1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，另一个直角三角形一条直角边与斜边的长分别为9和15，则这两个三角形 （）

A.一定相似
B.不一定相似
C.一定不相似
D.是否相似无法判定

1. A

2.[威海中考] 如图，$△ ABC$的中线$BE$,$CD$交于点$F$,连结$DE$.下列结论错误的是（）

A.$S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$

2. B 【点拨】
∵BE,CD为△ABC的中线,
∴F为△ABC的重心,易得DE//BC,$DE=\frac{1}{2}BC$. $\therefore △DEF∽△CBF$.
$\therefore \frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4}. \therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF}$,故A选项正确,不符合题意; $\because DE// BC,\therefore △ADE∽△ABC$.
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4}. \therefore S_{△ ADE}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}BCED}$,故B选项错误,符合题意; $\because F$为$△ABC$的重心,$\therefore DF=\frac{1}{2}CF$.
$\therefore S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF}$,故C选项正确,不符合题意; $\because DE// BC,\therefore S_{△ DBE}=S_{△ DCE}. \therefore S_{△ DBE}+S_{△ DAE}=S_{△ DCE}+S_{△ DAE}$,即$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$,故D选项正确,不符合题意.

3. 在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,△ABC是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个),这样的格点三角形一共有 ()

A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

3. C 【点拨】如图,使得$△ADE∽△ABC$的格点三角形一共有6个.

4. 无锡中考 新趋势·学科内综合 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,Rt△OBA的直角边OB在x轴上,AO,AB分别与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象相交于点C,D,且C为AO的中点,过点C作x轴的垂线,垂足为E,连结DE.若△BDE的面积为$\frac{5}{4}$,则k的值为 ()

A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{2}$
C.5
D.10

4. C 【点拨】设$C(a,\frac{k}{a})$,由题意得
$∠ CEO=∠ ABO=90°,\therefore CE// AB$.
$\therefore △OCE∽△OAB. \because C$为AO的中点,
$\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{OC}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{2}. \therefore \frac{a}{AB}=\frac{1}{2}. \therefore OB=2a. \therefore BE=a$,
$D(2a,\frac{k}{2a}). \therefore S_{△ BDE}=\frac{1}{2}BE· BD=\frac{1}{2}a×\frac{k}{2a}=\frac{k}{4}=\frac{5}{4}$.
$\therefore k=5$.

5. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且∠ADE=60°，BD=1，CE=$\frac{2}{3}$，则△ABC的面积为（）

A.3
B.9
C.$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{9\sqrt{3}}{2}$

5. C 【点拨】$\because △ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC,∠ B=60°=∠ C. \therefore ∠ B=∠ ADE. \because ∠ ADC=∠ B+∠ BAD=∠ ADE+∠ CDE,\therefore ∠ BAD=∠ CDE. \therefore △ABD∽△DCE. \therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}. \therefore \frac{AB}{BC-1}=\frac{1}{\frac{2}{3}}. \therefore BC=AB=3$. 过点A作$AF⊥ BC$于点F,$\therefore BF=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}. \therefore AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}. \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AF=\frac{9\sqrt{3}}{4}$. 故选C.

6. 如图,在边长为6的正方形ABCD的边上取E,F两点,使$AF=3$,$CE=2$,连结BE,BF,EF,AC与BF,BE交于点M,N,则以下结论,其中正确的个数为 ()
①$EF=AF+CE$;②$∠ EBF=45°$;③$∠ ABF$与$∠ BFE$互余;④$△ BMN$与$△ BFE$相似.


A.1
B.2
C.3
D.4

6. D 【点拨】$\because$四边形ABCD是边长为6的正方形,
$\therefore ∠ BAD=∠ D=∠ ABC=∠ BCD=90°,AB=BC=CD=AD=6. \because AF=3,CE=2,\therefore DF=3,DE=4$.
$\therefore EF=\sqrt{DF^2+DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 又$\because AF+CE=3+2=5,\therefore EF=AF+CE$,故①正确;如图,延长FA到G,使AG=CE,易得FG=EF,连结BG. 在$△ABG$和$△CBE$中,$\begin{cases} AG=CE, \\ ∠ BAG=∠ BCE=90°, \\ AB=CB, \end{cases}$ $\therefore △ABG≌△CBE$.
$\therefore BG=BE,∠ ABG=∠ CBE$. 在$△BGF$和$△BEF$中,$\begin{cases} BG=BE, \\ BF=BF, \\ GF=EF, \end{cases}$ $\therefore △BGF≌△BEF. \therefore ∠ GBF=∠ EBF,∠ G=∠ BEF,∠ BFG=∠ BFE. \because ∠ ABE+∠ CBE=90°,∠ CBE=∠ ABG,\therefore ∠ GBE=∠ ABG+∠ ABE=90°$.
$\therefore ∠ EBF=∠ GBF=\frac{1}{2}∠ GBE=45°$,故②正确;
$\because ∠ ABF+∠ AFB=90°,\therefore ∠ ABF+∠ BFE=90°$.
$\therefore ∠ ABF$与$∠ BFE$互余,故③正确;$\because ∠ GAM=90°+45°=135°,∠ GBF=45°,\therefore ∠ GAM+∠ GBM=180°$.
$\therefore ∠ G+∠ AMB=180°$. 又$\because ∠ AMB+∠ NMB=180°,\therefore ∠ NMB=∠ G$.
$\therefore ∠ NMB=∠ BEF$. 又$\because ∠ MBN=∠ EBF,\therefore △BMN∽△BEF$,故④正确. 故选D.

二、填空题(每题6分,共24分)
7. 新视角条件开放题 如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$D,E$分别为边$AB,AC$上的一点,$AC=3AD$,$AB=3AE$,点$F$为$BC$边上一点,添加一个条件使$△ FDB$与$△ ADE$相似,则添加的一个条件是.

7. $∠ BFD=∠ A$(答案不唯一)

8. 如图，将$△ ABC$沿$BC$边上的中线$AD$平移到$△ A'B'C'$的位置.已知$△ ABC$的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若$AA'=1$，则$A'D$等于.

8. 3

9. ★★ 新考法分类讨论法 如图，正方形ABCD的边长为$3\sqrt{2}$，E是边CD的中点，对角线BD上有一动点F，当顶点为A,B,F的三角形与顶点为D,E,F的三角形相似时，BF的值为。

9. 3或4 【点拨】依题意可得 $BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=6,DE=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. 设 $BF=x$, 则 $DF=6-x$. ①当$△FDE∽△ABF$时,$\frac{DF}{BA}=\frac{DE}{BF}$,即$\frac{6-x}{3\sqrt{2}}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{x}$,解得$x_1=x_2=3$;②当$△EDF∽△ABF$时,$\frac{DF}{BF}=\frac{DE}{BA}$,即$\frac{6-x}{x}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{2}}$,解得$x=4$. 综上所述,$BF$的值为3或4.