1. 如图，$AB$、$AC$、$BD$是$\odot O$的切线，切点分别是$P$、$C$、$D$.若$AB=10$，$AC=6$，则$BD$的长是（）

A.3
B.4
C.5
D.6

1. B 解析:$\because AC、AP$为$\odot O$的切线,$\therefore AP=AC=6.\because BP、BD$为$\odot O$的切线,$\therefore BD=BP,\therefore BD=BP=AB-AP=10-6=4.$

【分析】
本题是圆的切线相关计算题，解题关键是运用切线长定理：从圆外一点向圆引两条切线，该点到两切点的线段长度相等。观察图形，点A在圆外，引了两条切线AC和AP，故AC与AP长度相等；点B在圆外，引了两条切线BP和BD，故BP与BD长度相等。结合AB的长度，AB是AP与BP的和，通过等量代换即可求出BD的长度。
【解析】
根据切线长定理：
1. 因为AC、AP是⊙O的切线，切点分别为C、P，所以AP = AC = 6；
2. 因为BP、BD是⊙O的切线，切点分别为P、D，所以BD = BP；
3. 已知AB = 10，且AB = AP + BP，因此BP = AB - AP = 10 - 6 = 4；
4. 由此可得BD = BP = 4。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题考查切线长定理的基础应用，属于圆章节的基础题型，只需识别圆外点的两条切线，利用切线长相等的性质转化线段即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.7

2. 如图, $P A 、 P B$ 与 $\odot O$ 分别相切于点 $A 、 B, P A=2, ∠ P=60°$, 则 $A B$ 的长为（）

A.$\sqrt{3}$
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.3

2. B 解析:$\because PA、PB$与$\odot O$分别相切于点$A、B$,$\therefore PA=PB.$ 又$\because ∠APB=60°$,$\therefore △ PAB$是等边三角形,$\therefore AB=PA=2.$

【分析】
要解决这道题，首先利用切线长定理得到PA与PB的关系，再结合已知的∠P=60°，判断△PAB的形状，进而求出AB的长度。
【解析】
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等，
∴PA=PB。
又
∵∠APB=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴△PAB是等边三角形。
已知PA=2，等边三角形三边相等，
∴AB=PA=2。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理、等边三角形判定
【点评】
本题是圆的切线相关的基础题，核心是利用切线长定理得到等腰三角形，结合60°角判定等边三角形，进而计算边长，属于几何基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.3

3. 如图，$PA$、$PB$分别切$\odot O$于点$A$、$B$，连接$OA$、$OB$，连接$OP$交$\odot O$于点$C$，且$∠ BPO=28^{\circ }$，则$△ OAP≌△$，$∠ APO=$（填度数），$\overset{\frown}{AC}=$.

3. OBP $28^{\circ }$ $\overset{\frown}{BC}$ 解析:$\because PA、PB$分别切$\odot O$于点$A、B$,$\therefore PA=PB$,$∠ OAP=∠ OBP=90°.$ 在$\mathrm{Rt}△ OPA$和$\mathrm{Rt}△ OPB$中,$\begin{cases} PA=PB, \\ OP=OP, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ OPA≌ \mathrm{Rt}△ OPB$(HL),$\therefore ∠ APO=∠ BPO=28°$,$∠ AOP=∠ BOP$,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}.$

【分析】
要解决本题，需结合圆的切线性质、切线长定理、全等三角形判定及圆心角与弧的关系逐步推导：首先，PA、PB是⊙O的切线，根据切线性质，切线与过切点的半径垂直，可得OA⊥PA、OB⊥PB；再根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，得PA=PB；接着，观察Rt△OAP和Rt△OBP，有公共斜边OP，直角边PA=PB，可通过HL判定全等；全等后对应角相等，得到∠APO=∠BPO，对应圆心角相等，进而推出弧AC与弧BC相等。
【解析】
∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，且PA=PB（切线长定理）。
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
$\begin{cases} PA=PB \\ OP=OP \end{cases}$
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）。
∴ ∠APO=∠BPO=28°，∠AOP=∠BOP。
根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【答案】
OBP；$28^{\circ }$；$\overset{\frown}{BC}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；全等三角形判定
【点评】
本题考查圆的切线相关基础性质，结合全等三角形判定和圆心角与弧的关系，是初中几何的基础题型，侧重核心定理的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7

4. (2025·黑龙江)如图，$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，$A$、$B$为切点，$AC$是直径，$∠ BAC=35^{\circ }$，则$∠ P$的度数为。

4. $70°$ 解析:$\because PA、PB$是$\odot O$的切线,$\therefore PA=PB.$ $\because AC$是$\odot O$的直径,$∠ BAC=35°$,$\therefore PA⊥ AC$,$\therefore ∠ PAC=90°$,$\therefore ∠ PBA=∠ PAB=90°-∠ BAC=90°-35°=55°$,$\therefore ∠ P=180°-∠ PBA-∠ PAB=180°-55°-55°=70°.$

【分析】要解决该问题，需结合切线的性质、切线长定理和三角形内角和定理。首先利用切线垂直于过切点的半径，得到PA与AC垂直，从而算出∠PAB的度数；再根据切线长定理得出PA=PB，确定△PAB为等腰三角形，最后利用三角形内角和求出∠P的度数。
【解析】
∵ PA、PB是⊙O的切线，
∴ PA = PB（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等），且PA⊥OA（切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径）。
∵ AC是⊙O的直径，OA在AC上，
∴ ∠PAC = 90°。
已知∠BAC = 35°，
∴ ∠PAB = ∠PAC - ∠BAC = 90° - 35° = 55°。
∵ PA = PB，
∴ △PAB是等腰三角形，∠PBA = ∠PAB = 55°。
根据三角形内角和为180°，
∴ ∠P = 180° - ∠PAB - ∠PBA = 180° - 55° - 55° = 70°。
【答案】
70°
【知识点】
切线的性质，切线长定理，三角形内角和
【点评】
本题是圆的切线相关的基础计算题，主要考查切线性质、切线长定理和三角形内角和的应用，思路清晰，步骤明确，属于常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

5. 如图，$PA$、$PB$分别切$\odot O$于点$A$、$B$，并与$\odot O$的另一条切线分别相交于$D$、$C$两点，切点为$E$，已知$PA=7$，则$△ PCD$的周长为.

5. 14 解析:$\because PA、PB$分别为$\odot O$的切线,且切点为$A、B$,$\therefore PB=PA=7.$ 同理,$DC$切$\odot O$于点$E$,$\therefore DE=DA$,$CE=CB$,$\therefore △ PCD$的周长为$PD+PC+DE+CE=PD+PC+DA+CB=PA+PB=7+7=14.$

【分析】
要解决本题，需运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，该点到两切点的距离相等。首先，PA、PB是点P到⊙O的两条切线，因此PA=PB；其次，DC是⊙O的切线，切点为E，故点D引的两条切线DA与DE长度相等，点C引的两条切线CB与CE长度相等。△PCD的周长为PD+PC+CD，而CD可拆分为DE+CE，将DE替换为DA、CE替换为CB后，周长可转化为PA+PB，进而计算结果。
【解析】
∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，得：PB = PA = 7。
又
∵ DC切⊙O于点E，根据切线长定理，得：DE = DA，CE = CB。
△PCD的周长 = PD + PC + CD = PD + PC + (DE + CE)
将DE=DA、CE=CB代入上式，得：
周长 = PD + PC + DA + CB = (PD + DA) + (PC + CB) = PA + PB = 7 + 7 = 14。
【答案】
14
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题考查切线长定理的应用，核心是利用切线长相等的性质，将三角形周长转化为已知线段的和，属于基础几何题型，侧重对定理的理解与运用。
【难度系数】
0.6

6. 已知$\odot O$,设过点$P$所画的$\odot O$的两条切线分别为$PA$、$PB$,切点为$A$、$B$.尺规作图:用两种不同的方法作一点$P$,使$∠ APB=45°$.(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)

6. 方法一步骤:作直径$EB$、$CD$,且$CD⊥ EB$;作半径$OA$平分$∠ EOD$;过$A、B$分别作$OA$、$OB$的垂线,两条垂线的交点即为所求点$P$.
方法二步骤:作半径$OA$,过点$A$作直线$l⊥ OA$,以点$A$为圆心、$OA$为半径画弧交直线$l$于点$C$,再以点$C$为圆心、$OC$为半径画弧交直线$l$于点$P$,再以点$P$为圆心、$AP$为半径画弧交$\odot O$于点$B$,连接$OB、BP$,即$∠ APB=45°$,点$P$即为所求.

【分析】要作出满足∠APB=45°的点P，需结合圆的切线性质（切线与过切点的半径垂直）、四边形内角和或圆心角与角度的关系，利用尺规作图的基本操作（作直径、垂线、角平分线、圆等）。方法一通过确定圆心角的度数，结合切线性质得到点P；方法二通过构造等腰直角三角形，结合圆的半径关系确定点P的位置。
【解析】
方法一：
步骤1：作⊙O的两条互相垂直的直径EB、CD；
步骤2：作∠EOD的角平分线，交⊙O于点A；
步骤3：分别过点A、B作OA、OB的垂线，两条垂线的交点即为所求点P。
方法二：
步骤1：作⊙O的半径OA，过点A作直线l⊥OA；
步骤2：以点A为圆心、OA长为半径画弧，交直线l于点C；
步骤3：以点C为圆心、OC长为半径画弧，交直线l于点P；
步骤4：以点P为圆心、AP长为半径画弧，交⊙O于点B，连接OB、BP，此时∠APB=45°，点P即为所求。
【答案】


【知识点】
尺规作图、切线的性质、圆心角与角度关系
【点评】
本题考查结合圆的性质的尺规作图，需熟练掌握切线性质、基本作图方法，灵活运用几何角度关系推导点的位置，是几何作图的综合应用。
【难度系数】
0.5

7. 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，三边长分别为$a$、$b$、$c$，$△ ABC$的内切圆半径为$r$.
(1)求证:$r=\dfrac{1}{2}(a+b-c)$.
(2)求证:$r=\dfrac{ab}{a+b+c}$.

7. 证明:(1)如图,过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$,作$OE⊥ AC$于点$E$,作$OF⊥ BC$于点$F$. $\because \odot O$为$△ ABC$的内切圆,$\therefore OD=OE=OF=r$. $\because ∠ ACB=90°$,$\therefore$四边形$CEOF$为正方形,$\therefore CE=CF=r$,$\therefore AD=AE=b-r$,$BD=BF=a-r$. $\because AD+BD=AB$,即$b-r+a-r=c$,$\therefore r=\dfrac{1}{2}(a+b-c)$.
(2)如图,连接$OA、OB、OC$. $\because S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=S_{△ ABC}$,$\therefore \dfrac{1}{2}cr+\dfrac{1}{2}ar+\dfrac{1}{2}br=\dfrac{1}{2}ab$,$\therefore r=\dfrac{ab}{a+b+c}$.

【分析】
要证明直角三角形内切圆半径的两个公式，可分别通过切线长定理和面积分割法两种思路推导：
1. 第(1)问：利用内切圆圆心到三边距离等于半径，结合直角三角形内切圆形成正方形的性质，再根据切线长相等（AD=AE、BD=BF），将三边关系转化为关于r的方程，求解得到r的表达式；
2. 第(2)问：利用三角形面积的和差关系，大三角形面积等于三个以内切圆半径为高、各边为底的小三角形面积之和，通过面积等式推导r的另一个表达式。
【解析】
(1) 如图，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F。
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴OD=OE=OF=r（内切圆的圆心到三角形三边的距离等于半径）。
又
∵∠ACB=90°，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形CEOF为矩形，且OE=OF=r，故四边形CEOF为正方形，
∴CE=CF=r。
根据切线长定理，AD=AE，BD=BF，
而AE=AC - CE = b - r，BF=BC - CF = a - r，
又
∵AD + BD = AB，即(b - r) + (a - r) = c，
整理得：a + b - 2r = c，
解得：$r=\dfrac{1}{2}(a+b-c)$。
(2) 如图，连接OA、OB、OC。
△ABC的面积等于三个小三角形△AOB、△BOC、△AOC的面积之和，即：
$S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}=S_{△ABC}$，
其中$S_{△AOB}=\dfrac{1}{2}·AB·OD=\dfrac{1}{2}cr$，
$S_{△BOC}=\dfrac{1}{2}·BC·OF=\dfrac{1}{2}ar$，
$S_{△AOC}=\dfrac{1}{2}·AC·OE=\dfrac{1}{2}br$，
$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}·AC·BC=\dfrac{1}{2}ab$，
代入面积等式得：
$\dfrac{1}{2}cr+\dfrac{1}{2}ar+\dfrac{1}{2}br=\dfrac{1}{2}ab$，
两边同乘2得：$cr+ar+br=ab$，
提取公因式r得：$r(a+b+c)=ab$，
解得：$r=\dfrac{ab}{a+b+c}$。
【答案】
7. 证明:(1)如图,过点$O$作$OD⊥ AB$于点$D$,作$OE⊥ AC$于点$E$,作$OF⊥ BC$于点$F$. $\because \odot O$为$△ ABC$的内切圆,$\therefore OD=OE=OF=r$. $\because ∠ ACB=90°$,$\therefore$四边形$CEOF$为正方形,$\therefore CE=CF=r$,$\therefore AD=AE=b-r$,$BD=BF=a-r$. $\because AD+BD=AB$,即$b-r+a-r=c$,$\therefore r=\dfrac{1}{2}(a+b-c)$.
(2)如图,连接$OA、OB、OC$. $\because S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=S_{△ ABC}$,$\therefore \dfrac{1}{2}cr+\dfrac{1}{2}ar+\dfrac{1}{2}br=\dfrac{1}{2}ab$,$\therefore r=\dfrac{ab}{a+b+c}$.

【知识点】
三角形内切圆、切线长定理、三角形面积公式
【点评】
本题是直角三角形内切圆半径的基础证明题，分别用切线长定理和面积法两种常用方法推导公式，需掌握两种思路以灵活应用内切圆半径公式，属于三角形内切圆相关的常规题型。
【难度系数】
0.6