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1. 下列各式中，为一元一次不等式的是()
A.$2x - 3 ＞ 0$
B.$5 ＞ -2$
C.$3x - 2 ＞ y + 1$
D.$3y + 5 ＜ y^{2}$
A.$2x - 3 ＞ 0$
B.$5 ＞ -2$
C.$3x - 2 ＞ y + 1$
D.$3y + 5 ＜ y^{2}$
答案
A
解析
一元一次不等式指的是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
A. $2x - 3 ＞ 0$，只含有一个未知数$x$，且$x$的次数为1，所以它是一元一次不等式。
B. $5 ＞ -2$，不含有未知数，因此不是一元一次不等式。
C. $3x - 2 ＞ y + 1$，含有两个未知数$x$和$y$，因此不是一元一次不等式。
D. $3y + 5 ＜ y^{2}$，虽然只含有一个未知数$y$，但$y$的最高次数为2，因此不是一元一次不等式。
综上所述，只有A选项是一元一次不等式。
A. $2x - 3 ＞ 0$，只含有一个未知数$x$，且$x$的次数为1，所以它是一元一次不等式。
B. $5 ＞ -2$，不含有未知数，因此不是一元一次不等式。
C. $3x - 2 ＞ y + 1$，含有两个未知数$x$和$y$，因此不是一元一次不等式。
D. $3y + 5 ＜ y^{2}$，虽然只含有一个未知数$y$，但$y$的最高次数为2，因此不是一元一次不等式。
综上所述，只有A选项是一元一次不等式。
2. 若$(m - 1)x^{\vert m\vert} - 3 ＞ 6$是关于$x$的一元一次不等式，则$m=$。
答案
要使$(m - 1)x^{\vert m\vert} - 3 ＞ 6$是关于$x$的一元一次不等式，需满足：
1. 未知数$x$的次数为$1$，即$\vert m\vert = 1$，解得$m = 1$或$m = -1$。
2. 未知数$x$的系数不为$0$，即$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$。
综上，$m = -1$。
$-1$
1. 未知数$x$的次数为$1$，即$\vert m\vert = 1$，解得$m = 1$或$m = -1$。
2. 未知数$x$的系数不为$0$，即$m - 1 ≠ 0$，解得$m ≠ 1$。
综上，$m = -1$。
$-1$
3. 写出一个解集为$x ＜ 3$的一元一次不等式：。
答案
$x+1 ＜ 4$（答案不唯一）
4. 若关于$x$的方程$x - 2 = \frac{x}{3}$的解是关于$x$的不等式$2x + a ＜ 0$的一个解，则$a$的取值范围是。
答案
首先解方程 $x - 2 = \frac{x}{3}$。
$3(x - 2) = x$
$3x - 6 = x$
$2x = 6$
$x = 3$
得到方程的解为 $x = 3$。
接下来，将 $x = 3$ 代入不等式 $2x + a ＜ 0$ 中。
$2 × 3 + a ＜ 0$
$6 + a ＜ 0$
$a ＜ -6$
故 $a$ 的取值范围是 $a ＜ -6$。
$3(x - 2) = x$
$3x - 6 = x$
$2x = 6$
$x = 3$
得到方程的解为 $x = 3$。
接下来，将 $x = 3$ 代入不等式 $2x + a ＜ 0$ 中。
$2 × 3 + a ＜ 0$
$6 + a ＜ 0$
$a ＜ -6$
故 $a$ 的取值范围是 $a ＜ -6$。
5. 解下列不等式，并在数轴上表示解集。
(1)$x - 1 ≤ 2x + 2$；
(2)$2(3x - 2) ＞ x + 1$；
(3)$\frac{1}{2}(x - 3) ＜ \frac{1}{3}(1 - x)$；
(4)$\frac{1 - x}{3} - x ＜ 3 - \frac{x + 2}{4}$。
(1)$x - 1 ≤ 2x + 2$；
(2)$2(3x - 2) ＞ x + 1$；
(3)$\frac{1}{2}(x - 3) ＜ \frac{1}{3}(1 - x)$；
(4)$\frac{1 - x}{3} - x ＜ 3 - \frac{x + 2}{4}$。
答案
(1)解：移项，得$x - 2x ≤ 2 + 1$
合并同类项，得$-x ≤ 3$
系数化为1，得$x ≥ -3$
数轴表示：在数轴上表示-3的点处画实心圆点，向右画线。
(2)解：去括号，得$6x - 4 ＞ x + 1$
移项，得$6x - x ＞ 1 + 4$
合并同类项，得$5x ＞ 5$
系数化为1，得$x ＞ 1$
数轴表示：在数轴上表示1的点处画空心圆圈，向右画线。
(3)解：去分母，得$3(x - 3) ＜ 2(1 - x)$
去括号，得$3x - 9 ＜ 2 - 2x$
移项，得$3x + 2x ＜ 2 + 9$
合并同类项，得$5x ＜ 11$
系数化为1，得$x ＜ \frac{11}{5}$
数轴表示：在数轴上表示$\frac{11}{5}$的点处画空心圆圈，向左画线。
(4)解：去分母，得$4(1 - x) - 12x ＜ 36 - 3(x + 2)$
去括号，得$4 - 4x - 12x ＜ 36 - 3x - 6$
合并同类项，得$4 - 16x ＜ 30 - 3x$
移项，得$-16x + 3x ＜ 30 - 4$
合并同类项，得$-13x ＜ 26$
系数化为1，得$x ＞ -2$
数轴表示：在数轴上表示-2的点处画空心圆圈，向右画线。
合并同类项，得$-x ≤ 3$
系数化为1，得$x ≥ -3$
数轴表示：在数轴上表示-3的点处画实心圆点，向右画线。
(2)解：去括号，得$6x - 4 ＞ x + 1$
移项，得$6x - x ＞ 1 + 4$
合并同类项，得$5x ＞ 5$
系数化为1，得$x ＞ 1$
数轴表示：在数轴上表示1的点处画空心圆圈，向右画线。
(3)解：去分母，得$3(x - 3) ＜ 2(1 - x)$
去括号，得$3x - 9 ＜ 2 - 2x$
移项，得$3x + 2x ＜ 2 + 9$
合并同类项，得$5x ＜ 11$
系数化为1，得$x ＜ \frac{11}{5}$
数轴表示：在数轴上表示$\frac{11}{5}$的点处画空心圆圈，向左画线。
(4)解：去分母，得$4(1 - x) - 12x ＜ 36 - 3(x + 2)$
去括号，得$4 - 4x - 12x ＜ 36 - 3x - 6$
合并同类项，得$4 - 16x ＜ 30 - 3x$
移项，得$-16x + 3x ＜ 30 - 4$
合并同类项，得$-13x ＜ 26$
系数化为1，得$x ＞ -2$
数轴表示：在数轴上表示-2的点处画空心圆圈，向右画线。
6. 下面是小乐同学解一元一次不等式$\frac{x + 4}{6} ＜ \frac{2x + 1}{3} - 1$的解答过程，请认真阅读并完成相应任务。
|解：去分母，得$x + 4 ＜ 2(2x + 1) - 6$。|第一步|
|去括号，得$x + 4 ＜ 4x + 1 - 6$。|第二步|
|移项，得$x - 4x ＜ 1 - 6 - 4$。|第三步|
|合并同类项，得$-3x ＜ -9$。|第四步|
|两边都除以$-3$，得$x ＞ 3$。|第五步|
任务：
(1)第一步的依据是(填序号)。
①不等式的基本性质$1$
②不等式的基本性质$2$
③不等式的基本性质$3$
(2)小乐从第步开始出错，错误的原因是。
(3)直接写出该不等式正确的解集：。
|解：去分母，得$x + 4 ＜ 2(2x + 1) - 6$。|第一步|
|去括号，得$x + 4 ＜ 4x + 1 - 6$。|第二步|
|移项，得$x - 4x ＜ 1 - 6 - 4$。|第三步|
|合并同类项，得$-3x ＜ -9$。|第四步|
|两边都除以$-3$，得$x ＞ 3$。|第五步|
任务：
(1)第一步的依据是(填序号)。
①不等式的基本性质$1$
②不等式的基本性质$2$
③不等式的基本性质$3$
(2)小乐从第步开始出错，错误的原因是。
(3)直接写出该不等式正确的解集：。
答案
(1)②
(2)二；去括号时括号内的1没有乘2
(3)x＞$\frac{8}{3}$
(2)二；去括号时括号内的1没有乘2
(3)x＞$\frac{8}{3}$
7. 提升题 如图所示，在数轴上，点$A$，$B$分别表示数$1$，$-2x + 3$。
(1)求$x$的取值范围；
(2)数轴上表示数$-x + 2$的点应落在。
A. 点$A$的左边
B. 线段$AB$上
C. 点$B$的右边
(二)
(1)求$x$的取值范围；
(2)数轴上表示数$-x + 2$的点应落在。
A. 点$A$的左边
B. 线段$AB$上
C. 点$B$的右边
(二)
答案
(1)由数轴上点的位置关系可知，点A在点B的左边，即$1 ＜ -2x + 3$。解不等式：
$1 ＜ -2x + 3$
移项得：$-2x ＞ 1 - 3$
即$-2x ＞ -2$
两边同时除以$-2$（不等号方向改变）：$x ＜ 1$
(2)由(1)知$x ＜ 1$，则$-x ＞ -1$，所以$-x + 2 ＞ -1 + 2 = 1$，即$-x + 2 ＞ 1$（点A表示的数）。
又因为$-x + 2 - (-2x + 3) = x - 1$，由于$x ＜ 1$，所以$x - 1 ＜ 0$，即$-x + 2 ＜ -2x + 3$（点B表示的数）。
因此，$-x + 2$在线段AB上，选B。
(1) $x ＜ 1$
(2) B
$1 ＜ -2x + 3$
移项得：$-2x ＞ 1 - 3$
即$-2x ＞ -2$
两边同时除以$-2$（不等号方向改变）：$x ＜ 1$
(2)由(1)知$x ＜ 1$，则$-x ＞ -1$，所以$-x + 2 ＞ -1 + 2 = 1$，即$-x + 2 ＞ 1$（点A表示的数）。
又因为$-x + 2 - (-2x + 3) = x - 1$，由于$x ＜ 1$，所以$x - 1 ＜ 0$，即$-x + 2 ＜ -2x + 3$（点B表示的数）。
因此，$-x + 2$在线段AB上，选B。
(1) $x ＜ 1$
(2) B
