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1. 如图，长方体在平面P上的正投影是（填图形名称）。
答案
解：矩形
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆正投影的相关性质，第一步先明确本题的投影属于正投影，也就是投射线垂直于投影面的平行投影；第二步观察长方体与投影面的位置关系，本题中长方体被光线垂直照射的面与投影面P是平行关系；第三步根据正投影的性质：当物体的平面平行于投影面时，该平面的正投影与原平面形状、大小完全相同，而长方体的这个面是矩形，即可推出投影的形状。
【解析】
首先明确本题的投影为正投影，平行光线垂直于投影面P。
已知长方体正对光线的面与投影面P平行，根据正投影的性质：当平面图形平行于投影面时，它的正投影与原图形全等。
由于长方体的该照射面为矩形，因此它在平面P上的正投影是矩形。
【答案】
矩形
【知识点】
正投影的性质；正投影的概念
【点评】
本题是基础题，主要考查正投影规律的应用，只要掌握平面与投影面平行时的正投影特点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆正投影的相关性质，第一步先明确本题的投影属于正投影，也就是投射线垂直于投影面的平行投影；第二步观察长方体与投影面的位置关系，本题中长方体被光线垂直照射的面与投影面P是平行关系；第三步根据正投影的性质：当物体的平面平行于投影面时，该平面的正投影与原平面形状、大小完全相同，而长方体的这个面是矩形，即可推出投影的形状。
【解析】
首先明确本题的投影为正投影，平行光线垂直于投影面P。
已知长方体正对光线的面与投影面P平行，根据正投影的性质：当平面图形平行于投影面时，它的正投影与原图形全等。
由于长方体的该照射面为矩形，因此它在平面P上的正投影是矩形。
【答案】
矩形
【知识点】
正投影的性质；正投影的概念
【点评】
本题是基础题，主要考查正投影规律的应用，只要掌握平面与投影面平行时的正投影特点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2.(1)如图①所示，当线段AB平行于投影面时，它的正投影线段是$A_1B_1$，此时AB $A_1B_1$；
(2)如图②所示，当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段$A_2B_2$，此时AB与$A_2B_2$的关系是 ；
(3)如图②所示，当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是 。
(2)如图②所示，当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段$A_2B_2$，此时AB与$A_2B_2$的关系是 ；
(3)如图②所示，当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是 。
答案
解：
(1) $=$
(2) $AB ＞ A_2B_2$
(3) 一个点
(1) $=$
(2) $AB ＞ A_2B_2$
(3) 一个点
解析
【分析】
本题考查线段的正投影规律，解题时需结合线段与投影面的三种位置关系分别分析：首先回忆正投影的定义（平行光线垂直照射投影面得到的投影），再对应三种位置的投影特征推导结果：①当线段平行于投影面时，投影长度与原线段相等；②当线段倾斜于投影面时，投影长度比原线段短；③当线段垂直于投影面时，线段上所有点的投影重合为一点。
【解析】
(1) 当线段AB平行于投影面P时，正投影不改变线段的长度，因此$AB = A_1B_1$；
(2) 当线段AB倾斜于投影面P时，正投影的长度会小于原线段的长度，因此$AB ＞ A_2B_2$；
(3) 当线段AB垂直于投影面P时，线段上所有点的正投影重合到同一个点，因此它的正投影是一个点。
【答案】
(1) $=$；(2) $AB ＞ A_2B_2$；(3) 一个点
【知识点】
正投影的性质、线段的正投影规律
【点评】
本题是正投影的基础考查题，需要熟练掌握线段与投影面不同位置关系对应的投影特征，为后续立体图形的正投影学习打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查线段的正投影规律，解题时需结合线段与投影面的三种位置关系分别分析：首先回忆正投影的定义（平行光线垂直照射投影面得到的投影），再对应三种位置的投影特征推导结果：①当线段平行于投影面时，投影长度与原线段相等；②当线段倾斜于投影面时，投影长度比原线段短；③当线段垂直于投影面时，线段上所有点的投影重合为一点。
【解析】
(1) 当线段AB平行于投影面P时，正投影不改变线段的长度，因此$AB = A_1B_1$；
(2) 当线段AB倾斜于投影面P时，正投影的长度会小于原线段的长度，因此$AB ＞ A_2B_2$；
(3) 当线段AB垂直于投影面P时，线段上所有点的正投影重合到同一个点，因此它的正投影是一个点。
【答案】
(1) $=$；(2) $AB ＞ A_2B_2$；(3) 一个点
【知识点】
正投影的性质、线段的正投影规律
【点评】
本题是正投影的基础考查题，需要熟练掌握线段与投影面不同位置关系对应的投影特征，为后续立体图形的正投影学习打好基础。
【难度系数】
0.9
3. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，位于第一象限内的点 $ A(1,2) $ 在 $ x $ 轴上的正投影为点 $ A' $，则 $ \cos∠ AOA' = $ .
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据正投影的定义，确定点A'的坐标，得到直角△AA'O；2. 利用坐标求出直角边OA'、AA'的长度，再用勾股定理求出斜边OA的长度；3. 根据余弦的定义，∠AOA'的余弦值等于它的邻边OA'与斜边OA的比值，计算化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵点A(1,2)在x轴上的正投影为点A'，
∴AA'⊥x轴，A'的坐标为(1,0)，
∴OA'=1，AA'=2，且△AA'O为直角三角形，∠AA'O=90°。
由勾股定理得：$OA=\sqrt{OA'^2 + AA'^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
根据锐角三角函数的定义，$\cos∠ AOA'=\frac{邻边}{斜边}=\frac{OA'}{OA}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
正投影的概念；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，结合平面直角坐标系考查了正投影性质和锐角三角函数的计算，解题的核心是通过正投影构造出直角三角形，再结合相关公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 先根据正投影的定义，确定点A'的坐标，得到直角△AA'O；2. 利用坐标求出直角边OA'、AA'的长度，再用勾股定理求出斜边OA的长度；3. 根据余弦的定义，∠AOA'的余弦值等于它的邻边OA'与斜边OA的比值，计算化简即可得到结果。
【解析】
解：
∵点A(1,2)在x轴上的正投影为点A'，
∴AA'⊥x轴，A'的坐标为(1,0)，
∴OA'=1，AA'=2，且△AA'O为直角三角形，∠AA'O=90°。
由勾股定理得：$OA=\sqrt{OA'^2 + AA'^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$。
根据锐角三角函数的定义，$\cos∠ AOA'=\frac{邻边}{斜边}=\frac{OA'}{OA}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
正投影的概念；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础题，结合平面直角坐标系考查了正投影性质和锐角三角函数的计算，解题的核心是通过正投影构造出直角三角形，再结合相关公式计算即可。
【难度系数】
0.8
4.圆柱的轴截面平行于投影面S，它的正投影是长为4，宽为3的矩形，则这个圆柱的表面积是（结果保留π）。
答案
解：
∵ 圆柱的轴截面平行于投影面S，
∴ 圆柱的正投影矩形与轴截面全等，轴截面的邻边长分别为4和3，分两种情况计算：
1. 当圆柱的底面直径为4，高为3时：
底面半径$r=2$，
圆柱表面积$=2×π r^2 + π d h$
$=2×π×2^2 + 4π×3$
$=8π+12π=20π$。
2. 当圆柱的底面直径为3，高为4时：
底面半径$r=\frac{3}{2}$，
圆柱表面积$=2×π r^2 + π d h$
$=2×π×(\frac{3}{2})^2 + 3π×4$
$=\frac{9}{2}π+12π=\frac{33}{2}π$。
综上，这个圆柱的表面积是$20π$或$\frac{33}{2}π$。
∵ 圆柱的轴截面平行于投影面S，
∴ 圆柱的正投影矩形与轴截面全等，轴截面的邻边长分别为4和3，分两种情况计算：
1. 当圆柱的底面直径为4，高为3时：
底面半径$r=2$，
圆柱表面积$=2×π r^2 + π d h$
$=2×π×2^2 + 4π×3$
$=8π+12π=20π$。
2. 当圆柱的底面直径为3，高为4时：
底面半径$r=\frac{3}{2}$，
圆柱表面积$=2×π r^2 + π d h$
$=2×π×(\frac{3}{2})^2 + 3π×4$
$=\frac{9}{2}π+12π=\frac{33}{2}π$。
综上，这个圆柱的表面积是$20π$或$\frac{33}{2}π$。
解析
【分析】
首先根据正投影的性质，当圆柱的轴截面平行于投影面时，正投影得到的矩形和圆柱的轴截面全等，可确定轴截面的两条邻边长分别为4和3。由于题目没有明确说明轴截面的边长对应圆柱的底面直径还是高，因此需要分两种情况讨论，分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱表面积公式计算即可。
【解析】
∵ 圆柱的轴截面平行于投影面S，
∴ 圆柱的正投影矩形与轴截面全等，轴截面的邻边长分别为4和3，分两种情况计算：
1. 当圆柱的底面直径为4，高为3时：
底面半径$r=4÷2=2$，
圆柱表面积$=2π r^2 + π d h$
$=2×π×2^2 + 4π×3$
$=8π+12π=20π$。
2. 当圆柱的底面直径为3，高为4时：
底面半径$r=3÷2=\frac{3}{2}$，
圆柱表面积$=2π r^2 + π d h$
$=2×π×(\frac{3}{2})^2 + 3π×4$
$=\frac{9}{2}π+12π=\frac{33}{2}π$。
综上，这个圆柱的表面积是$20π$或$\frac{33}{2}π$。
【答案】
$20π$或$\frac{33}{2}π$
【知识点】
正投影的性质；圆柱表面积计算；圆柱轴截面特征
【点评】
本题是正投影性质和立体图形表面积计算的结合题，解题的核心是明确轴截面和正投影的全等关系，易错点是容易忽略未明确边长对应关系时的分类讨论，导致漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据正投影的性质，当圆柱的轴截面平行于投影面时，正投影得到的矩形和圆柱的轴截面全等，可确定轴截面的两条邻边长分别为4和3。由于题目没有明确说明轴截面的边长对应圆柱的底面直径还是高，因此需要分两种情况讨论，分别确定两种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱表面积公式计算即可。
【解析】
∵ 圆柱的轴截面平行于投影面S，
∴ 圆柱的正投影矩形与轴截面全等，轴截面的邻边长分别为4和3，分两种情况计算：
1. 当圆柱的底面直径为4，高为3时：
底面半径$r=4÷2=2$，
圆柱表面积$=2π r^2 + π d h$
$=2×π×2^2 + 4π×3$
$=8π+12π=20π$。
2. 当圆柱的底面直径为3，高为4时：
底面半径$r=3÷2=\frac{3}{2}$，
圆柱表面积$=2π r^2 + π d h$
$=2×π×(\frac{3}{2})^2 + 3π×4$
$=\frac{9}{2}π+12π=\frac{33}{2}π$。
综上，这个圆柱的表面积是$20π$或$\frac{33}{2}π$。
【答案】
$20π$或$\frac{33}{2}π$
【知识点】
正投影的性质；圆柱表面积计算；圆柱轴截面特征
【点评】
本题是正投影性质和立体图形表面积计算的结合题，解题的核心是明确轴截面和正投影的全等关系，易错点是容易忽略未明确边长对应关系时的分类讨论，导致漏解。
【难度系数】
0.6
5. 如图，$A_1B_1$是线段AB在投影面P上的正投影，$AB=20$，$∠ ABB_1=70°$，则投影$A_1B_1$的长为()
A.$20\sin 70°$
B.$20\cos 70°$
C.$20\tan 70°$
D.$\frac{20}{\sin 70°}$
第5题图 第6题图
A.$20\sin 70°$
B.$20\cos 70°$
C.$20\tan 70°$
D.$\frac{20}{\sin 70°}$
第5题图 第6题图
答案
A
解析
【分析】
首先根据正投影的定义，可知AA₁、BB₁都垂直于投影面P，因此AA₁//BB₁。我们可以过点A作AC垂直BB₁于点C，此时四边形AA₁B₁C为矩形，可得待求的A₁B₁等于AC，将问题转化为求Rt△ABC中AC的长度。再结合已知的∠ABB₁=70°、AB=20，利用三角函数的定义即可求出AC的长度，也就是A₁B₁的长度。
【解析】
过点A作AC⊥BB₁，垂足为C。
∵A₁B₁是线段AB在投影面P上的正投影，
∴AA₁⊥平面P，BB₁⊥平面P，
∴AA₁//BB₁，
又
∵AC⊥BB₁，A₁B₁⊥BB₁，
∴四边形AA₁B₁C是矩形，
∴A₁B₁=AC。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=70°，AB=20，
由正弦的定义可得：$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}$，
∴$AC=AB·\sin70°=20\sin70°$，
即$A_1B_1=20\sin70°$。
【答案】
A
【知识点】
正投影的性质，解直角三角形
【点评】
本题将正投影的性质和三角函数的应用结合起来，解题的核心是通过构造辅助线将未知投影长度转化为直角三角形的直角边，属于基础题型，能很好地考查学生对基础概念的掌握和几何转化的能力。
【难度系数】
0.7
首先根据正投影的定义，可知AA₁、BB₁都垂直于投影面P，因此AA₁//BB₁。我们可以过点A作AC垂直BB₁于点C，此时四边形AA₁B₁C为矩形，可得待求的A₁B₁等于AC，将问题转化为求Rt△ABC中AC的长度。再结合已知的∠ABB₁=70°、AB=20，利用三角函数的定义即可求出AC的长度，也就是A₁B₁的长度。
【解析】
过点A作AC⊥BB₁，垂足为C。
∵A₁B₁是线段AB在投影面P上的正投影，
∴AA₁⊥平面P，BB₁⊥平面P，
∴AA₁//BB₁，
又
∵AC⊥BB₁，A₁B₁⊥BB₁，
∴四边形AA₁B₁C是矩形，
∴A₁B₁=AC。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=70°，AB=20，
由正弦的定义可得：$\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}$，
∴$AC=AB·\sin70°=20\sin70°$，
即$A_1B_1=20\sin70°$。
【答案】
A
【知识点】
正投影的性质，解直角三角形
【点评】
本题将正投影的性质和三角函数的应用结合起来，解题的核心是通过构造辅助线将未知投影长度转化为直角三角形的直角边，属于基础题型，能很好地考查学生对基础概念的掌握和几何转化的能力。
【难度系数】
0.7
6.光伏发电不仅能为城市提供清洁能源，还能减少城市污染和能源消耗.如图，太阳能电池板的长$BC=8\ \mathrm{m}$，宽$AB=1.5\ \mathrm{m}$，与水平面成$30°$夹角，经过太阳光的正投影，它在水平面所形成的阴影的面积为()
A.$12\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
D.$\dfrac{9}{2}\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
A.$12\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
D.$\dfrac{9}{2}\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
答案
C
解析
【分析】
本题要求太阳能电池板在水平面的阴影面积，首先明确阴影是电池板的正投影。解题思路有两种：一是利用平面图形正投影的面积规律，投影面积等于原图形面积乘平面与投影面夹角的余弦值；二是先分别求出矩形两条边的投影长度，再计算投影矩形的面积。首先确定电池板是矩形，先算原面积，再结合30°夹角计算即可，也可先判断与水平面平行的边投影长度不变，倾斜的边用余弦求投影长度，再相乘得面积。
【解析】
解：太阳能电池板为矩形，其原面积为：
$S_{\mathrm{原}} = BC × AB = 8\ \mathrm{m} × 1.5\ \mathrm{m} = 12\ \mathrm{m}^2$
已知电池板所在平面与水平面成$30°$夹角，根据正投影的面积性质，投影面积满足：
$S_{\mathrm{影}} = S_{\mathrm{原}} × \cos30°$
代入$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$得：
$S_{\mathrm{影}} = 12 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
也可分步计算：矩形边AB方向与水平面平行，投影长度等于原长$1.5\ \mathrm{m}$；边BC的水平投影长为$BC·\cos30°=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，阴影面积为$4\sqrt{3}×1.5=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
正投影的特征，解直角三角形，矩形面积计算
【点评】
本题结合光伏发电的生活场景考查正投影的实际应用，解题的关键是理解正投影的性质，正确用三角函数表示倾斜边的投影长度，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.65
本题要求太阳能电池板在水平面的阴影面积，首先明确阴影是电池板的正投影。解题思路有两种：一是利用平面图形正投影的面积规律，投影面积等于原图形面积乘平面与投影面夹角的余弦值；二是先分别求出矩形两条边的投影长度，再计算投影矩形的面积。首先确定电池板是矩形，先算原面积，再结合30°夹角计算即可，也可先判断与水平面平行的边投影长度不变，倾斜的边用余弦求投影长度，再相乘得面积。
【解析】
解：太阳能电池板为矩形，其原面积为：
$S_{\mathrm{原}} = BC × AB = 8\ \mathrm{m} × 1.5\ \mathrm{m} = 12\ \mathrm{m}^2$
已知电池板所在平面与水平面成$30°$夹角，根据正投影的面积性质，投影面积满足：
$S_{\mathrm{影}} = S_{\mathrm{原}} × \cos30°$
代入$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$得：
$S_{\mathrm{影}} = 12 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
也可分步计算：矩形边AB方向与水平面平行，投影长度等于原长$1.5\ \mathrm{m}$；边BC的水平投影长为$BC·\cos30°=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，阴影面积为$4\sqrt{3}×1.5=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
正投影的特征，解直角三角形，矩形面积计算
【点评】
本题结合光伏发电的生活场景考查正投影的实际应用，解题的关键是理解正投影的性质，正确用三角函数表示倾斜边的投影长度，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.65
