例题 如图1，长方形ABCD的长、宽分别为a,b，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图2的正方形，请写出下列三个代数式$(a+b)^{2},(a-b)^{2},ab$之间的一个等量关系式。
(2)根据(1)中的等量关系，解决如下问题：若$x+y=7,xy=6$，求$x-y$的值。
(3)若将长方形ABCD的各边向外作正方形(如图3)，且四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20，求出长方形ABCD的面积。


解:(1)图2中,大正方形的边长为$a+b$,因此面积为$(a+b)^{2}$,阴影部分是边长为$a-b$的正方形,因此面积为$(a-b)^{2}$,周围4个长方形的面积和为$4ab$,所以有$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$。
(2)因为$x+y=7,xy=6$,所以$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=49-24=25$,所以$x-y=\pm5$。
(3)设长方形ABCD的长$AB=m$,宽$BC=n$,由四个正方形周长之和为32,四个正方形面积之和为20得,$4m×2+4n×2=32,2m^{2}+2n^{2}=20$,即$m+n=4,m^{2}+n^{2}=10$,由$(m+n)^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn$得,$mn=\frac{(m+n)^{2}-(m^{2}+n^{2})}{2}=\frac{16-10}{2}=3$,即长方形ABCD的面积为3。

(1)图2中,大正方形的边长为$a+b$,因此面积为$(a+b)^{2}$,阴影部分是边长为$a-b$的正方形,因此面积为$(a-b)^{2}$,周围4个长方形的面积和为$4ab$,所以有$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab$。
(2)因为$x+y=7,xy=6$,所以$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=49-24=25$,所以$x-y=\pm5$。
(3)设长方形ABCD的长$AB=m$,宽$BC=n$,由四个正方形周长之和为32,四个正方形面积之和为20得,$4m×2+4n×2=32,2m^{2}+2n^{2}=20$,即$m+n=4,m^{2}+n^{2}=10$,由$(m+n)^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn$得,$mn=\frac{(m+n)^{2}-(m^{2}+n^{2})}{2}=\frac{16-10}{2}=3$,即长方形ABCD的面积为3。

【分析】
这道题围绕完全平方公式，结合几何图形的面积关系展开解题。第(1)问通过观察拼接正方形的面积组成，推导三个代数式的等量关系；第(2)问直接利用(1)的公式变形，代入已知值求代数式的值；第(3)问设长方形的长和宽，根据正方形周长、面积的条件，结合完全平方公式求长方形面积，核心是公式的灵活应用。
【解析】
(1) 图2中，大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；中间阴影小正方形边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$；周围4个长方形的总面积为$4ab$。因为大正方形面积等于阴影小正方形面积加4个长方形面积，所以等量关系式为：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。
(2) 由(1)的公式变形得$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，代入$x+y=7$、$xy=6$，得$(x-y)^2=7^2-4×6=25$，所以$x-y=\pm5$。
(3) 设长方形长为$m$、宽为$n$。四个正方形周长和为32，得$8m+8n=32$，化简得$m+n=4$；四个正方形面积和为20，得$2m^2+2n^2=20$，化简得$m^2+n^2=10$。根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，变形得$mn=\frac{(m+n)^2-(m^2+n^2)}{2}=\frac{16-10}{2}=3$，即长方形面积为3。
【答案】
(1)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；(2)$\pm5$；(3)3
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、几何面积应用
【点评】
本题是完全平方公式的典型数形结合题，通过几何图形推导代数公式，再用公式解决代数和几何问题，考查公式的灵活应用，难度适中。
【难度系数】
0.6