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3.(真题·宁波江北)我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形。数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形。
(1)如图1，M是AB的中点，若$ME=DG$，$AB=6$，求CG的长。
(2)如图2，M是AB的中点，连结HF，EG交于点O，连结OM。
①求证：$OM// AD$；
②如图3，若$AH=HE$，取AD的中点N，连结ON，NG，MH，若$S_{△ NOG}=3S_{△ MOH}$，求$\frac{HG}{DG}$的值。
(1)如图1，M是AB的中点，若$ME=DG$，$AB=6$，求CG的长。
(2)如图2，M是AB的中点，连结HF，EG交于点O，连结OM。
①求证：$OM// AD$；
②如图3，若$AH=HE$，取AD的中点N，连结ON，NG，MH，若$S_{△ NOG}=3S_{△ MOH}$，求$\frac{HG}{DG}$的值。
答案
3.(1)因为△ABE是直角三角形,M是AB中点,所以ME=1/2 AB=3,所以DG=ME=3,因为四边形ABCD为平行四边形,所以CD=AB=6,所以在Rt△CDG中,CG=√(CD²-DG²)=√(6²-3²)=3√3。
(2)①连结OB,OD,由题意可知,四边形EFGH是矩形,所以HD//FB,OE=OG,所以∠BEO=∠DGO,由题意可知Rt△AEB≌Rt△CGD,所以BE=DG,所以△BOE≌△DOG(SAS),所以∠BOE=∠DOG,OB=OD,所以B,O,D三点共线,因为M是AB中点,所以OM是△ABD的中位线,所以OM//AD。
②因为AH=HE,M是AB中点,所以MH是△ABE的中位线,所以MH//BE,BE=2MH,设ON与MD交于点K,作△MOH的高h₁,△NKG的高h₂,因为N是AD的中点,所以DN=1/2 AD,由①知:OM是△ABD的中位线,所以OM=1/2 AD,OM=DN,因为OM//AD,所以∠NDK=∠OMK,因为∠NKD=∠OKM,所以△NDK≌△OMK(AAS),所以DK=MK,所以h₁=h₂,因为S△MOH=1/2 MH·h₁,S△NOG=1/2 KG·(h₁+h₂),又因为S△NOG=3S△MOH,所以MH/KG=2/3。设MH=2x,KG=3x,则BE=DG=2MH=4x,所以KD=KM=7x,所以HK=5x,所以HG=8x,所以HG/DG=8x/4x=2。
(2)①连结OB,OD,由题意可知,四边形EFGH是矩形,所以HD//FB,OE=OG,所以∠BEO=∠DGO,由题意可知Rt△AEB≌Rt△CGD,所以BE=DG,所以△BOE≌△DOG(SAS),所以∠BOE=∠DOG,OB=OD,所以B,O,D三点共线,因为M是AB中点,所以OM是△ABD的中位线,所以OM//AD。
②因为AH=HE,M是AB中点,所以MH是△ABE的中位线,所以MH//BE,BE=2MH,设ON与MD交于点K,作△MOH的高h₁,△NKG的高h₂,因为N是AD的中点,所以DN=1/2 AD,由①知:OM是△ABD的中位线,所以OM=1/2 AD,OM=DN,因为OM//AD,所以∠NDK=∠OMK,因为∠NKD=∠OKM,所以△NDK≌△OMK(AAS),所以DK=MK,所以h₁=h₂,因为S△MOH=1/2 MH·h₁,S△NOG=1/2 KG·(h₁+h₂),又因为S△NOG=3S△MOH,所以MH/KG=2/3。设MH=2x,KG=3x,则BE=DG=2MH=4x,所以KD=KM=7x,所以HK=5x,所以HG=8x,所以HG/DG=8x/4x=2。
