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9. 如图,在直角三角形ABC中,已知∠ACB=90°,点E是AB的中点,且DE⊥AB,DE交AC的延长线于点D、交BC于点F,若∠D=30°,EF=2,则DF的长是 (
A.5
B.4
C.3
D.2
B
)A.5
B.4
C.3
D.2
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先从已知的直角和30°角出发，先推导△ABC中∠B的度数，再利用含30°角的直角三角形的边的性质求出BF的长度；接着通过证明△ABC和△ADE全等，得到BC=DE的关系；最后结合线段和差关系以及Rt△DCF中30°角的边的性质列等式，即可求出DF的长度。
【解析】
1. 求相关角的度数：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠D=30°，
∴ ∠A=90°-∠D=60°。
又
∵ ∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=30°。
2. 求BF的长度：
在Rt△BEF中，∠BEF=90°，∠B=30°，EF=2，
根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”，得BF=2EF=4，
同时∠BFE=90°-∠B=60°，由对顶角相等得∠CFD=∠BFE=60°。
3. 推导BC=DE：
∵ E是AB中点，DE⊥AB，
∴ AE=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ADE中，∠D=30°，
∴ AD=2AE=2×$\frac{1}{2}$AB=AB，即AD=AB。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A \\∠ACB=∠AED=90° \\AB=AD\end{array} $
∴ △ABC≌△ADE（AAS），
∴ BC=DE。
4. 列等式求DF：
由线段和差得：DE=DF+EF，BC=BF+CF，
∴ DF+EF=BF+CF。
在Rt△DCF中，∠DCF=90°，∠D=30°，
∴ CF=$\frac{1}{2}$DF。
将EF=2，BF=4，CF=$\frac{1}{2}$DF代入上式：
$DF + 2 = 4 + \frac{1}{2}DF$
移项计算得：$\frac{1}{2}DF=2$，即DF=4。
【答案】
B
【知识点】
1.含30°角的直角三角形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.对顶角的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的综合应用题，解题关键是通过角度推导找到全等三角形，进而得到边的等量关系，再结合30°角直角三角形的边的关系建立方程求解，需要较好的逻辑推导能力和线段关系梳理能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的直角和30°角出发，先推导△ABC中∠B的度数，再利用含30°角的直角三角形的边的性质求出BF的长度；接着通过证明△ABC和△ADE全等，得到BC=DE的关系；最后结合线段和差关系以及Rt△DCF中30°角的边的性质列等式，即可求出DF的长度。
【解析】
1. 求相关角的度数：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠D=30°，
∴ ∠A=90°-∠D=60°。
又
∵ ∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=30°。
2. 求BF的长度：
在Rt△BEF中，∠BEF=90°，∠B=30°，EF=2，
根据“含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”，得BF=2EF=4，
同时∠BFE=90°-∠B=60°，由对顶角相等得∠CFD=∠BFE=60°。
3. 推导BC=DE：
∵ E是AB中点，DE⊥AB，
∴ AE=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ADE中，∠D=30°，
∴ AD=2AE=2×$\frac{1}{2}$AB=AB，即AD=AB。
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠A \\∠ACB=∠AED=90° \\AB=AD\end{array} $
∴ △ABC≌△ADE（AAS），
∴ BC=DE。
4. 列等式求DF：
由线段和差得：DE=DF+EF，BC=BF+CF，
∴ DF+EF=BF+CF。
在Rt△DCF中，∠DCF=90°，∠D=30°，
∴ CF=$\frac{1}{2}$DF。
将EF=2，BF=4，CF=$\frac{1}{2}$DF代入上式：
$DF + 2 = 4 + \frac{1}{2}DF$
移项计算得：$\frac{1}{2}DF=2$，即DF=4。
【答案】
B
【知识点】
1.含30°角的直角三角形的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.对顶角的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的综合应用题，解题关键是通过角度推导找到全等三角形，进而得到边的等量关系，再结合30°角直角三角形的边的关系建立方程求解，需要较好的逻辑推导能力和线段关系梳理能力。
【难度系数】
0.6
10.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=6$，$∠ BAC=120°$，$AD$是$△ ABC$的中线，$AE$是$△ BAD$的角平分线，$DF// AB$交$AE$的延长线于点$F$，则$DF$的长是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先从等腰三角形的性质入手：等腰三角形底边上的中线同时是底边上的高和顶角的角平分线，由此先确定$AD⊥ BC$，且可算出底角$∠ B=30°$，利用含$30°$角的直角三角形的性质即可求出$AD$的长度；再结合角平分线的定义得到$∠ BAE=∠ DAE$，根据平行线的内错角相等得到$∠ BAE=∠ F$，等量代换得$∠ DAE=∠ F$，由等角对等边可知$AD=DF$，即可得到$DF$的长度。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，$∠ BAC=120°$
$\therefore AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=30°$
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，$AB=6$，根据$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AD=\frac{1}{2}AB=3$
$\because AE$平分$∠ BAD$
$\therefore ∠ BAE=∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAD=30°$
$\because DF// AB$
$\therefore ∠ F=∠ BAE=30°$
$\therefore ∠ F=∠ EAD=30°$
$\therefore AD=DF$
$\therefore DF=3$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，含$30°$角的直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了特殊三角形和平行线的相关性质，核心是通过角的等量关系转化得到$DF$与$AD$相等，将求$DF$的长度转化为求已知直角三角形中边长的问题，解题关键是熟练掌握各类基础几何性质，找到线段间的等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从等腰三角形的性质入手：等腰三角形底边上的中线同时是底边上的高和顶角的角平分线，由此先确定$AD⊥ BC$，且可算出底角$∠ B=30°$，利用含$30°$角的直角三角形的性质即可求出$AD$的长度；再结合角平分线的定义得到$∠ BAE=∠ DAE$，根据平行线的内错角相等得到$∠ BAE=∠ F$，等量代换得$∠ DAE=∠ F$，由等角对等边可知$AD=DF$，即可得到$DF$的长度。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$AD$是$△ ABC$的中线，$∠ BAC=120°$
$\therefore AD⊥ BC$，$AD$平分$∠ BAC$，$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ BAC}{2}=30°$
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=60°$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，$AB=6$，根据$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AD=\frac{1}{2}AB=3$
$\because AE$平分$∠ BAD$
$\therefore ∠ BAE=∠ EAD=\frac{1}{2}∠ BAD=30°$
$\because DF// AB$
$\therefore ∠ F=∠ BAE=30°$
$\therefore ∠ F=∠ EAD=30°$
$\therefore AD=DF$
$\therefore DF=3$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，含$30°$角的直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了特殊三角形和平行线的相关性质，核心是通过角的等量关系转化得到$DF$与$AD$相等，将求$DF$的长度转化为求已知直角三角形中边长的问题，解题关键是熟练掌握各类基础几何性质，找到线段间的等量关系。
【难度系数】
0.7
11.如图,点P,M,N在等边三角形ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N.
(1)求证:△PMN是等边三角形;
(2)若AB=12,求CM的长.
(1)求证:△PMN是等边三角形;
(2)若AB=12,求CM的长.
答案
11.(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∵MP⊥AB,MN⊥BC,
PN⊥AC,
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°.
∴∠PMB=∠MNC=∠APN=30°.
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°.
∴△PMN是等边三角形.
(2)解:易证△PBM≌△MCN≌△NAP,
∴PA=BM=CN,PB=MC=AN.
∴BM+PB=AB=12.
∵∠PMB=∠MNC=∠APN=30°,
∴2PB=BM.
∴2PB+PB=12.
∴PB=4.
∴CM=4.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∵MP⊥AB,MN⊥BC,
PN⊥AC,
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°.
∴∠PMB=∠MNC=∠APN=30°.
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°.
∴△PMN是等边三角形.
(2)解:易证△PBM≌△MCN≌△NAP,
∴PA=BM=CN,PB=MC=AN.
∴BM+PB=AB=12.
∵∠PMB=∠MNC=∠APN=30°,
∴2PB=BM.
∴2PB+PB=12.
∴PB=4.
∴CM=4.
解析
【分析】
(1)要证明△PMN是等边三角形，可通过证明它的三个内角均为60°实现。首先利用等边△ABC的内角均为60°，结合已知的垂直条件，求出各直角三角形中锐角度数，再通过平角为180°计算△PMN的三个内角，即可完成证明。
(2)求CM的长时，先证明三个直角小三角形全等，得到对应边相等的关系，再结合含30°角的直角三角形的性质，推导边的倍数关系，结合AB的长度列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°。
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=180°-90°-60°=30°，同理可得∠MNC=∠APN=30°，
∴∠NPM=180°-∠APN-∠MPB=180°-30°-90°=60°，
同理∠PMN=180°-∠PMB-∠NMC=60°，∠MNP=180°-∠MNC-∠PNA=60°，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°，
∴△PMN是等边三角形。
(2)解：
由(1)的结论和角度关系，可证△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=PA+PB=AB=12。
∵在Rt△PBM中，∠PMB=30°，
∴BM=2PB，
代入得2PB+PB=12，解得PB=4，
∴CM=PB=4。
【答案】
(1)△PMN是等边三角形，证明成立；(2)CM的长为4。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形和特殊直角三角形的相关性质，解题核心是通过垂直关系推导角度，进而得到边与角的数量关系，涉及的考点都是几何部分的基础内容，需要熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△PMN是等边三角形，可通过证明它的三个内角均为60°实现。首先利用等边△ABC的内角均为60°，结合已知的垂直条件，求出各直角三角形中锐角度数，再通过平角为180°计算△PMN的三个内角，即可完成证明。
(2)求CM的长时，先证明三个直角小三角形全等，得到对应边相等的关系，再结合含30°角的直角三角形的性质，推导边的倍数关系，结合AB的长度列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°。
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=180°-90°-60°=30°，同理可得∠MNC=∠APN=30°，
∴∠NPM=180°-∠APN-∠MPB=180°-30°-90°=60°，
同理∠PMN=180°-∠PMB-∠NMC=60°，∠MNP=180°-∠MNC-∠PNA=60°，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°，
∴△PMN是等边三角形。
(2)解：
由(1)的结论和角度关系，可证△PBM≌△MCN≌△NAP（AAS），
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=PA+PB=AB=12。
∵在Rt△PBM中，∠PMB=30°，
∴BM=2PB，
代入得2PB+PB=12，解得PB=4，
∴CM=PB=4。
【答案】
(1)△PMN是等边三角形，证明成立；(2)CM的长为4。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形和特殊直角三角形的相关性质，解题核心是通过垂直关系推导角度，进而得到边与角的数量关系，涉及的考点都是几何部分的基础内容，需要熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.7
12.(教材习题变式)一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东$75°$，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东$60°$.若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因.
答案
12.解:有触礁危险.理由如下：
过点P作PD⊥AB于点D,由题意,得
∠PAB=15°,∠PBD=30°,
∴∠APB=∠PBD−∠PAB=15°=∠PAB.
∴PB=AB=7海里.
∵∠PBD=30°,
∴PD=$\frac{1}{2}$PB=3.5海里.
∵3.5＜3.8,
∴该船继续向东航行,有触礁的危险.
过点P作PD⊥AB于点D,由题意,得
∠PAB=15°,∠PBD=30°,
∴∠APB=∠PBD−∠PAB=15°=∠PAB.
∴PB=AB=7海里.
∵∠PBD=30°,
∴PD=$\frac{1}{2}$PB=3.5海里.
∵3.5＜3.8,
∴该船继续向东航行,有触礁的危险.
解析
【分析】
要判断轮船是否有触礁危险，核心是求小岛P到航行路线AB的最短距离，即过P作AB的垂线段PD的长度，再将PD与3.8海里比较即可。解题思路如下：首先根据方位角计算出△ABP中∠PAB和∠PBD的度数；再利用三角形外角的性质推出∠APB=∠PAB，得到等腰三角形，求出PB的长度；之后在直角三角形PBD中利用含30°角的直角三角形的性质求出PD的长度；最后比较PD和3.8海里的大小得出结论。
【解析】
过点P作PD⊥AB于点D，
由题意得：∠PAB = 90° - 75° = 15°，∠PBD = 90° - 60° = 30°，
∵∠PBD是△ABP的外角，
∴∠APB = ∠PBD - ∠PAB = 30° - 15° = 15°，
∴∠APB = ∠PAB，
∴PB = AB = 7海里，
在Rt△PBD中，∠PDB=90°，∠PBD=30°，
∴PD = $\frac{1}{2}$PB = $\frac{1}{2}$×7 = 3.5海里，
∵3.5 ＜ 3.8，
∴该船继续向东航行，有触礁的危险。
【答案】
有触礁危险
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何知识在实际场景中的应用类问题，解题关键是将实际问题转化为求点到直线距离的几何问题，熟练掌握角度计算、等腰三角形判定和特殊直角三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要判断轮船是否有触礁危险，核心是求小岛P到航行路线AB的最短距离，即过P作AB的垂线段PD的长度，再将PD与3.8海里比较即可。解题思路如下：首先根据方位角计算出△ABP中∠PAB和∠PBD的度数；再利用三角形外角的性质推出∠APB=∠PAB，得到等腰三角形，求出PB的长度；之后在直角三角形PBD中利用含30°角的直角三角形的性质求出PD的长度；最后比较PD和3.8海里的大小得出结论。
【解析】
过点P作PD⊥AB于点D，
由题意得：∠PAB = 90° - 75° = 15°，∠PBD = 90° - 60° = 30°，
∵∠PBD是△ABP的外角，
∴∠APB = ∠PBD - ∠PAB = 30° - 15° = 15°，
∴∠APB = ∠PAB，
∴PB = AB = 7海里，
在Rt△PBD中，∠PDB=90°，∠PBD=30°，
∴PD = $\frac{1}{2}$PB = $\frac{1}{2}$×7 = 3.5海里，
∵3.5 ＜ 3.8，
∴该船继续向东航行，有触礁的危险。
【答案】
有触礁危险
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何知识在实际场景中的应用类问题，解题关键是将实际问题转化为求点到直线距离的几何问题，熟练掌握角度计算、等腰三角形判定和特殊直角三角形的性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
13.[分类讨论思想]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°,∠ B=30°,AC=6\ \mathrm{cm}$,点$D$从点$A$出发以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速向点$C$运动,同时点$E$从点$C$出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速向点$B$运动,运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,解答以下问题:
(1)当$t$为何值时,$△ DEC$为等边三角形?
(2)当$t$为何值时,$△ DEC$为直角三角形?
(1)当$t$为何值时,$△ DEC$为等边三角形?
(2)当$t$为何值时,$△ DEC$为直角三角形?
答案
13.解:(1)根据题意,得AD=t cm,
CD=(6−t) cm,CE=2t cm.
∵∠C=90°−∠B=60°,
∴当△DEC为等边三角形时,
CD=CE,即6−t=2t,解得t=2.
∴当t的值为2时,△DEC为等边三角形.
(2)①当∠DEC=90°时,∠EDC=30°,
∴CE=$\frac{1}{2}$DC,即2t=$\frac{1}{2}$(6−t),解得t=$\frac{6}{5}$；
②当∠EDC=90°时,∠DEC=30°,
CD=$\frac{1}{2}$CE,即6−t=$\frac{1}{2}$·2t,解得t=3.
综上所述,当t的值为$\frac{6}{5}$或3时,△DEC为直角三角形.
CD=(6−t) cm,CE=2t cm.
∵∠C=90°−∠B=60°,
∴当△DEC为等边三角形时,
CD=CE,即6−t=2t,解得t=2.
∴当t的值为2时,△DEC为等边三角形.
(2)①当∠DEC=90°时,∠EDC=30°,
∴CE=$\frac{1}{2}$DC,即2t=$\frac{1}{2}$(6−t),解得t=$\frac{6}{5}$；
②当∠EDC=90°时,∠DEC=30°,
CD=$\frac{1}{2}$CE,即6−t=$\frac{1}{2}$·2t,解得t=3.
综上所述,当t的值为$\frac{6}{5}$或3时,△DEC为直角三角形.
解析
【分析】
首先根据△ABC的内角特征求出∠C=60°，再结合点D、E的运动速度与时间t，用含t的代数式表示出CD、CE的长度。(1)要使△DEC为等边三角形，已知∠C=60°，只需满足夹∠C的两边CD=CE，据此列方程求解即可。(2)△DEC为直角三角形时，∠C=60°，因此直角顶点只能是E或D，分两种情况讨论，利用含30°角的直角三角形中30°角对的直角边为斜边一半的性质列方程求解即可，注意检验解的合理性。
【解析】
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，
∴∠C=90°−∠B=60°。
由题意得：AD=t cm，CE=2t cm，
∴CD=AC−AD=(6−t) cm。
(1) 若△DEC为等边三角形，
∵∠C=60°，
∴CD=CE，即6−t=2t，
解得t=2。
(2) 分两种情况讨论：
① 当∠DEC=90°时，∠EDC=90°−∠C=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，得CE=$\frac{1}{2}$DC，
即2t=$\frac{1}{2}$(6−t)，
解得t=$\frac{6}{5}$；
② 当∠EDC=90°时，∠DEC=90°−∠C=30°，
同理得CD=$\frac{1}{2}$CE，
即6−t=$\frac{1}{2}$×2t，
解得t=3。
经检验，t=$\frac{6}{5}$和t=3均符合运动要求。
【答案】
(1) $t=2$；(2) $t=\frac{6}{5}$或$t=3$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、等边三角形判定、分类讨论思想
【点评】
本题是动点与特殊三角形判定结合的常见题型，解题核心是用含运动时间的代数式表示相关线段长度，结合特殊三角形的边角关系建立方程求解，注意直角三角形要分类讨论直角的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先根据△ABC的内角特征求出∠C=60°，再结合点D、E的运动速度与时间t，用含t的代数式表示出CD、CE的长度。(1)要使△DEC为等边三角形，已知∠C=60°，只需满足夹∠C的两边CD=CE，据此列方程求解即可。(2)△DEC为直角三角形时，∠C=60°，因此直角顶点只能是E或D，分两种情况讨论，利用含30°角的直角三角形中30°角对的直角边为斜边一半的性质列方程求解即可，注意检验解的合理性。
【解析】
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，
∴∠C=90°−∠B=60°。
由题意得：AD=t cm，CE=2t cm，
∴CD=AC−AD=(6−t) cm。
(1) 若△DEC为等边三角形，
∵∠C=60°，
∴CD=CE，即6−t=2t，
解得t=2。
(2) 分两种情况讨论：
① 当∠DEC=90°时，∠EDC=90°−∠C=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，得CE=$\frac{1}{2}$DC，
即2t=$\frac{1}{2}$(6−t)，
解得t=$\frac{6}{5}$；
② 当∠EDC=90°时，∠DEC=90°−∠C=30°，
同理得CD=$\frac{1}{2}$CE，
即6−t=$\frac{1}{2}$×2t，
解得t=3。
经检验，t=$\frac{6}{5}$和t=3均符合运动要求。
【答案】
(1) $t=2$；(2) $t=\frac{6}{5}$或$t=3$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、等边三角形判定、分类讨论思想
【点评】
本题是动点与特殊三角形判定结合的常见题型，解题核心是用含运动时间的代数式表示相关线段长度，结合特殊三角形的边角关系建立方程求解，注意直角三角形要分类讨论直角的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
