1. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段$AC=6$，则线段$BC$的长是（）

A.$\frac{2}{3}$
B.$1$
C.$\frac{3}{2}$
D.$2$

1. D 解析:如图,过点 A 作 $AF⊥CF$ 于点 F,交直线 c 于点 E,交直线 b 于点 D,根据题意,设 $AD=DE=EF=h,∵ a// b// c// d,\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{AF}{EF}=\frac{3h}{h}.\because AC=6,\therefore \frac{6}{BC}=3,\therefore BC=2$.故选 D.

【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解，解题思路如下：首先题目明确五线谱的五条横线为等距离的平行线，要建立线段AC与BC的数量关系，可过点A作垂直于横线的辅助线，该辅助线会被平行横线截为等长的线段，再结合平行线分线段成比例定理，得到对应线段的比例式，代入已知AC的长度即可求出BC的长。
【解析】
如图，过点A作$AF⊥CF$于点F，交直线c于点E，交直线b于点D。
由五线谱等距离平行的性质可知，相邻横线间的距离相等，设$AD=DE=EF=h$。
$\because a// b// c// d$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，因此$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{EF}$。
又$\because AF=AD+DE+EF=3h$，$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{3h}{h}=3$。
已知$AC=6$，代入得$\frac{6}{BC}=3$，解得$BC=2$。
【答案】
D

【知识点】
平行线分线段成比例，垂线的性质
【点评】
本题结合五线谱的实际场景考查几何定理的应用，解题的关键是将实际场景中的等距平行条件转化为几何中的等线段关系，侧重考查学生对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

2. 如图，如果$ l_1 // l_2 // l_3 $，那么下列比例式中，错误的是（）

A.$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}$
B.$\frac{DF}{AF}=\frac{CE}{BE}$
C.$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}$
D.$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{CE}$

2. D 解析:$\because l_1// l_2// l_3,\therefore \frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}$, A 选项成立;$\frac{DF}{AF}=\frac{EC}{EB}$,B 选项成立;$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}$,C 选项成立;$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}≠\frac{BC}{CE}$,D 选项不成立.故选 D.

【分析】
解决本题的核心是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。首先明确两条被截直线上的对应线段：左侧被截线的线段AD对应右侧被截线的BC，DF对应CE，整段AF对应整段BE。接下来逐一核对每个选项的线段对应关系是否符合定理即可判断正误。
【解析】
$\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$，根据平行线分线段成比例定理，两条被截直线上的对应线段成比例，可得：$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}=\frac{AF}{BE}$。
对各选项逐一判断：
A选项：由$\frac{AD}{BC}=\frac{AF}{BE}$，根据比例的基本性质交叉变形可得$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}$，该式成立，不符合题意；
B选项：由$\frac{DF}{CE}=\frac{AF}{BE}$，变形可得$\frac{DF}{AF}=\frac{CE}{BE}$，该式成立，不符合题意；
C选项：$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CE}$是定理直接得到的比例式，成立，不符合题意；
D选项：由A选项可知$\frac{AD}{AF}=\frac{BC}{BE}$，$BE≠ CE$，因此$\frac{AD}{AF}≠\frac{BC}{CE}$，该式不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础应用型题目，解题的关键是准确识别两条被截直线上的对应线段，避免因对应关系混淆判断错误。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在$△ ABC$中,$DE // BC$,$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$,若$AC=6$,则$EC=$ ()

A.$\frac{6}{5}$
B.$\frac{12}{5}$
C.$\frac{18}{5}$
D.$\frac{24}{5}$

3. C 解析:$\because DE// BC,\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{AC-EC}{EC}=\frac{2}{3}$.$\because AC=6,\therefore \frac{6-EC}{EC}=\frac{2}{3}$, 解得 $EC=\frac{18}{5}$,经检验符合题意.故选 C.

【分析】
首先观察题干条件，已知$DE// BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例。由此可得到$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，结合已知$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，以及$AE=AC-EC$、$AC=6$的条件，将其代入比例式即可得到关于$EC$的方程，解方程即可求出$EC$的长度。
【解析】
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
又$\because \frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$，
$\because AE=AC-EC$，且$AC=6$，
$\therefore \frac{6-EC}{EC}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$3(6-EC)=2EC$，
展开整理得：$18=5EC$，
解得$EC=\frac{18}{5}$，经检验，$EC=\frac{18}{5}$是原方程的解，符合题意。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、比例式计算、分式方程求解
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用平行线分线段成比例的推论建立线段间的比例关系，再结合已知线段长度列方程求解，掌握平行线分线段成比例的相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$l_1 // l_2 // l_3$，$AB=6$，$BC=4$，$CD=2$，$CF=3$，则$EG=$。

4. 9 解析:$\because l_1// l_2// l_3,\therefore \frac{BC}{CD}=\frac{CF}{CG}$,即$\frac{4}{2}=\frac{3}{CG},\therefore CG=1.5$,$\therefore FG=3+1.5=4.5.\because \frac{AB}{AD}=\frac{EF}{EG}$,即$\frac{6}{6+4+2}=\frac{EG-4.5}{EG}$, 解得 $EG=9$.故答案为9.

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先观察到三条平行线$l_1、l_2、l_3$被两条截线所截，符合平行线分线段成比例的适用条件。第一步先结合$l_2、l_3$之间截得的线段$BC、CD$与$CF、CG$的对应关系，列比例式求出$CG$的长度，得到$FG$的总长；第二步再利用$l_1、l_3$之间截得的线段比例关系，将$EF$用$EG-FG$替换，列方程求解即可得到$EG$的长度。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $，根据平行线分线段成比例定理：
1. 先分析$l_2、l_3$截得的线段，可得$\frac{BC}{CD}=\frac{CF}{CG}$，
将$BC=4，CD=2，CF=3$代入得：$\frac{4}{2}=\frac{3}{CG}$，解得$CG=1.5$，
因此$FG=CF+CG=3+1.5=4.5$。
2. 再分析整条截线的线段比例，可得$\frac{AB}{AD}=\frac{EF}{EG}$，
其中$AD=AB+BC+CD=6+4+2=12$，$EF=EG-FG=EG-4.5$，代入得：
$\frac{6}{12}=\frac{EG-4.5}{EG}$，
交叉相乘化简得：$EG=2(EG-4.5)$，解得$EG=9$。
【答案】
9
【知识点】
平行线分线段成比例、比例运算、一元一次方程求解
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题，解题核心是准确识别不同平行线间的对应线段，避免比例的对应关系混淆，同时要熟练掌握比例式的变形和方程求解方法。
【难度系数】
0.6

5. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$G$为$BC$上一点,连接$AG$交$DE$于点$F$,已知$AF=2$,$AG=6$,$EC=5$,则$AC=$。

5. 7.5 解析:$\because DE// BC,\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}.\because AE=AC-EC=AC-5$,$AF=2,AG=6,\therefore \frac{2}{6}=\frac{AC-5}{AC}$,解得 $AC=7.5$.故答案为7.5.

【分析】
解题时首先观察到$DE// BC$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截三角形的相关线段，所得对应线段成比例，因此可得$AF:AG=AE:AC$。接下来将$AE$用含$AC$的式子表示，即$AE=AC-EC$，再代入已知的$AF$、$AG$、$EC$的数值，得到关于$AC$的比例方程，解方程即可求出$AC$的长度。
【解析】
$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论可得：
$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$
又$\because AE=AC-EC$，已知$AF=2$，$AG=6$，$EC=5$，代入得：
$\frac{2}{6}=\frac{AC-5}{AC}$
交叉相乘得：$2AC=6(AC-5)$
展开整理得：$2AC=6AC-30$
移项合并得：$4AC=30$
解得：$AC=7.5$
【答案】
$7.5$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题属于基础几何计算题型，核心是利用平行线的性质得到对应线段的比例关系，解题的关键是准确识别成比例的对应线段，结合已知条件列方程求解，熟练掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7

6. | 新趋势·尺规作图 (宝鸡模拟)如图,在△ABC中,点D在AB边上,AD=4BD,请用尺规作图法,在AC边上找一点E,使 $ CE = \frac{1}{5}AC $.(不写作法,保留作图痕迹)

6. 如图,点 E 即为所求.

解析:$\because AD=4BD,\therefore AB=AD+BD=4BD+BD=5BD$.由作图知$∠ ADE=∠ ABC,\therefore DE// BC,\therefore \frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}=5,\therefore CE=\frac{1}{5}AC$.

【分析】
要在AC边上找到点E使$CE=\frac{1}{5}AC$，即线段AC被E分为$AE:EC=4:1$的两段，已知AB边上$AD:BD=4:1$，可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得对应线段成比例。因此只需过点D作BC的平行线交AC于E，即可得到$AE:EC=AD:BD=4:1$，满足$CE=\frac{1}{5}AC$的要求，作图时可通过尺规作$∠ ADE=∠ B$得到平行于BC的直线DE。
【解析】
已知$AD=4BD$，因此$\frac{AD}{BD}=\frac{4}{1}$，$AB=AD+BD=5BD$，即$\frac{AB}{BD}=5$。
通过尺规作$∠ ADE=∠ B$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$DE// BC$。
根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，因此$\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}=5$，整理得$CE=\frac{1}{5}AC$，故点E即为所求作的点。
【答案】
如图,点 E 即为所求.

【知识点】
尺规作角，平行线的判定，平行线分线段成比例
【点评】
本题将尺规作图与线段比例计算结合，核心是利用已知的线段比例关系，通过作平行线构造符合要求的比例线段，既考查了基本作图技能，也考查了对平行线分线段成比例定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD⊥ BC$,垂足为$D$,$M$是线段$AD$的中点,连接$CM$并延长交$AB$于点$P$,$DN// CM$交$AB$于点$N$,若$AB=6$,求$PN$的长.

7. $\because AB=AC,AD⊥ BC,\therefore BD=DC$.又 $\because DN// CM,\therefore BN=NP$.
$\because M$ 是线段 $AD$ 的中点, $DN// CM,\therefore NP=PA,\therefore PN=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×6=2$.

【分析】
解题时先从已知的等腰三角形和AD⊥BC的条件入手，利用等腰三角形三线合一的性质得到D是BC的中点；再结合DN//CM的条件，利用平行线分线段成比例的推论，先在△BCP中得到BN=NP，再在△ADN中结合M是AD中点的条件得到NP=PA，从而发现AP、PN、NB三段长度相等，即可得到PN与AB的数量关系，代入AB的长度就能求出PN的长。
【解析】
解：$\because AB=AC,AD⊥ BC$，
$\therefore$ 根据等腰三角形三线合一的性质，得$BD=DC$。
$\because DN// CM$，即$DN// CP$，在$△ BCP$中，$D$为$BC$中点且$DN// CP$，
$\therefore BN=NP$。
又$\because M$是线段$AD$的中点，$DN// CM$，即$PM// DN$，在$△ ADN$中，$M$为$AD$中点且$PM// DN$，
$\therefore NP=PA$。
$\therefore AP=PN=NB$，即$PN=\frac{1}{3}AB$。
$\because AB=6$，
$\therefore PN=\frac{1}{3}×6=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、线段中点的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是结合等腰三角形、中点的性质，合理运用平行线分线段成比例的推论得到线段的等分关系，注重对基础定理的应用考察，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7