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1[2025 山西临汾质检,中]如果一个多项式的各项的次数都相同,那么这个多项式叫作齐次多项式.如:$x^3+3xy^2+4xyz+2y^3$是3次齐次多项式,若$a^{x+3}b^2-6ab^3c^2$是齐次多项式,则$x$的值为 (
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
C
)A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
1.C 【解析】由题意,得$x+3+2=6$,解得$x=1$.故选C.
2[2026河北保定期末,中]多项式$x^2y^{|m|}+(m+1)xy+2$是关于x,y的三次二项式,则m的值是(
A.$\pm1$
B.$-1$
C.$1$
D.$\pm3$
B
)A.$\pm1$
B.$-1$
C.$1$
D.$\pm3$
答案
2.B 【解析】因为$x^2y^{|m|}+(m+1)xy+2$是关于$x,y$的三次二项式,所以$2+|m|=3$,且$m+1=0$,所以$m=-1$,故选B.
3[2026 重庆黔江区期末，较难]已知整式$M$：$a_2x^2+a_1x+a_0$，令$a_2+a_1+a_0=n$，其中$a_1,a_0$为自然数，$a_2,n$为正整数，下列说法：
①若$n=1$，则满足条件的整式$M$只有1个单项式；
②不存在任何一个$n$，使得满足条件的整式$M$有且只有4个；
③若$a_2+a_1+a_0=4$，则满足条件的整式$M$共有9个.
其中正确的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
①若$n=1$，则满足条件的整式$M$只有1个单项式；
②不存在任何一个$n$，使得满足条件的整式$M$有且只有4个；
③若$a_2+a_1+a_0=4$，则满足条件的整式$M$共有9个.
其中正确的个数是（
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
3.C 【解析】当$n=1$时,$a_2+a_1+a_0=1$.因为$a_2$为正整数,$a_1,a_0$为自然数,所以$a_2=1,a_1=a_0=0$,所以对应的整式$M$为$x^2$,是单项式,故①正确.当$n=2$时,整式有$2x^2,x^2+x,x^2+1$,共3个;当$n=3$时,整式有$x^2+2x,x^2+x+1,x^2+2,2x^2+x,2x^2+1,3x^2$,共6个;当$n=4$时,整式有10个;…,所以不存在任何一个$n$,使得满足条件的整式$M$有且只有4个,故②正确.当$n=4$时,满足题意的整式$M$共有10个,分别为$4x^2,3x^2+x,3x^2+1,2x^2+2x,2x^2+x,2x^2+2,2x^2+x+1,x^2+3,x^2+3x,x^2+2x+1,x^2+x+2$,故③错误.故正确的个数是2.故选C.
4[2026福建漳州质检,中]已知多项式$2x^2y^{1-m}+xy^2+3x^2-6$的次数是5，单项式$xy^{5-n}$的次数与这个多项式的二次项系数相同，则$m^n$的值为
-8
。答案
4.-8 【解析】因为多项式$2x^2y^{1-m}+xy^2+3x^2-6$的次数是5,所以$2+1-m=5$,所以$m=-2$.因为单项式$xy^{5-n}$的次数与多项式$2x^2y^{1-m}+xy^2+3x^2-6$的二次项系数相同,所以$1+(5-n)=3$,解得$n=3$,所以$m^n=(-2)^3=-8$.故答案为$-8$.
5[2026广东惠州期末,中]如图是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位: m),请回答下列问题:
(1)用含x的式子表示这所住宅的建筑面积(结果化成最简形式).
(2)上面的式子是多项式吗?如果是,它是几次几项式?它的二次项系数、一次项分别是什么?
(3)当x=3时,这所住宅的建筑面积是多少?
(1)用含x的式子表示这所住宅的建筑面积(结果化成最简形式).
(2)上面的式子是多项式吗?如果是,它是几次几项式?它的二次项系数、一次项分别是什么?
(3)当x=3时,这所住宅的建筑面积是多少?
答案
5.【解】(1)$x^2+2x+4×3+3×2=x^2+2x+18$,所以这所住宅的建筑面积为$(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$.
(2)$x^2+2x+18$是多项式,是二次三项式,二次项系数是1,一次项是$2x$.
(3)当$x=3$时,$x^2+2x+18=3^2+2×3+18=9+6+18=33$,所以当$x=3$时,这所住宅的建筑面积是33 $\mathrm{m}^2$.
(2)$x^2+2x+18$是多项式,是二次三项式,二次项系数是1,一次项是$2x$.
(3)当$x=3$时,$x^2+2x+18=3^2+2×3+18=9+6+18=33$,所以当$x=3$时,这所住宅的建筑面积是33 $\mathrm{m}^2$.
6[2025广东韶关质检,中]观察下列关于x的单项式：$xy^2, -3x^2y^3,5x^3y^4,-7x^4y^5,···$.
(1)直接写出第5个单项式:
(2)第20个单项式的系数和次数分别是多少?
(3)系数的绝对值为2025的单项式的次数是多少?
刷素养 走向重高
(1)直接写出第5个单项式:
$9x^5y^6$
.(2)第20个单项式的系数和次数分别是多少?
(3)系数的绝对值为2025的单项式的次数是多少?
刷素养 走向重高
答案
6.【解】(1)第5个单项式为$9x^5y^6$.故答案为$9x^5y^6$.
(2)由$xy^2,-3x^2y^3,5x^3y^4,-7x^4y^5$可知第$n$个单项式为$(-1)^{n+1}(2n-1)x^ny^{n+1}$,所以第20个单项式为$-39x^{20}y^{21}$,所以第20个单项式的系数是$-39$,次数是41.
(3)因为系数的绝对值为2025,所以$2n-1=2025$,所以$n=1013$,所以系数的绝对值为2025的单项式的次数为$1013+1013+1=2027$.
(2)由$xy^2,-3x^2y^3,5x^3y^4,-7x^4y^5$可知第$n$个单项式为$(-1)^{n+1}(2n-1)x^ny^{n+1}$,所以第20个单项式为$-39x^{20}y^{21}$,所以第20个单项式的系数是$-39$,次数是41.
(3)因为系数的绝对值为2025,所以$2n-1=2025$,所以$n=1013$,所以系数的绝对值为2025的单项式的次数为$1013+1013+1=2027$.
7 核心素养 运算能力 [难]定义:$f(a,b)$是关于$a,b$的多项式,如果$f(a,b)=f(b,a)$,那么$f(a,b)$叫作“对称多项式”.例如,如果$f(a,b)=a^2+a+b+b^2$,则$f(b,a)=b^2+b+a+a^2$,显然$f(a,b)=f(b,a)$,所以$f(a,b)=a^2+a+b+b^2$是“对称多项式”.
(1)试说明$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”.
(2)请写一个“对称多项式”:$f(a,b)=$
(3)如果$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$均为“对称多项式”,那么$f_1(a,b)+f_2(a,b)$一定是“对称多项式”吗?如果一定,请说明理由;如果不一定,请举例说明.
(1)试说明$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”.
(2)请写一个“对称多项式”:$f(a,b)=$
$a+b$(答案不唯一)
(不多于四项).(3)如果$f_1(a,b)$和$f_2(a,b)$均为“对称多项式”,那么$f_1(a,b)+f_2(a,b)$一定是“对称多项式”吗?如果一定,请说明理由;如果不一定,请举例说明.
答案
7.【解】(1)因为$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$,所以$f(b,a)=b^2-2ab+a^2$,所以$f(a,b)=f(b,a)$,所以$f(a,b)=a^2-2ab+b^2$是“对称多项式”.
(2)当$f(a,b)=a+b$时,$f(b,a)=b+a=f(a,b)$,所以$f(a,b)=a+b$是“对称多项式”.故答案为$a+b$(答案不唯一).
(3)不一定.举例:$f_1(a,b)=a+b,f_2(a,b)=-a-b$都是“对称多项式”,而$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,是单项式,不是多项式.
(2)当$f(a,b)=a+b$时,$f(b,a)=b+a=f(a,b)$,所以$f(a,b)=a+b$是“对称多项式”.故答案为$a+b$(答案不唯一).
(3)不一定.举例:$f_1(a,b)=a+b,f_2(a,b)=-a-b$都是“对称多项式”,而$f_1(a,b)+f_2(a,b)=0$,是单项式,不是多项式.
