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综合实践活动 符号的意义
数学符号是我们学习数学的起点，1,2,3,4,5,6,7,8,9,＋,－,×,÷等是数学中最简单、最常用的符号.数学家罗素曾经说过，“符号＋逻辑”便构成了数学，可以说数学符号是数学语言的一种，人们在进行数学表达、推理、运算时都需要用到数学符号.
而现代数学符号系统的建立是经历了长期演变和发展而形成的，例如“＋”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的.16世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（“加”的意思）的第一个字母表示加，后为“μ”，最后都变成了“＋”号.“－”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，一开始简写为“m”，再因快速书写而简化为“－”了.
借助数学符号，数学语言可以变得简洁明了.例如用文字语言来叙述“5＋3＝8”，就是“五加三等于八”，如果数学书都这样表述，那将是十分烦琐的.我们发现，数学符号可以将一些复杂的语句或者复杂的关系简明、准确地表示出来.
同时，数学符号是正确地表述概念、说明方法和进行推理的有力工具.使用较好的符号系统，可以帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的互相关系.例如，叠放钢管问题，最顶上是一根，第二层是两根，第三层是三根……以此类推，按照这个规律我们可以推得两层钢管总数是3，三层钢管总数是6，每增加一层其总数都能够通过运算算出结果，但是当层数不断增多时，计算会变得越来越困难.我们再仔细想想，两层钢管总数3是通过1＋2得到的，三层钢管总数6是通过1＋2＋3得到的，那么n层钢管的总数就能归纳表达成$1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.这样利用数学符号进行推导不仅使问题得到简化，还揭示了钢管数量与层数之间的关系.
数学符号是国际通用的数学表达方式，能够促进不同国家和地区数学工作者之间的交流与合作，数学家们可以通过数学符号沟通和分享各自的数学研究成果，推动数学领域的进步.
学习数学离不开学习数学符号，那么我们学过的数学符号有哪些？具体有哪些应用？让我们带着这些疑问一起进入数学符号的世界.
实践作业1
（1）我国在1905年清朝学堂的课本中用“$\frac{五}{丁二}$T$\frac{三}{丙二}$⊥$\frac{二七}{甲二乙二}$”来表示相当于$\frac{d^2}{5}-\frac{c^2}{3}+\frac{a^2b^2}{27}$的代数式.其中甲对应$a$，乙对应$b$，丙对应$c$，丁对应$d$，⊥表示加号，T表示减号.请尝试将下列代数式互相转化，思考哪一种表示更方便.
①甲二T乙二；
②$\frac{四}{甲二}$⊥甲乙⊥乙二.
（2）用数学符号可以很简明地表示一些数学规律和公式.例如，路程公式：$s=vt$，加法交换律：$a+b=b+a$.请尝试将下列文字语言和数学符号语言互相转化，思考哪一种表示更方便.
①$a(b+c)=ab+ac$.
②若$a≥0$，则$|a|=a$；若$a＜0$，则$|a|=-a$.
③除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数.
数学符号是我们学习数学的起点，1,2,3,4,5,6,7,8,9,＋,－,×,÷等是数学中最简单、最常用的符号.数学家罗素曾经说过，“符号＋逻辑”便构成了数学，可以说数学符号是数学语言的一种，人们在进行数学表达、推理、运算时都需要用到数学符号.
而现代数学符号系统的建立是经历了长期演变和发展而形成的，例如“＋”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的.16世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（“加”的意思）的第一个字母表示加，后为“μ”，最后都变成了“＋”号.“－”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，一开始简写为“m”，再因快速书写而简化为“－”了.
借助数学符号，数学语言可以变得简洁明了.例如用文字语言来叙述“5＋3＝8”，就是“五加三等于八”，如果数学书都这样表述，那将是十分烦琐的.我们发现，数学符号可以将一些复杂的语句或者复杂的关系简明、准确地表示出来.
同时，数学符号是正确地表述概念、说明方法和进行推理的有力工具.使用较好的符号系统，可以帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的互相关系.例如，叠放钢管问题，最顶上是一根，第二层是两根，第三层是三根……以此类推，按照这个规律我们可以推得两层钢管总数是3，三层钢管总数是6，每增加一层其总数都能够通过运算算出结果，但是当层数不断增多时，计算会变得越来越困难.我们再仔细想想，两层钢管总数3是通过1＋2得到的，三层钢管总数6是通过1＋2＋3得到的，那么n层钢管的总数就能归纳表达成$1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$.这样利用数学符号进行推导不仅使问题得到简化，还揭示了钢管数量与层数之间的关系.
数学符号是国际通用的数学表达方式，能够促进不同国家和地区数学工作者之间的交流与合作，数学家们可以通过数学符号沟通和分享各自的数学研究成果，推动数学领域的进步.
学习数学离不开学习数学符号，那么我们学过的数学符号有哪些？具体有哪些应用？让我们带着这些疑问一起进入数学符号的世界.
实践作业1
（1）我国在1905年清朝学堂的课本中用“$\frac{五}{丁二}$T$\frac{三}{丙二}$⊥$\frac{二七}{甲二乙二}$”来表示相当于$\frac{d^2}{5}-\frac{c^2}{3}+\frac{a^2b^2}{27}$的代数式.其中甲对应$a$，乙对应$b$，丙对应$c$，丁对应$d$，⊥表示加号，T表示减号.请尝试将下列代数式互相转化，思考哪一种表示更方便.
①甲二T乙二；
②$\frac{四}{甲二}$⊥甲乙⊥乙二.
（2）用数学符号可以很简明地表示一些数学规律和公式.例如，路程公式：$s=vt$，加法交换律：$a+b=b+a$.请尝试将下列文字语言和数学符号语言互相转化，思考哪一种表示更方便.
①$a(b+c)=ab+ac$.
②若$a≥0$，则$|a|=a$；若$a＜0$，则$|a|=-a$.
③除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数.
答案
(1)①$a^2 - b^2$ ②$\frac{a^2}{4}+ab+b^2$
(2)①一个数与两个数的和相乘，等于把这个数与这两个数相乘，再把积相加
②非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数
③$a÷ b = a× \frac{1}{b}(b≠0)$
(2)①一个数与两个数的和相乘，等于把这个数与这两个数相乘，再把积相加
②非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数
③$a÷ b = a× \frac{1}{b}(b≠0)$
解析
【分析】
解题时先梳理题目给出的所有约定规则，再分步转化：
1. 解决第(1)题时，先明确自定义符号的对应关系：甲对应a、乙对应b、丙对应c、丁对应d，⊥表示加号、T表示减号；再结合给出的示例“$\frac{五}{丁二}$对应$\frac{d^2}{5}$”，可得规则：“$\frac{汉字数字}{天干+数字}$”对应“天干所指字母的对应次幂 ÷ 汉字数字”，单独的“天干+数字”对应字母的对应次幂，多个天干并列对应对应字母相乘，按此规则逐个转化即可。
2. 解决第(2)题时，符号转文字需要准确描述公式的含义，不遗漏限制条件；文字转符号需要用字母代替对应的量，标注清楚限制条件即可。
【解析】
(1) 根据题中给定的符号对应规则：
① “甲二”对应$a^2$，“T”对应减号“-”，“乙二”对应$b^2$，组合后得$a^2 - b^2$；
② “$\frac{四}{甲二}$”对应$\frac{a^2}{4}$，“⊥”对应加号“+”，“甲乙”对应$ab$，“乙二”对应$b^2$，组合后得$\frac{a^2}{4}+ab+b^2$。
(2) 文字与符号语言互转：
① 式子$a(b+c)=ab+ac$是乘法分配律，文字表述为：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数与这两个数相乘，再把积相加；
② 给定的绝对值符号语言可总结为：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数；
③ 设被除数为$a$，除数为$b$（$b≠0$），转化为符号语言为$a÷ b = a× \frac{1}{b}(b≠0)$。
【答案】
(1)①$a^2 - b^2$ ②$\frac{a^2}{4}+ab+b^2$
(2)①一个数与两个数的和相乘，等于把这个数与这两个数相乘，再把积相加
②非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数
③$a÷ b = a× \frac{1}{b}(b≠0)$
【知识点】
1. 数学符号的意义
2. 代数式的表示
3. 运算律与绝对值性质
【点评】
本题结合数学符号的发展历史，考查对自定义符号规则的理解应用能力，以及文字语言与数学符号语言的转化能力，能让学生直观体会数学符号简洁通用的优势，提升数学表达素养。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理题目给出的所有约定规则，再分步转化：
1. 解决第(1)题时，先明确自定义符号的对应关系：甲对应a、乙对应b、丙对应c、丁对应d，⊥表示加号、T表示减号；再结合给出的示例“$\frac{五}{丁二}$对应$\frac{d^2}{5}$”，可得规则：“$\frac{汉字数字}{天干+数字}$”对应“天干所指字母的对应次幂 ÷ 汉字数字”，单独的“天干+数字”对应字母的对应次幂，多个天干并列对应对应字母相乘，按此规则逐个转化即可。
2. 解决第(2)题时，符号转文字需要准确描述公式的含义，不遗漏限制条件；文字转符号需要用字母代替对应的量，标注清楚限制条件即可。
【解析】
(1) 根据题中给定的符号对应规则：
① “甲二”对应$a^2$，“T”对应减号“-”，“乙二”对应$b^2$，组合后得$a^2 - b^2$；
② “$\frac{四}{甲二}$”对应$\frac{a^2}{4}$，“⊥”对应加号“+”，“甲乙”对应$ab$，“乙二”对应$b^2$，组合后得$\frac{a^2}{4}+ab+b^2$。
(2) 文字与符号语言互转：
① 式子$a(b+c)=ab+ac$是乘法分配律，文字表述为：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数与这两个数相乘，再把积相加；
② 给定的绝对值符号语言可总结为：非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数；
③ 设被除数为$a$，除数为$b$（$b≠0$），转化为符号语言为$a÷ b = a× \frac{1}{b}(b≠0)$。
【答案】
(1)①$a^2 - b^2$ ②$\frac{a^2}{4}+ab+b^2$
(2)①一个数与两个数的和相乘，等于把这个数与这两个数相乘，再把积相加
②非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数
③$a÷ b = a× \frac{1}{b}(b≠0)$
【知识点】
1. 数学符号的意义
2. 代数式的表示
3. 运算律与绝对值性质
【点评】
本题结合数学符号的发展历史，考查对自定义符号规则的理解应用能力，以及文字语言与数学符号语言的转化能力，能让学生直观体会数学符号简洁通用的优势，提升数学表达素养。
【难度系数】
0.8
