所述,当 $BF$ 的长度为 $\frac{40}{9}$ 或 5 时;以点 $B',F,C$ 为顶点的三角形与 $△ ABC$ 相似.
6.[推理能力]如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点D在BC边上,过点D作DE⊥AC于点E,连接BE,交AD于点F.
(1)求证:△ADC∽△BEC;
(2)若D为BC的中点,BC=4,求BE的长.
(1)求证:△ADC∽△BEC;
(2)若D为BC的中点,BC=4,求BE的长.
答案
6.(1)证明: $\because △ ABC$ 为等腰直角三角形,$∠ ABC=90°$,$\therefore ∠ C=45°$.又$\because DE⊥ CE$,$\therefore △ CDE$ 为等腰直角三角形,$\therefore △ ABC∽△ DEC$,$\therefore \frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$,$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{DC}{EC}$.又$\because ∠ C=∠ C$,$\therefore △ ADC∽△ BEC$.
(2)过点 $E$ 作 $EG⊥ DC$ 于点 $G$,图略.$\because BC=4$,且 $D$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore BD=DC=2$.$\because △ CDE$ 为等腰直角三角形,$\therefore ∠ CDE=45°$.$\because ∠ DGE=90°$,$\therefore △ DEG$ 为等腰直角三角形,$\therefore DG=EG=\frac{1}{2}DC=1$,$\therefore BG=BD+DG=3$.在 $\mathrm{Rt}△ BEG$ 中,由勾股定理,得 $BE=\sqrt{BG^2+EG^2}=\sqrt{10}$,即 $BE$ 的长为 $\sqrt{10}$.
(2)过点 $E$ 作 $EG⊥ DC$ 于点 $G$,图略.$\because BC=4$,且 $D$ 为 $BC$ 的中点,$\therefore BD=DC=2$.$\because △ CDE$ 为等腰直角三角形,$\therefore ∠ CDE=45°$.$\because ∠ DGE=90°$,$\therefore △ DEG$ 为等腰直角三角形,$\therefore DG=EG=\frac{1}{2}DC=1$,$\therefore BG=BD+DG=3$.在 $\mathrm{Rt}△ BEG$ 中,由勾股定理,得 $BE=\sqrt{BG^2+EG^2}=\sqrt{10}$,即 $BE$ 的长为 $\sqrt{10}$.
