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1.将方程$7(2x-1)-3(4x-1)=10$去括号，
正确的是 （
A.$14x-7-12x+1=10$
B.$14x-7-12x+3=10$
C.$14x-1-12x-3=10$
D.$14x-1-12x+3=10$
正确的是 （
B
）A.$14x-7-12x+1=10$
B.$14x-7-12x+3=10$
C.$14x-1-12x-3=10$
D.$14x-1-12x+3=10$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查一元一次方程去括号的方法，解题思路如下：首先要牢记去括号的两个核心规则：一是括号外的系数要和括号内的每一项都相乘，不能漏乘；二是括号前如果是负号，去括号后括号内的每一项都要改变符号。我们只需要分别对两个括号去括号，再合并得到最终的式子，和选项对比即可。
【解析】
根据去括号法则和乘法分配律计算：
1. 计算$7(2x-1)$：将7分别乘括号内的两项，得$7×2x +7×(-1)=14x-7$；
2. 计算$-3(4x-1)$：将-3分别乘括号内的两项，得$(-3)×4x + (-3)×(-1)=-12x+3$；
3. 将两部分相加等于10，可得去括号后的式子为$14x-7-12x+3=10$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
乘法分配律，去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程变形的基础题，易错点是容易漏乘括号内的常数项，或者括号前为负号时忘记给括号内所有项变号，做题时逐项计算就能有效避免错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程去括号的方法，解题思路如下：首先要牢记去括号的两个核心规则：一是括号外的系数要和括号内的每一项都相乘，不能漏乘；二是括号前如果是负号，去括号后括号内的每一项都要改变符号。我们只需要分别对两个括号去括号，再合并得到最终的式子，和选项对比即可。
【解析】
根据去括号法则和乘法分配律计算：
1. 计算$7(2x-1)$：将7分别乘括号内的两项，得$7×2x +7×(-1)=14x-7$；
2. 计算$-3(4x-1)$：将-3分别乘括号内的两项，得$(-3)×4x + (-3)×(-1)=-12x+3$；
3. 将两部分相加等于10，可得去括号后的式子为$14x-7-12x+3=10$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
乘法分配律，去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程变形的基础题，易错点是容易漏乘括号内的常数项，或者括号前为负号时忘记给括号内所有项变号，做题时逐项计算就能有效避免错误。
【难度系数】
0.8
2.将方程$3x+\frac{2x-1}{3}=3-\frac{x+1}{2}$去分母，正确的是（
A.$18x+2(2x-1)=18-3(x+1)$
B.$3x+(2x-1)=3-(x+1)$
C.$18x+(2x-1)=18-(x+1)$
D.$3x+2(2x-1)=3-3(x+1)$
A
）A.$18x+2(2x-1)=18-3(x+1)$
B.$3x+(2x-1)=3-(x+1)$
C.$18x+(2x-1)=18-(x+1)$
D.$3x+2(2x-1)=3-3(x+1)$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决方程去分母的问题，首先回忆去分母的规则：第一步先找到方程中所有分母的最小公倍数，再根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘这个最小公倍数，注意不能漏乘没有分母的项；另外分数线有括号的作用，如果分子是多项式，去分母后要给整体加上括号，避免运算错误。本题中分母是3和2，先算二者的最小公倍数，再逐项相乘判断即可。
【解析】
1. 找分母的最小公倍数：方程中分母分别是3和2，最小公倍数是6；
2. 方程左右两边每一项同时乘6：
左边：$3x×6 + \frac{2x-1}{3}×6 = 18x + 2(2x-1)$
右边：$3×6 - \frac{x+1}{2}×6 = 18 - 3(x+1)$
3. 整理得去分母后的方程为$18x+2(2x-1)=18-3(x+1)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质，去分母法则，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程去分母的基础题型，易错点为漏乘不含分母的项、分子为多项式时漏加括号，熟练掌握去分母的运算规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
要解决方程去分母的问题，首先回忆去分母的规则：第一步先找到方程中所有分母的最小公倍数，再根据等式的性质，给方程左右两边的每一项都乘这个最小公倍数，注意不能漏乘没有分母的项；另外分数线有括号的作用，如果分子是多项式，去分母后要给整体加上括号，避免运算错误。本题中分母是3和2，先算二者的最小公倍数，再逐项相乘判断即可。
【解析】
1. 找分母的最小公倍数：方程中分母分别是3和2，最小公倍数是6；
2. 方程左右两边每一项同时乘6：
左边：$3x×6 + \frac{2x-1}{3}×6 = 18x + 2(2x-1)$
右边：$3×6 - \frac{x+1}{2}×6 = 18 - 3(x+1)$
3. 整理得去分母后的方程为$18x+2(2x-1)=18-3(x+1)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质，去分母法则，一元一次方程求解
【点评】
本题是一元一次方程去分母的基础题型，易错点为漏乘不含分母的项、分子为多项式时漏加括号，熟练掌握去分母的运算规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
3.(1)将方程$\frac{x+2}{4}=\frac{2x+3}{6}$的两边乘
(2)将方程$5-\frac{1+2x}{2}=0$去分母，得
12
，得$3(x+2)=2(2x+3)$；(2)将方程$5-\frac{1+2x}{2}=0$去分母，得
$10-(1+2x)=0$
。答案
3.(1)12 (2)$10-(1+2x)=0$
解析
【分析】
这道题考查一元一次方程去分母的方法，解题思路如下：1. 去分母的核心是利用等式的性质，给方程左右两边所有项同时乘各分母的最小公倍数，消去分母；2. 计算时要注意两点，一是不能漏乘不含分母的项，二是如果分子是多项式，去分母后要给整体加括号，避免符号出错。第(1)问先找分母4和6的最小公倍数即可，第(2)问给方程每一项都乘分母2，再整理即可。
【解析】
(1) 先找分母4和6的最小公倍数：4的倍数有4、8、12……，6的倍数有6、12……，所以4和6的最小公倍数是12，给方程两边同时乘12，就能得到$3(x+2)=2(2x+3)$，所以此处填12。
(2) 方程$5-\frac{1+2x}{2}=0$的分母是2，给方程左右两边每一项都乘2：
左边第一项$5×2=10$，左边第二项$-\frac{1+2x}{2}×2=-(1+2x)$，右边$0×2=0$，
整理后得$10-(1+2x)=0$。
【答案】
(1)12；(2)$10-(1+2x)=0$
【知识点】
一元一次方程去分母，最小公倍数计算，等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查去分母的操作规范，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项，以及分子是多项式时忘记加括号，平时练习时要注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元一次方程去分母的方法，解题思路如下：1. 去分母的核心是利用等式的性质，给方程左右两边所有项同时乘各分母的最小公倍数，消去分母；2. 计算时要注意两点，一是不能漏乘不含分母的项，二是如果分子是多项式，去分母后要给整体加括号，避免符号出错。第(1)问先找分母4和6的最小公倍数即可，第(2)问给方程每一项都乘分母2，再整理即可。
【解析】
(1) 先找分母4和6的最小公倍数：4的倍数有4、8、12……，6的倍数有6、12……，所以4和6的最小公倍数是12，给方程两边同时乘12，就能得到$3(x+2)=2(2x+3)$，所以此处填12。
(2) 方程$5-\frac{1+2x}{2}=0$的分母是2，给方程左右两边每一项都乘2：
左边第一项$5×2=10$，左边第二项$-\frac{1+2x}{2}×2=-(1+2x)$，右边$0×2=0$，
整理后得$10-(1+2x)=0$。
【答案】
(1)12；(2)$10-(1+2x)=0$
【知识点】
一元一次方程去分母，最小公倍数计算，等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考查去分母的操作规范，易错点是去分母时漏乘不含分母的常数项，以及分子是多项式时忘记加括号，平时练习时要注意规避这两类错误。
【难度系数】
0.8
4.若代数式$4x - 5$与$\frac{2x - 1}{2}$的值相等，则x的值是
$\frac{3}{2}$
。答案
4.$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$ ［解析］由题意，得$4x-5=\frac{2x-1}{2}$。
去分母，得$8x-10=2x-1$。
移项，得$8x-2x=-1+10$。
合并同类项，得$6x=9$。
系数化为1，得$x=\frac{3}{2}$。
去分母，得$8x-10=2x-1$。
移项，得$8x-2x=-1+10$。
合并同类项，得$6x=9$。
系数化为1，得$x=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先抓住“两个代数式的值相等”这一核心等量关系，先列出关于x的一元一次方程，再按解一元一次方程的常规步骤计算即可：第一步根据题意列方程，第二步去分母，因为方程含有分母2，给等式两边同时乘2消去分母，注意每一项都要乘2，不能漏乘常数项；第三步移项，将含x的项移到等式左侧、常数项移到等式右侧，移项要变号；第四步合并同类项，第五步将x的系数化为1即可得到结果。
【解析】
由题意得：$4x-5=\frac{2x-1}{2}$
去分母（等式两边同时乘2），得：$8x-10=2x-1$
移项，得：$8x-2x=-1+10$
合并同类项，得：$6x=9$
系数化为1，得：$x=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，主要考查根据等量关系列方程的能力和解一元一次方程的基本操作，解题时要注意规避去分母漏乘项、移项忘变号的常见易错点，熟练掌握基础步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住“两个代数式的值相等”这一核心等量关系，先列出关于x的一元一次方程，再按解一元一次方程的常规步骤计算即可：第一步根据题意列方程，第二步去分母，因为方程含有分母2，给等式两边同时乘2消去分母，注意每一项都要乘2，不能漏乘常数项；第三步移项，将含x的项移到等式左侧、常数项移到等式右侧，移项要变号；第四步合并同类项，第五步将x的系数化为1即可得到结果。
【解析】
由题意得：$4x-5=\frac{2x-1}{2}$
去分母（等式两边同时乘2），得：$8x-10=2x-1$
移项，得：$8x-2x=-1+10$
合并同类项，得：$6x=9$
系数化为1，得：$x=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程的基础应用题型，主要考查根据等量关系列方程的能力和解一元一次方程的基本操作，解题时要注意规避去分母漏乘项、移项忘变号的常见易错点，熟练掌握基础步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.解下列方程：
(1)$-2(x-4)=3-(7-2x)$；
(2)$4(2x-1)-3(5x+2)=3(2-x)$；
(3)$\frac{x-7}{4} - \frac{2x-12}{3}=1.$
(1)$-2(x-4)=3-(7-2x)$；
(2)$4(2x-1)-3(5x+2)=3(2-x)$；
(3)$\frac{x-7}{4} - \frac{2x-12}{3}=1.$
答案
5.解:(1)去括号,得$-2x+8=3-7+2x$。
移项,得$-2x-2x=3-7-8$。
合并同类项,得$-4x=-12$。
系数化为1,得$x=3$。
(2)去括号,得$8x-4-15x-6=6-3x$。
移项,得$8x-15x+3x=6+6+4$。
合并同类项,得$-4x=16$。
系数化为1,得$x=-4$。
(3)去分母,得$3(x-7)-4(2x-12)=12$。
去括号,得$3x-21-8x+48=12$。
移项,得$3x-8x=12+21-48$。
合并同类项,得$-5x=-15$。
系数化为1,得$x=3$。
移项,得$-2x-2x=3-7-8$。
合并同类项,得$-4x=-12$。
系数化为1,得$x=3$。
(2)去括号,得$8x-4-15x-6=6-3x$。
移项,得$8x-15x+3x=6+6+4$。
合并同类项,得$-4x=16$。
系数化为1,得$x=-4$。
(3)去分母,得$3(x-7)-4(2x-12)=12$。
去括号,得$3x-21-8x+48=12$。
移项,得$3x-8x=12+21-48$。
合并同类项,得$-5x=-15$。
系数化为1,得$x=3$。
解析
【分析】
这三道题都是一元一次方程的求解，可按标准步骤逐步计算：
1. 带括号的方程（第(1)(2)题）：先去括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，且不要漏乘括号内的项；再移项，把含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧，移项要变号；接着合并同类项化简；最后系数化为1得到解。
2. 带分母的方程（第(3)题）：先找分母的最小公倍数，方程两边每一项都乘最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项；之后再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
(1)去括号，得$-2x+8=3-7+2x$。
移项，得$-2x-2x=3-7-8$。
合并同类项，得$-4x=-12$。
系数化为1，得$x=3$。
(2)去括号，得$8x-4-15x-6=6-3x$。
移项，得$8x-15x+3x=6+6+4$。
合并同类项，得$-4x=16$。
系数化为1，得$x=-4$。
(3)去分母，得$3(x-7)-4(2x-12)=12$。
去括号，得$3x-21-8x+48=12$。
移项，得$3x-8x=12+21-48$。
合并同类项，得$-5x=-15$。
系数化为1，得$x=3$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-4$；(3)$x=3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 去括号法则 3. 等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程的基础训练题，重点考察解方程的常规步骤，易错点集中在去括号符号判断、去分母漏乘常数项、移项未变号，熟练掌握这些基础操作，能为后续解决复杂方程及实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
这三道题都是一元一次方程的求解，可按标准步骤逐步计算：
1. 带括号的方程（第(1)(2)题）：先去括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，且不要漏乘括号内的项；再移项，把含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧，移项要变号；接着合并同类项化简；最后系数化为1得到解。
2. 带分母的方程（第(3)题）：先找分母的最小公倍数，方程两边每一项都乘最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项；之后再按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
(1)去括号，得$-2x+8=3-7+2x$。
移项，得$-2x-2x=3-7-8$。
合并同类项，得$-4x=-12$。
系数化为1，得$x=3$。
(2)去括号，得$8x-4-15x-6=6-3x$。
移项，得$8x-15x+3x=6+6+4$。
合并同类项，得$-4x=16$。
系数化为1，得$x=-4$。
(3)去分母，得$3(x-7)-4(2x-12)=12$。
去括号，得$3x-21-8x+48=12$。
移项，得$3x-8x=12+21-48$。
合并同类项，得$-5x=-15$。
系数化为1，得$x=3$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=-4$；(3)$x=3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 去括号法则 3. 等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程的基础训练题，重点考察解方程的常规步骤，易错点集中在去括号符号判断、去分母漏乘常数项、移项未变号，熟练掌握这些基础操作，能为后续解决复杂方程及实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
6.(陕西咸阳秦都区月考)一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，给这个两位数加上18后，比原先的十位数字大56，这个两位数是（
A.42
B.24
C.33
D.51
A
）A.42
B.24
C.33
D.51
答案
6.A ［解析］本题中的等量关系为两位数$+18=$原十位数字$+56$。
方法1 设这个两位数的十位数字是$x$,则个位数字是$6-x$。
由题意,得$10x+6-x+18=x+56$,
解得$x=4$,
所以$6-x=6-4=2$,
所以这个两位数是42。
方法2 设这个两位数的个位数字是$y$,则十位数字是$6-y$。
由题意,得$10(6-y)+y+18=6-y+56$,
解得$y=2$,
所以$6-y=6-2=4$,
所以这个两位数是42。
方法1 设这个两位数的十位数字是$x$,则个位数字是$6-x$。
由题意,得$10x+6-x+18=x+56$,
解得$x=4$,
所以$6-x=6-4=2$,
所以这个两位数是42。
方法2 设这个两位数的个位数字是$y$,则十位数字是$6-y$。
由题意,得$10(6-y)+y+18=6-y+56$,
解得$y=2$,
所以$6-y=6-2=4$,
所以这个两位数是42。
解析
【分析】
这是一道数字类应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。题目给出两个核心条件：①十位数字与个位数字的和是6；②原两位数加18的结果等于原十位数字加56。我们可以先设其中一个数位的数字为未知数，用第一个条件表示出另一个数位的数字，再根据第二个等量关系列方程求解，也可以直接代入选项验证，快速得出答案。
【解析】
方法一：列方程求解
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$6-x$，这个两位数可表示为$10x+(6-x)$。
根据题意列方程：
$10x+6-x+18=x+56$
化简得：$9x+24=x+56$
移项计算：$8x=32$
解得：$x=4$
则个位数字为$6-4=2$，所以这个两位数是42。
方法二：代入验证法
将选项依次代入条件验证：
A选项42：十位加个位$4+2=6$，符合第一个条件；$42+18=60$，原十位数字加56为$4+56=60$，符合第二个条件，A正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 两位数的表示
2. 列方程解应用题
3. 数字问题求解
【点评】
本题是典型的数字类基础应用题，解题关键是掌握两位数的表示方法，准确梳理题目中的等量关系，除了列方程求解外，也可通过代入选项验证的方法提高解题效率。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。题目给出两个核心条件：①十位数字与个位数字的和是6；②原两位数加18的结果等于原十位数字加56。我们可以先设其中一个数位的数字为未知数，用第一个条件表示出另一个数位的数字，再根据第二个等量关系列方程求解，也可以直接代入选项验证，快速得出答案。
【解析】
方法一：列方程求解
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$6-x$，这个两位数可表示为$10x+(6-x)$。
根据题意列方程：
$10x+6-x+18=x+56$
化简得：$9x+24=x+56$
移项计算：$8x=32$
解得：$x=4$
则个位数字为$6-4=2$，所以这个两位数是42。
方法二：代入验证法
将选项依次代入条件验证：
A选项42：十位加个位$4+2=6$，符合第一个条件；$42+18=60$，原十位数字加56为$4+56=60$，符合第二个条件，A正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 两位数的表示
2. 列方程解应用题
3. 数字问题求解
【点评】
本题是典型的数字类基础应用题，解题关键是掌握两位数的表示方法，准确梳理题目中的等量关系，除了列方程求解外，也可通过代入选项验证的方法提高解题效率。
【难度系数】
0.7
7.(湖南邵阳期末)下面是小红做的一道题,请你判断她的解答是否正确.若不正确,请你写出正确的解答过程.
解方程:$\frac{x+3}{0.2}-\frac{0.4x-1}{0.5}=-\frac{5}{2}$.
解:原方程变形为$\frac{10x+30}{2}-\frac{4x-10}{5}=-25$.
$5(10x+30)-2(4x-10)=-25×10$.
$42x=-420$.
$x=-10$.
解方程:$\frac{x+3}{0.2}-\frac{0.4x-1}{0.5}=-\frac{5}{2}$.
解:原方程变形为$\frac{10x+30}{2}-\frac{4x-10}{5}=-25$.
$5(10x+30)-2(4x-10)=-25×10$.
$42x=-420$.
$x=-10$.
答案
7.解:不正确.正确的解答过程如下:
原方程变形为$\frac{10x+30}{2}-\frac{4x-10}{5}=-\frac{5}{2}$。
去分母,得$5(10x+30)-2(4x-10)=-25$。
去括号,得$50x+150-8x+20=-25$。
移项,得$50x-8x=-25-150-20$。
合并同类项,得$42x=-195$。
系数化为1,得$x=-\frac{65}{14}$。
原方程变形为$\frac{10x+30}{2}-\frac{4x-10}{5}=-\frac{5}{2}$。
去分母,得$5(10x+30)-2(4x-10)=-25$。
去括号,得$50x+150-8x+20=-25$。
移项,得$50x-8x=-25-150-20$。
合并同类项,得$42x=-195$。
系数化为1,得$x=-\frac{65}{14}$。
解析
【分析】
这道题是含小数分母的一元一次方程求解问题，解题时首先要区分分数的基本性质和等式的性质：将分数的小数分母化为整数时，仅给对应分数的分子、分母同时乘相同的非零数，分数值不变，方程其余的项（包括等号右侧的常数项）不能随意乘倍数。小红的错误就是第一步变形时误把等号右侧的$-\frac{5}{2}$也乘了10，导致后续计算出错。正确的解题思路为：先利用分数基本性质把分数的分母化为整数，等号右侧保持不变；再按解一元一次方程的常规步骤，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可得到正确解。
【解析】
小红的解答不正确，正确解答过程如下：
原方程利用分数基本性质，将两个分数的分母化为整数，等号右侧保持不变，变形为：
$\frac{10x+30}{2}-\frac{4x-10}{5}=-\frac{5}{2}$
去分母，方程两边同时乘分母的最小公倍数10，得：
$5(10x+30)-2(4x-10)=-25$
去括号，得：
$50x+150-8x+20=-25$
移项，得：
$50x-8x=-25-150-20$
合并同类项，得：
$42x=-195$
系数化为1，得：
$x=-\frac{65}{14}$
【答案】
$x=-\frac{65}{14}$
【知识点】
1.分数的基本性质
2.解一元一次方程
3.去括号法则
【点评】
本题的易错点是混淆分数的基本性质和等式的性质，化小数分母为整数时误给方程右侧常数项也乘对应倍数，解题时要注意两个性质的适用场景，严格按步骤计算即可避免错误。
【难度系数】
0.6
这道题是含小数分母的一元一次方程求解问题，解题时首先要区分分数的基本性质和等式的性质：将分数的小数分母化为整数时，仅给对应分数的分子、分母同时乘相同的非零数，分数值不变，方程其余的项（包括等号右侧的常数项）不能随意乘倍数。小红的错误就是第一步变形时误把等号右侧的$-\frac{5}{2}$也乘了10，导致后续计算出错。正确的解题思路为：先利用分数基本性质把分数的分母化为整数，等号右侧保持不变；再按解一元一次方程的常规步骤，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可得到正确解。
【解析】
小红的解答不正确，正确解答过程如下：
原方程利用分数基本性质，将两个分数的分母化为整数，等号右侧保持不变，变形为：
$\frac{10x+30}{2}-\frac{4x-10}{5}=-\frac{5}{2}$
去分母，方程两边同时乘分母的最小公倍数10，得：
$5(10x+30)-2(4x-10)=-25$
去括号，得：
$50x+150-8x+20=-25$
移项，得：
$50x-8x=-25-150-20$
合并同类项，得：
$42x=-195$
系数化为1，得：
$x=-\frac{65}{14}$
【答案】
$x=-\frac{65}{14}$
【知识点】
1.分数的基本性质
2.解一元一次方程
3.去括号法则
【点评】
本题的易错点是混淆分数的基本性质和等式的性质，化小数分母为整数时误给方程右侧常数项也乘对应倍数，解题时要注意两个性质的适用场景，严格按步骤计算即可避免错误。
【难度系数】
0.6
8. 练思维·数形结合 如图,在数轴上点A表示的数为$\frac{2a - 3}{7}$,点B表示的数为$\frac{a + 3}{4}$.
(1)当点A与点B之间的距离为1时,求a的值;
(2)若点A与原点之间的距离是点B与原点之间的距离的一半,求a的值.
(1)当点A与点B之间的距离为1时,求a的值;
(2)若点A与原点之间的距离是点B与原点之间的距离的一半,求a的值.
答案
8.解:(1)由题意,得$\frac{a+3}{4}-\frac{2a-3}{7}=1$。
去分母,得$7(a+3)-4(2a-3)=28$。
去括号,得$7a+21-8a+12=28$。
移项,得$7a-8a=28-21-12$。
合并同类项,得$-a=-5$。
系数化为1,得$a=5$。
(2)点A与原点之间的距离是点B与原点之间的距离的一半,有两种可能性:
①当原点在点A与点B之间时,如图。
由图易知,点A表示的数小于0,所以点A与原点之间的距离为$-\frac{2a-3}{7}$。
由题意,得$\frac{a+3}{4}=2×(-\frac{2a-3}{7})$,
解得$a=\frac{3}{23}$。
②当原点在点A的左侧时,如图。
由题意,得$\frac{a+3}{4}=2×\frac{2a-3}{7}$,解得$a=5$。
综上,$a$的值为$\frac{3}{23}$或5。
解析
【分析】
（1）观察数轴可知点B在点A右侧，数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，已知AB距离为1，可直接列出关于a的一元一次方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
（2）本题未明确原点的位置，需分两种情况讨论：①原点在A左侧，此时A、B表示的数均为正数，到原点的距离就是数本身；②原点在A、B之间，此时A表示负数，到原点的距离是它的相反数，B表示正数，到原点的距离是数本身。分别根据“A到原点的距离是B到原点距离的一半”列方程求解，最后汇总结果即可。
【解析】
(1) 由题意得点B在点A右侧，AB距离为1，列方程：
$\frac{a+3}{4}-\frac{2a-3}{7}=1$
去分母，得$7(a+3)-4(2a-3)=28$
去括号，得$7a+21-8a+12=28$
移项，得$7a-8a=28-21-12$
合并同类项，得$-a=-5$
系数化为1，得$a=5$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当原点在点A与点B之间时，如图：
此时点A表示的数小于0，到原点的距离为$-\frac{2a-3}{7}$，由题意得：
$\frac{a+3}{4}=2×(-\frac{2a-3}{7})$
解得$a=\frac{3}{23}$。
② 当原点在点A的左侧时，如图：
此时A、B表示的数均为正数，由题意得：
$\frac{a+3}{4}=2×\frac{2a-3}{7}$
解得$a=5$。
综上，$a$的值为$\frac{3}{23}$或5。
【答案】
(1) $a=5$；
(2) $a$的值为$\frac{3}{23}$或$5$，对应情况图示：
①
②
【知识点】
数轴与距离、解一元一次方程、分类讨论
【点评】
本题结合数轴考查一元一次方程的实际应用，解题核心是利用数轴的几何性质确定数量关系，第二问需要注意原点位置的不确定性，通过分类讨论避免漏解，能很好地锻炼数形结合思维和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
（1）观察数轴可知点B在点A右侧，数轴上两点的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，已知AB距离为1，可直接列出关于a的一元一次方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
（2）本题未明确原点的位置，需分两种情况讨论：①原点在A左侧，此时A、B表示的数均为正数，到原点的距离就是数本身；②原点在A、B之间，此时A表示负数，到原点的距离是它的相反数，B表示正数，到原点的距离是数本身。分别根据“A到原点的距离是B到原点距离的一半”列方程求解，最后汇总结果即可。
【解析】
(1) 由题意得点B在点A右侧，AB距离为1，列方程：
$\frac{a+3}{4}-\frac{2a-3}{7}=1$
去分母，得$7(a+3)-4(2a-3)=28$
去括号，得$7a+21-8a+12=28$
移项，得$7a-8a=28-21-12$
合并同类项，得$-a=-5$
系数化为1，得$a=5$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当原点在点A与点B之间时，如图：
此时点A表示的数小于0，到原点的距离为$-\frac{2a-3}{7}$，由题意得：
$\frac{a+3}{4}=2×(-\frac{2a-3}{7})$
解得$a=\frac{3}{23}$。
② 当原点在点A的左侧时，如图：
此时A、B表示的数均为正数，由题意得：
$\frac{a+3}{4}=2×\frac{2a-3}{7}$
解得$a=5$。
综上，$a$的值为$\frac{3}{23}$或5。
【答案】
(1) $a=5$；
(2) $a$的值为$\frac{3}{23}$或$5$，对应情况图示：
①
②
【知识点】
数轴与距离、解一元一次方程、分类讨论
【点评】
本题结合数轴考查一元一次方程的实际应用，解题核心是利用数轴的几何性质确定数量关系，第二问需要注意原点位置的不确定性，通过分类讨论避免漏解，能很好地锻炼数形结合思维和逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6
