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9. 学习了“三角形中位线定理”后，在“$△ ABC$中，$D,E$分别是边$AB$，$AC$上的点”这个前提条件下，某同学得到以下三个结论，其中正确的是 （
①若$D$是$AB$的中点，$DE// BC$，则$E$是$AC$的中点；
②若$D$是$AB$的中点，$DE=\dfrac{1}{2}BC$，则$E$是$AC$的中点；
③若$DE// BC$，$DE=\dfrac{1}{2}BC$，则$D,E$分别是$AB,AC$的中点。
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
B
）①若$D$是$AB$的中点，$DE// BC$，则$E$是$AC$的中点；
②若$D$是$AB$的中点，$DE=\dfrac{1}{2}BC$，则$E$是$AC$的中点；
③若$DE// BC$，$DE=\dfrac{1}{2}BC$，则$D,E$分别是$AB,AC$的中点。
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
9.B
10. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ D=5∠ CAB$,在$AC$上取点$P$,使$PC=BC$,连结$BP$,过点$P$作$EF⊥ CD$,分别交$AB,CD$于点$E,F$。已知$BE=2,AE=x,BP=y$,当$x,y$发生变化时,下列代数式中,值不变的是（
A.$x+y$
B.$x-y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
B
）A.$x+y$
B.$x-y$
C.$xy$
D.$x^2+y^2$
答案
10.B 【解析】设$∠ CAB=α$,则$∠ D=5∠ CAB=5α$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$∠ ABC=∠ D=5α$,$AB// CD$。
在$△ ABC$中,$∠ ACB=180°-∠ CAB-∠ ABC=180°-α-5α=180°-6α$,
因为$PC=BC$,所以$∠ CPB=∠ CBP=\dfrac{180°-∠ ACB}{2}=\dfrac{180°-(180°-6α)}{2}=3α$。
所以$∠ PBA=∠ ABC-∠ CBP=5α-3α=2α$。
如图,在$AE$上取$QE=BE$,连结$PQ$。因为$EF⊥ CD$,$AB// CD$,所以$EF⊥ AB$。所以$EF$是$QB$的垂直平分线。所以$PQ=PB$。
所以$∠ PQB=∠ PBQ=2α$。所以$∠ QPA=∠ PQB-∠ CAB=2α-α=α$。所以$∠ QPA=∠ CAB=α$。所以$AQ=QP=BP=y$。
因为$AE=x$,所以$AE-AQ=QE=2$,即$x-y=2$。所以当$x,y$发生变化时,$x-y$不变。故选B。
因为四边形$ABCD$是平行四边形,所以$∠ ABC=∠ D=5α$,$AB// CD$。
在$△ ABC$中,$∠ ACB=180°-∠ CAB-∠ ABC=180°-α-5α=180°-6α$,
因为$PC=BC$,所以$∠ CPB=∠ CBP=\dfrac{180°-∠ ACB}{2}=\dfrac{180°-(180°-6α)}{2}=3α$。
所以$∠ PBA=∠ ABC-∠ CBP=5α-3α=2α$。
如图,在$AE$上取$QE=BE$,连结$PQ$。因为$EF⊥ CD$,$AB// CD$,所以$EF⊥ AB$。所以$EF$是$QB$的垂直平分线。所以$PQ=PB$。
所以$∠ PQB=∠ PBQ=2α$。所以$∠ QPA=∠ PQB-∠ CAB=2α-α=α$。所以$∠ QPA=∠ CAB=α$。所以$AQ=QP=BP=y$。
因为$AE=x$,所以$AE-AQ=QE=2$,即$x-y=2$。所以当$x,y$发生变化时,$x-y$不变。故选B。
11.化简：$\sqrt{(-1)^2}=$
1
。答案
11.1
12. 若一组数据2,4,5,1,a的平均数为a,则a的值为
3
。答案
12.3
13. 如图,将$△ ABC$绕点A按逆时针方向旋转$100°$得到$△ ADE$,若点D在线段BC的延长线上,则$∠ ADE$的度数为________°。
答案
13.40
14. 对于实数$a,b$定义新运算:$a△ b = b^2 - ab$。若关于$x$的方程$6△ x = k$有两个相等的实数根,则$k$的值为________。
答案
14.-9
15. 如图1,将面积为4的正方形分为①②③④四部分,分成的四部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD,则AB的长为
$\sqrt{5}-1$
。答案
15.$\sqrt{5}-1$ 【解析】设$AB=b$。因为正方形的面积为4,所以正方形的边长为2。所以直角三角形①中的长直角边为2。所以$b(2+b)=4$,解得$b=\sqrt{5}-1$(负值已舍)。所以$AB=\sqrt{5}-1$。
16. 如图,过$□ ABCD$内的点$P$作各边的平行线,分别交$AB,BC,CD,DA$于点$E,F,G,H$。连结$AF,AG,FG$。已知$△ AFG$与$□ AEPH$的面积分别为$m,n$。
(1)若点$P$是$□ ABCD$的对称中心,则$\frac{n}{m}=$
(2)$□ ABCD$的面积为
(1)若点$P$是$□ ABCD$的对称中心,则$\frac{n}{m}=$
$\dfrac{2}{3}$
。(2)$□ ABCD$的面积为
$2m+n$
(用含$m,n$的代数式表示)。答案
16.(1)$\dfrac{2}{3}$ (2)$2m+n$ 【解析】(1)如图,连结$AC,BD$。因为四边形$ABCD$为平行四边形,所以$AD// BC$,$AB// CD$,$AD=BC$,$AB=CD$。所以$AB// FH// CD$,$AD// EG// BC$。所以四边形$AEPH$、四边形$ABFH$、四边形$CFPG$、四边形$AEGD$均为平行四边形。设四边形$ABCD$的面积为$S$。
因为点$P$是$□ ABCD$的对称中心,所以$S_{□ AEPH}=n=\dfrac{1}{4}S_{□ ABCD}=\dfrac{1}{4}S$,$S_{△ ABF}=\dfrac{1}{2}S_{□ ABFH}=\dfrac{1}{4}S$,$S_{△ CFG}=\dfrac{1}{2}S_{□ CFPG}=\dfrac{1}{8}S$,$S_{△ ADG}=\dfrac{1}{2}S_{□ AEGD}=\dfrac{1}{4}S$。所以$S_{△ AFG}=m=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{8}S-\dfrac{1}{4}S=\dfrac{3}{8}S$。所以$\dfrac{n}{m}=\dfrac{\dfrac{1}{4}S}{\dfrac{3}{8}S}=\dfrac{2}{3}$。
(2)设$S_{□ ABCD}=S$,$\dfrac{AH}{AD}=a$,$\dfrac{AE}{AB}=b$,所以$S_{□ ABFH}=\dfrac{AH}{AD}· S_{□ ABCD}=aS$,$S_{□ AEGD}=\dfrac{AE}{AB}· S_{□ ABCD}=bS$,$S_{□ CFPG}=\dfrac{CF}{BC}·\dfrac{CG}{CD}· S_{□ ABCD}=(1-a)(1-b)S$,$S_{□ AEPH}=\dfrac{AE}{AB}·\dfrac{AH}{AD}· S_{□ ABCD}=abS$。所以$S_{△ AFG}=m=S_{□ ABCD}-S_{△ ABF}-S_{△ ADG}-S_{△ CFG}=S-\dfrac{1}{2}aS-\dfrac{1}{2}bS-\dfrac{1}{2}(1-a)(1-b)S=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}ab)S$。所以$2m=S-abS=S-n$,即$S=2m+n$。
因为点$P$是$□ ABCD$的对称中心,所以$S_{□ AEPH}=n=\dfrac{1}{4}S_{□ ABCD}=\dfrac{1}{4}S$,$S_{△ ABF}=\dfrac{1}{2}S_{□ ABFH}=\dfrac{1}{4}S$,$S_{△ CFG}=\dfrac{1}{2}S_{□ CFPG}=\dfrac{1}{8}S$,$S_{△ ADG}=\dfrac{1}{2}S_{□ AEGD}=\dfrac{1}{4}S$。所以$S_{△ AFG}=m=S-\dfrac{1}{4}S-\dfrac{1}{8}S-\dfrac{1}{4}S=\dfrac{3}{8}S$。所以$\dfrac{n}{m}=\dfrac{\dfrac{1}{4}S}{\dfrac{3}{8}S}=\dfrac{2}{3}$。
(2)设$S_{□ ABCD}=S$,$\dfrac{AH}{AD}=a$,$\dfrac{AE}{AB}=b$,所以$S_{□ ABFH}=\dfrac{AH}{AD}· S_{□ ABCD}=aS$,$S_{□ AEGD}=\dfrac{AE}{AB}· S_{□ ABCD}=bS$,$S_{□ CFPG}=\dfrac{CF}{BC}·\dfrac{CG}{CD}· S_{□ ABCD}=(1-a)(1-b)S$,$S_{□ AEPH}=\dfrac{AE}{AB}·\dfrac{AH}{AD}· S_{□ ABCD}=abS$。所以$S_{△ AFG}=m=S_{□ ABCD}-S_{△ ABF}-S_{△ ADG}-S_{△ CFG}=S-\dfrac{1}{2}aS-\dfrac{1}{2}bS-\dfrac{1}{2}(1-a)(1-b)S=(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}ab)S$。所以$2m=S-abS=S-n$,即$S=2m+n$。
