7. 若函数 $y=\dfrac{m(m+1)}{x}$ 是反比例函数,则 $m$ 必须满足（）

A.$m ≠ 0$
B.$m ≠ -1$
C.$m ≠ -1$ 或 $m ≠ 0$
D.$m ≠ -1$ 且 $m ≠ 0$

7. D 解析:由题意,得 $m(m+1)≠0$,
∴$m≠-1$ 且 $m≠0$.

【分析】要解决这道题，需先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）的函数是反比例函数，其中$ k $是比例系数。本题中函数的比例系数是$ m(m+1) $，因此必须满足比例系数不为0，即$ m(m+1)≠0 $，解这个不等式即可得到$ m $的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】根据反比例函数的定义，函数$ y=\frac{k}{x} $中，比例系数$ k≠0 $。对于函数$ y=\frac{m(m+1)}{x} $，其比例系数为$ m(m+1) $，因此需满足$ m(m+1)≠0 $。要使两个因式的乘积不为0，需每个因式都不为0，即$ m≠0 $且$ m+1≠0 $，也就是$ m≠0 $且$ m≠-1 $，对应选项D。
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义，一元一次不等式的求解
【点评】本题考查反比例函数的基本定义，核心是牢记反比例函数的比例系数不能为0，解题时需准确区分“且”与“或”的逻辑关系，避免因概念混淆选错答案，属于基础题型。
【难度系数】0.6

8. 下列两个量的关系一定不是反比例函数关系的是（）

A.$r$ 为圆柱底面的半径，$h$ 为圆柱的高. 当圆柱的侧面积 $S$ 一定时，$h$ 与 $r$ 之间的关系
B.汽车在一定路程 $s$(单位:$\mathrm{km}$)上的行驶速度 $v$(单位:$\mathrm{km/h}$)与行驶时间 $t$(单位:$\mathrm{h}$)之间的关系
C.当三角形的面积 $S$ 一定时，它的高 $h$ 与底 $a$ 之间的关系
D.矩形的周长一定，其面积 $S$ 与矩形的一边长 $x$ 之间的关系

8. D 解析:A 选项中,$S=2π rh$,
∴$h=\dfrac{S}{2π r}$,
∵S 一定,
∴h 是 r 的反比例函数,不符合题意;B 选项中,$s=vt$,
∴$v=\dfrac{s}{t}$,
∵s 一定,
∴v 是 t 的反比例函数,不符合题意;C 选项中,$S=\dfrac{1}{2}ah$,
∴$h=\dfrac{2S}{a}$,
∵S 一定,
∴h 是 a 的反比例函数,不符合题意;D 选项中,设周长为 l,则另一边长为 $\dfrac{1}{2}l-x$,
∴$S=x·(\dfrac{1}{2}l-x)=-x^2+\dfrac{1}{2}lx$,不是反比例函数,符合题意.

【分析】
要判断两个量是否成反比例函数关系，需依据反比例函数的定义：若两个变量x、y满足形如$ y = \frac{k}{x} $（k为非零常数，x≠0）的关系式，则y与x成反比例函数关系。接下来逐个分析选项，结合对应的几何公式推导变量间的关系式，再判断是否符合反比例函数形式，最终选出不符合的选项。
【解析】
1. 选项A：圆柱侧面积公式为$ S = 2π rh $，当S一定时，变形得$ h = \frac{S}{2π r} $，其中S、π为非零常数，符合反比例函数$ y = \frac{k}{x} $的形式，故h与r成反比例函数关系，不符合题意。
2. 选项B：路程公式为$ s = vt $，当s一定时，变形得$ v = \frac{s}{t} $，s为非零常数，符合反比例函数形式，故v与t成反比例函数关系，不符合题意。
3. 选项C：三角形面积公式为$ S = \frac{1}{2}ah $，当S一定时，变形得$ h = \frac{2S}{a} $，2S为非零常数，符合反比例函数形式，故h与a成反比例函数关系，不符合题意。
4. 选项D：设矩形周长为l（定值），则另一边长为$ \frac{1}{2}l - x $，面积$ S = x · (\frac{1}{2}l - x) = -x^2 + \frac{1}{2}lx $，该式为二次函数，不符合反比例函数形式，故S与x不成反比例函数关系，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义、圆柱侧面积公式、三角形面积公式、矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合常见几何公式考查反比例函数的概念，解题核心是掌握反比例函数的定义，通过推导变量关系式判断关系，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

9. 已知 $y$ 与 $x$ 成正比例，$z$ 与 $y$ 成反比例，则 $z$ 与 $x$ 之间的关系
（）

A.成正比例
B.成反比例
C.既成正比例又成反比例
D.既不成正比例也不成反比例

9. B 解析:
∵y 与 x 成正比例,z 与 y 成反比例,
∴设 $y=kx$, $z=\dfrac{k_1}{y}$,
∴$y=\dfrac{k_1}{z}$,
∴$kx=\dfrac{k_1}{z}$,
∴$z=\dfrac{k_1}{kx}$,
∴z 与 x 成反比例.

【分析】要判断z与x的关系，需先依据正比例、反比例的定义设出对应的函数表达式，再通过代入消元得到z与x的关系式，最后根据正比例或反比例的定义确定两者的关系。
【解析】
∵y与x成正比例，
∴设$ y = kx $（$ k≠0 $，$ k $为常数）；
∵z与y成反比例，
∴设$ z = \frac{k_1}{y} $（$ k_1≠0 $，$ k_1 $为常数）。将$ y = kx $代入$ z = \frac{k_1}{y} $，得$ z = \frac{k_1}{kx} = \frac{\frac{k_1}{k}}{x} $，其中$ \frac{k_1}{k} $是不为0的常数，符合反比例函数的形式，故z与x成反比例。
【答案】B
【知识点】正比例函数、反比例函数
【点评】本题考察正比例与反比例函数的定义，核心是通过设表达式、代入推导得到变量间的关系，属于基础题，需注意比例系数不为0的隐含条件。
【难度系数】0.6

10. 已知反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$,将$x=\dfrac{2}{3}$代入函数,所得函数值记为$y_{1}$;又将$x=y_{1}+1$代入函数,所得函数值记为$y_{2}$;再将$x=y_{2}+1$代入函数,所得函数值记为$y_{3}$;…;如此继续下去,则$y_{{2026}}$的值为.

10. $-\dfrac{3}{2}$ 解析:$y_1=-\dfrac{3}{2},y_2=2,y_3=-\dfrac{1}{3},y_4=-\dfrac{3}{2},\dots$,函数值按 $-\dfrac{3}{2},2,-\dfrac{1}{3}$ 循环.
∵$2026÷3=675······1$,
∴$y_{2026}=-\dfrac{3}{2}$.

【分析】
要解决这道题，需先根据题目给定的规则依次计算前几个函数值，观察是否存在循环规律，再通过计算所求下标除以循环周期的余数，确定对应的函数值。具体步骤为：先代入$x=\dfrac{2}{3}$求$y_1$，再依次代入$y_1+1$、$y_2+1$等求后续函数值，找到循环周期后，用2026除以周期，根据余数对应循环中的位置得到结果。
【解析】
1. 计算$y_1$：将$x=\dfrac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\dfrac{1}{x}$，得$y_1=-\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{3}{2}$；
2. 计算$y_2$：令$x=y_1+1=-\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{1}{2}$，代入函数得$y_2=-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}=2$；
3. 计算$y_3$：令$x=y_2+1=2+1=3$，代入函数得$y_3=-\dfrac{1}{3}$；
4. 计算$y_4$：令$x=y_3+1=-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{2}{3}$，代入函数得$y_4=-\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{3}{2}$；
由此可知，函数值以$-\dfrac{3}{2},2,-\dfrac{1}{3}$为一个循环周期，周期为3。
因为$2026÷3=675······1$，即2026除以3的余数为1，对应循环周期的第1个值，所以$y_{2026}=-\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数，规律探究
【点评】
本题通过迭代计算反比例函数的函数值，引导学生发现周期性规律，重点考查学生的计算能力和归纳总结能力，是一道结合函数与规律探究的典型题目，难度适中。
【难度系数】
0.5

11. 已知 $y=y_1+y_2$，$y_1$ 与 $x$ 成正比例，$y_2$ 与 $x+2$ 成反比例，并且当 $x=2$ 时，$y=-3$；当 $x=-1$ 时，$y=6$。
(1) 求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式。
(2) 当 $x=-3$ 时，求 $y$ 的值。

11. (1)设 $y_1=k_1 x$,$y_2=\dfrac{k_2}{x+2}$($k_1$、$k_2$ 均不为 0).
∵$y=y_1+y_2$,
∴$y=k_1 x+\dfrac{k_2}{x+2}$. 根据题意,得 $\begin{cases}2k_1+\dfrac{k_2}{4}=-3\\-k_1+k_2=6\end{cases}$,解得 $\begin{cases}k_1=-2\\k_2=4\end{cases}$,
∴y 与 x 的函数表达式为 $y=-2x+\dfrac{4}{x+2}$.
(2)当 $x=-3$ 时,$y=-2×(-3)+\dfrac{4}{-3+2}=2$.

【分析】首先根据正比例、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，结合$y=y_1+y_2$得到$y$的表达式；再将已知的两组$x$、$y$值代入表达式，构建关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组，解方程组求出$k_1$、$k_2$，即可得到$y$与$x$的函数表达式；最后将$x=-3$代入所求表达式，计算对应的$y$值。
【解析】(1) 因为$y_1$与$x$成正比例，设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$）；$y_2$与$x+2$成反比例，设$y_2=\dfrac{k_2}{x+2}$（$k_2≠0$）。
又$y=y_1+y_2$，因此$y=k_1x+\dfrac{k_2}{x+2}$。
将$x=2$时$y=-3$、$x=-1$时$y=6$代入，得方程组：
$\begin{cases}2k_1+\dfrac{k_2}{4}=-3 \\ -k_1+k_2=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-2 \\ k_2=4\end{cases}$，故$y$与$x$的函数表达式为$y=-2x+\dfrac{4}{x+2}$。
(2) 当$x=-3$时，代入表达式得：
$y=-2×(-3)+\dfrac{4}{-3+2}=6-4=2$。
【答案】(1) $y=-2x+\dfrac{4}{x+2}$；(2) $2$
【知识点】正比例函数、反比例函数、待定系数法求函数解析式
【点评】本题考查正比例与反比例函数的解析式设定，以及待定系数法的应用，属于函数部分的基础题型，需掌握两种函数的形式设定和解二元一次方程组的方法，是巩固函数表达式求解的典型题目。
【难度系数】0.6

12. 将油箱注满$k\ \mathrm{L}$油后,轿车可行驶的总路程$s$(单位:$\mathrm{km}$)与平均耗油量$a$(单位:$\mathrm{L/km}$)之间是反比例函数关系$s=\dfrac{k}{a}$($k$是常数,$k ≠ 0$).已知某轿车油箱注满油后,当平均耗油量为$0.1\ \mathrm{L/km}$时,可行驶$700\ \mathrm{km}$.
(1)求该轿车可行驶的总路程$s$与平均耗油量$a$之间的函数表达式.
(2)当平均耗油量少于$0.07\ \mathrm{L/km}$时,该轿车至少可以行驶多少千米?

12. (1)将 $a=0.1$,$s=700$ 代入 $s=\dfrac{k}{a}$,得 $700=\dfrac{k}{0.1}$,解得 $k=70$,
∴总路程 s 与平均耗油量 a 之间的函数表达式为 $s=\dfrac{70}{a}$.
(2)当 $a=0.07$ 时,$s=\dfrac{70}{0.07}=1\ 000$,故该轿车至少可以行驶 $1\ 000\ \mathrm{km}$.

【分析】本题是反比例函数在实际生活中的应用，分为两小问。第(1)问需用待定系数法求函数表达式，将已知的平均耗油量和对应行驶路程代入反比例函数关系式，求出常数k即可；第(2)问利用反比例函数的性质，结合“平均耗油量少于0.07”的条件，找到对应的最小行驶路程，代入函数式计算即可。
【解析】(1) 将$a=0.1$，$s=700$代入$s=\dfrac{k}{a}$，得$700=\dfrac{k}{0.1}$，解得$k=70$，因此总路程$s$与平均耗油量$a$之间的函数表达式为$s=\dfrac{70}{a}$；(2) 因为$k=70＞0$，所以在$s=\dfrac{70}{a}$中，$s$随$a$的减小而增大，当平均耗油量$a＜0.07$时，$s$的最小值对应$a=0.07$，代入得$s=\dfrac{70}{0.07}=1000$，故该轿车至少可以行驶$1000\ \mathrm{km}$。
【答案】(1)$s=\dfrac{70}{a}$；(2)$1000\ \mathrm{km}$
【知识点】反比例函数的应用、待定系数法求反比例函数表达式
【点评】本题考查反比例函数的实际应用，重点考查待定系数法求函数解析式及反比例函数性质的应用，属于基础题，解题时需结合实际意义分析变量的变化关系。
【难度系数】0.7