10(2026·宿迁泗洪期中)如图,已知四边形ABCD内接于$\odot O$,连接AC,记$∠ BAC$的度数为$α$,$∠ CAD$的度数为$β$.若$AB=AC$,$AB// CD$,则有().

A.$2α +3β =180°$
B.$3α +4β =360°$
C.$3α +2β =180°$
D.$4α +3β =360°$

10.C

11 (2026·南京期中)如图，A,B,C,D是$\odot O$上的点，若$\overset{\frown}{CD}$的度数为$50°$，则$∠ B+∠ E=$°。

11. 155

12 如图，四边形ABCD是菱形，$\odot O$经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AE。若$∠ D=80°$，则$∠ BAE=$。

12. 20°

13 已知A,B,C是$\odot O$上不同的三个点，$∠ AOB=60°$,则$∠ ACB=$.

13. 30°或150°

14(2026·盐城建湖期中)如图,在$\odot O$的内接四边形ABCD中,$∠ ADE$是四边形ABCD的一个外角,且DA平分$∠ BDE$.
(1)求证:$AB=AC$;
(2)若点F在$\overset{\frown}{BC}$上,且$∠ F = 118°$,求$∠ ADC$的度数.

(1)$\because DA$平分$∠ BDE$,$\therefore∠ ADE=∠ ADB$,
由圆周角定理,得$∠ ADB=∠ ACB$,$\therefore∠ ADE=∠ ACB$.
$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,
$\therefore∠ ABC+∠ ADC=180°$.
$\because∠ ADC+∠ ADE=180°$,$\therefore∠ ABC=∠ ADE$,
$\therefore∠ ABC=∠ ACB$,$\therefore AB=AC$.
(2)$\because$四边形$BFCD$为$\odot O$内接四边形,
$\therefore∠ BDC=180°-∠ F=180°-118°=62°$,
$\therefore∠ BDE=118°$,$\therefore∠ ADB=\frac{1}{2}∠ BDE=59°$,
$\therefore∠ ADC=∠ ADB+∠ BDC=121°$.
归纳总结 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理,熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

15 截长补短模型 如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形,P是圆上一点(点P与点A,B,C,D不重合),连接PA,PB,PC.
(1)若P是$\overset{\frown}{AD}$上一点,
①$∠ BPC$度数为;
②求证:$PA+PC=\sqrt{2}PB$.
小明的思路为:这是线段和差倍半问题,可采用截长补短法,请按小明的思路完成下列证明过程.(也可按自己的想法给出证明)
证明:在PC的延长线上取点E.使$CE=PA$,连接BE.
(2)探究当点P分别在$\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{CD}$上时,PA,PB,PC的数量关系,直接写出答案,不需要证明.

备用图
视频学模型

(1)①$45°$
②$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形,$\therefore AB=BC$.
又点$P$在$\overset{\frown}{AD}$上,$\therefore$四边形$ABCP$为$\odot O$的内接四边形,
$\therefore∠ PAB+∠ BCP=180°$,且$∠ BCP+∠ BCE=180°$,
$\therefore∠ PAB=∠ BCE$.
在$△ PAB$和$△ ECB$中,$\begin{cases} PA=EC, \\ ∠ PAB=∠ ECB, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore△ PAB≌△ ECB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore PB=BE$,$∠ ABP=∠ CBE$.
$\because∠ ABP+∠ PBC=90°$,
$\therefore∠ PBC+∠ CBE=90°$,
$\therefore∠ PBE=90°$,$\therefore△ PBE$为等腰直角三角形,
$\therefore PE=\sqrt{2}PB$,
$\therefore PA+PC=CE+PC=PE=\sqrt{2}PB$.

(2)当点$P$在$\overset{\frown}{AB}$上时,$PC-PA=\sqrt{2}PB$.
如图(2),在$PC$上取点$E$,使$CE=PA$,连接$BE$.
$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形,$\therefore AB=BC$.
在$△ PAB$和$△ ECB$中,$\begin{cases} PA=EC, \\ ∠ PAB=∠ ECB, \\ AB=CB, \end{cases}$
$\therefore△ PAB≌△ ECB(\mathrm{SAS})$,
$\therefore PB=BE$,$∠ ABP=∠ CBE$.
$\because∠ ABE+∠ EBC=90°$,$\therefore∠ PBA+∠ ABE=90°$,
$\therefore∠ PBE=90°$,$\therefore△ PBE$为等腰直角三角形,
$\therefore PE=\sqrt{2}PB$,$\therefore PC-PA=PC-EC=PE=\sqrt{2}PB$.

当点$P$在$\overset{\frown}{BC}$上时,$PA-PC=\sqrt{2}PB$.
如图(3),在$PA$上取点$E$,使$AE=PC$,连接$BE$.
$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形,$\therefore AB=BC$.
在$△ ABE$和$△ CBP$中,$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ BAE=∠ BCP, \\ AE=CP, \end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CBP(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BE=BP$,$∠ ABE=∠ CBP$.
$\because∠ ABE+∠ CBE=90°$,$\therefore∠ CBE+∠ CBP=90°$,
$\therefore∠ EBP=90°$,$\therefore△ EBP$为等腰直角三角形,
$\therefore PE=\sqrt{2}PB$,
$\therefore PA-PC=PA-AE=PE=\sqrt{2}PB$.
当点$P$在$\overset{\frown}{CD}$上时,$PA+PC=\sqrt{2}PB$.
如图(4),在$PA$的延长线上截取点$E$,使$AE=PC$,连接$BE$.
$\because$四边形$ABCD$是$\odot O$的内接正方形,$\therefore AB=BC$.
又点$P$在$\overset{\frown}{CD}$上,$\therefore$四边形$ABCP$为$\odot O$的内接四边形.
同理,$∠ EAB=∠ BCP$.
在$△ EAB$和$△ PCB$中,$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ EAB=∠ PCB, \\ AE=CP, \end{cases}$
$\therefore△ EAB≌△ PCB(\mathrm{SAS})$,$\therefore BE=BP$,$∠ ABE=∠ PBC$.
$\because∠ ABP+∠ PBC=90°$,$\therefore∠ ABP+∠ ABE=90°$,
$\therefore∠ EBP=90°$,$\therefore△ EBP$为等腰直角三角形,
$\therefore PE=\sqrt{2}PB$,$\therefore PA+PC=PA+AE=PE=\sqrt{2}PB$.