【例1】 若一个角与它的余角以及它的补角的和是直角的$2\frac{1}{3}$倍，求比这个角的补角小$17°21'$的角.
思路分析:先求这个角,根据互为补角、互为余角及直角的定义,用含$x$的式子表示它的补角、余角,通过解方程求出这个角,再求比这个角的补角小$17°21'$的角.
解:设这个角是$x$,则它的余角是$90° - x$,它的补角是$180° - x$,根据题意得:
$x + (90° - x) + (180° - x) = 2\frac{1}{3} × 90°$,
解得$x = 60°$,则$180° - 60° = 120°$.
所以$120° - 17°21' = 102°39'$.
所以比这个角的补角小$17°21'$的角是$102°39'$.

解：设这个角是$x$，则它的余角是$90° - x$，它的补角是$180° - x$，
根据题意得：
$x + (90° - x) + (180° - x) = 2\frac{1}{3} × 90°$
化简得$270° - x = 210°$，
解得$x = 60°$，
这个角的补角为$180° - 60° = 120°$，
所求角为$120° - 17°21' = 102°39'$。
答：比这个角的补角小$17°21'$的角是$102°39'$。

【例2】（1）如图6-5①所示，已知线段AB和CD的公共部分$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$，线段AB，CD的中点E，F的距离是10cm，求AB，CD的长；

图6-5
（2）如图6-5②所示，将线段AB延长到C，使$BC=2AB$，AB的中点为D，E，F是BC上的点，且$BE:EF=1:2$，$EF:FC=2:5$，$AC=60cm$，求DE，DF的长。
思路分析:本题主要考查利用方程对线段长度进行有关计算。
解:(1)设BD的长为x cm.
因为$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$，所以$AB=3x\mathrm{cm},CD=4x\mathrm{cm}$.
因为E,F分别为AB,DC的中点,所以$BE=\frac{3}{2}x\mathrm{cm},DF=2x\mathrm{cm}$,
因为$EF=BE+DF-BD$,所以$10=\frac{3}{2}x+2x-x$.所以$x=4$.
所以$AB=12\mathrm{cm},CD=16\mathrm{cm}$.
(2)设BE的长为x cm.
因为$BE:EF=1:2,EF:FC=2:5$,所以$EF=2x\mathrm{cm},FC=5x\mathrm{cm}$.
所以$BC=BE+EF+FC=8x(\mathrm{cm})$.
因为$BC=2AB$,所以$AB=4x\mathrm{cm}$.
因为$AC=AB+BC$,所以$60=4x+8x$.所以$x=5$.
因为D为AB的中点,
所以$BD=\frac{1}{2}AB=2x\mathrm{cm}$.
所以$DE=DB+BE=3x=15(\mathrm{cm}),DF=DE+EF=5x=25(\mathrm{cm})$.

解：(1) 设BD的长为$x\ \mathrm{cm}$。
因为$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$，
所以$AB=3x\ \mathrm{cm}$，$CD=4x\ \mathrm{cm}$。
因为E，F分别为AB，DC的中点，
所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}x\ \mathrm{cm}$，$DF=\frac{1}{2}CD=2x\ \mathrm{cm}$。
由线段和差关系得EF=BE+DF-BD，代入$EF=10\ \mathrm{cm}$：
$10=\frac{3}{2}x+2x-x$
解得x=4。
所以$AB=3×4=12\ \mathrm{cm}$，$CD=4×4=16\ \mathrm{cm}$。
(2) 设BE的长为$x\ \mathrm{cm}$。
因为BE:EF=1:2，EF:FC=2:5，
所以$EF=2x\ \mathrm{cm}$，$FC=5x\ \mathrm{cm}$。
所以$BC=BE+EF+FC=x+2x+5x=8x\ \mathrm{cm}$。
因为BC=2AB，
所以$AB=\frac{1}{2}BC=4x\ \mathrm{cm}$。
又因为AC=AB+BC，$AC=60\ \mathrm{cm}$，
所以60=4x+8x解得x=5。因为D为AB的中点，所以$BD=\frac{1}{2}AB=2x\ \mathrm{cm}$。所以$DE=DB+BE=2x+x=3x=15\ \mathrm{cm}$，$DF=DE+EF=3x+2x=5x=25\ \mathrm{cm}$。
答：AB的长为12cm，CD的长为16cm；DE的长为15cm，DF的长为25cm。