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综合实践活动 超乎想象的乘方
今天，让我们从一个故事开始.
据说，一位印度国王拥有至高无上的权力和巨大的财富.国王穷极无聊之际，一位老人来到他的宫廷，教会了他下国际象棋.国王非常高兴.为了奖赏老人，国王说：“你提出的任何请求，我都会满足.”老人说：“我的愿望是您奖赏给我麦子.”“只是麦子？”国王很惊讶.国王心想：这人真是个傻瓜，就要麦子.“你可要考虑清楚，没别的要求了吗？”老人继续说道：“既然陛下非要我说出请求，我就用棋盘来提要求，请陛下在棋盘的第一个格放1粒麦子，第二个格放2粒，第三个格放4粒，第四个格放8粒……以后每格放的麦粒都是前一格麦粒数目的2倍，只要放满第64格，就满足了我的请求.”“好的！”国王大声说，“把棋盘拿出来，让在座的各位见证我们的协定.”国王随后命人1粒、2粒、4粒、8粒、16粒依次把小麦放进象棋盘的小格子内…
国王不知道的是，这些小麦折算成重量，约为2587亿吨.即使现在，全世界小麦年产量也达不到这个数字.当然，老人最后并没得到这些麦子，但还是获得了很多其他的赏赐.
这个故事蕴含了有理数的乘方运算.在我国古代，数学文化璀璨夺目，其中就有不少蕴含乘方的运算.《易经》一书中记载，远古时期，人们还没有发明文字，通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，其用的是满七进一的计算方法.
具体如下：从右到左依次在绳子上打结，当在计数时达到了七个绳结时，向左进位一个结，原先的七个绳结解开.如图“结绳计数”的结果为8.
实践作业 完成“结绳计数”挑战，揭秘乘方运算，感受古人的智慧！
（1）如图所示，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是
（2）另一位母亲也想用满七进一的方式来记录孩子出生后的天数.现在她只记得自己的孩子出生60余6天，请你帮助她画出正确的打结方式.
（3）有一位母亲用满七进一的方式打结，总共打了13个结.如果她的孩子出生天数多于100天，不足200天，那么孩子可能出生多少天？
（4）小明、小强两位同学受“结绳计数”方法的启发，分别以满九进一和满七进一进行计数.他们发现，当表示10以上，且100以内的某些正整数时，两种方法打结的个数相同.请问这些数是
今天，让我们从一个故事开始.
据说，一位印度国王拥有至高无上的权力和巨大的财富.国王穷极无聊之际，一位老人来到他的宫廷，教会了他下国际象棋.国王非常高兴.为了奖赏老人，国王说：“你提出的任何请求，我都会满足.”老人说：“我的愿望是您奖赏给我麦子.”“只是麦子？”国王很惊讶.国王心想：这人真是个傻瓜，就要麦子.“你可要考虑清楚，没别的要求了吗？”老人继续说道：“既然陛下非要我说出请求，我就用棋盘来提要求，请陛下在棋盘的第一个格放1粒麦子，第二个格放2粒，第三个格放4粒，第四个格放8粒……以后每格放的麦粒都是前一格麦粒数目的2倍，只要放满第64格，就满足了我的请求.”“好的！”国王大声说，“把棋盘拿出来，让在座的各位见证我们的协定.”国王随后命人1粒、2粒、4粒、8粒、16粒依次把小麦放进象棋盘的小格子内…
国王不知道的是，这些小麦折算成重量，约为2587亿吨.即使现在，全世界小麦年产量也达不到这个数字.当然，老人最后并没得到这些麦子，但还是获得了很多其他的赏赐.
这个故事蕴含了有理数的乘方运算.在我国古代，数学文化璀璨夺目，其中就有不少蕴含乘方的运算.《易经》一书中记载，远古时期，人们还没有发明文字，通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，其用的是满七进一的计算方法.
具体如下：从右到左依次在绳子上打结，当在计数时达到了七个绳结时，向左进位一个结，原先的七个绳结解开.如图“结绳计数”的结果为8.
实践作业 完成“结绳计数”挑战，揭秘乘方运算，感受古人的智慧！
（1）如图所示，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是
517天
.（2）另一位母亲也想用满七进一的方式来记录孩子出生后的天数.现在她只记得自己的孩子出生60余6天，请你帮助她画出正确的打结方式.
（3）有一位母亲用满七进一的方式打结，总共打了13个结.如果她的孩子出生天数多于100天，不足200天，那么孩子可能出生多少天？
（4）小明、小强两位同学受“结绳计数”方法的启发，分别以满九进一和满七进一进行计数.他们发现，当表示10以上，且100以内的某些正整数时，两种方法打结的个数相同.请问这些数是
28
（写出一个即可）.答案
(1)$1×7^3+3×7^2+3×7+6×1=517$(天)
(2)
(3)出生的天数可能是139天、145天、181天、187天、193天共5种情况
$2×7^2+5×7^1+6×7^0=139$(天)
$2×7^2+6×7^1+5×7^0=145$(天)
$3×7^2+4×7^1+6×7^0=181$(天)
$3×7^2+5×7^1+5×7^0=187$(天)
$3×7^2+6×7^1+4×7^0=193$(天)
(4)28,29,30,31,32,33,34,54,55,99(写出一个即可)
解析
【分析】
这道题以传统“结绳计数”为背景，核心类比十进制的位值原理理解满七进一的规则，分步思考如下：
1. 第（1）问：满七进一和十进制规则类似，从右往左每根绳子的结数对应权重依次为$7^0、7^1、7^2、7^3……$，将每根绳的结数乘对应权重相加，即可得到总天数。
2. 第（2）问：先将总天数换算为七进制，用除7取余的方法得到各数位的数字，再从右往左对应绳子打对应数量的结即可。
3. 第（3）问：首先确定100~200之间的数对应七进制是三位数（$7^2=49$，$4×49=196＜200$，$5×49=245＞200$），设七进制三位分别为a（$7^2$位）、b（$7^1$位）、c（$7^0$位），满足：①总结数$a+b+c=13$；②每个数位最多6个结（满7进1）；③$100≤49a+7b+c≤200$，枚举符合条件的组合再换算为十进制即可。
4. 第（4）问：将10~99之间的数分别转换为九进制和七进制，计算两种进制下各位数字的和（即打结总个数），找到和相等的数即可。
【解析】
（1）由图可知从右往左四根绳子的结数分别为6、3、3、1，对应权重$7^0、7^1、7^2、7^3$，总天数为：
$1×7^3+3×7^2+3×7^1+6×7^0 = 343 + 147 + 21 + 6 = 517$（天）
（2）孩子出生总天数换算为七进制为66，即从右往左第一根绳打6个结，第二根绳打6个结，其余绳无结，打结方式为：
（3）设七进制下$7^2$位数字为a，$7^1$位为b，$7^0$位为c，根据条件：
当a=2时，$b+c=11$，b、c均≤6，符合条件的组合为(5,6)、(6,5)：
$2×7^2+5×7^1+6×7^0=139$天
$2×7^2+6×7^1+5×7^0=145$天
当a=3时，$b+c=10$，b、c均≤6，符合条件的组合为(4,6)、(5,5)、(6,4)：
$3×7^2+4×7^1+6×7^0=181$天
$3×7^2+5×7^1+5×7^0=187$天
$3×7^2+6×7^1+4×7^0=193$天
共5种可能的天数。
（4）例如28：转换为九进制为31，打结个数为$3+1=4$；转换为七进制为40，打结个数为$4+0=4$，满足要求，同理28、29、30、31、32、33、34、54、55、99均符合条件。
【答案】
(1) 517天
(2)
(3) 139天、145天、181天、187天、193天
(4) 28（答案不唯一，上述范围内任意一个均可）
【知识点】
乘方的应用；进制转换；位值原理
【点评】
本题将乘方运算和进制转换结合到传统结绳计数的实际场景中，既考查了对乘方意义的理解，也能让学生感受到古代劳动人民的智慧，提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这道题以传统“结绳计数”为背景，核心类比十进制的位值原理理解满七进一的规则，分步思考如下：
1. 第（1）问：满七进一和十进制规则类似，从右往左每根绳子的结数对应权重依次为$7^0、7^1、7^2、7^3……$，将每根绳的结数乘对应权重相加，即可得到总天数。
2. 第（2）问：先将总天数换算为七进制，用除7取余的方法得到各数位的数字，再从右往左对应绳子打对应数量的结即可。
3. 第（3）问：首先确定100~200之间的数对应七进制是三位数（$7^2=49$，$4×49=196＜200$，$5×49=245＞200$），设七进制三位分别为a（$7^2$位）、b（$7^1$位）、c（$7^0$位），满足：①总结数$a+b+c=13$；②每个数位最多6个结（满7进1）；③$100≤49a+7b+c≤200$，枚举符合条件的组合再换算为十进制即可。
4. 第（4）问：将10~99之间的数分别转换为九进制和七进制，计算两种进制下各位数字的和（即打结总个数），找到和相等的数即可。
【解析】
（1）由图可知从右往左四根绳子的结数分别为6、3、3、1，对应权重$7^0、7^1、7^2、7^3$，总天数为：
$1×7^3+3×7^2+3×7^1+6×7^0 = 343 + 147 + 21 + 6 = 517$（天）
（2）孩子出生总天数换算为七进制为66，即从右往左第一根绳打6个结，第二根绳打6个结，其余绳无结，打结方式为：
（3）设七进制下$7^2$位数字为a，$7^1$位为b，$7^0$位为c，根据条件：
当a=2时，$b+c=11$，b、c均≤6，符合条件的组合为(5,6)、(6,5)：
$2×7^2+5×7^1+6×7^0=139$天
$2×7^2+6×7^1+5×7^0=145$天
当a=3时，$b+c=10$，b、c均≤6，符合条件的组合为(4,6)、(5,5)、(6,4)：
$3×7^2+4×7^1+6×7^0=181$天
$3×7^2+5×7^1+5×7^0=187$天
$3×7^2+6×7^1+4×7^0=193$天
共5种可能的天数。
（4）例如28：转换为九进制为31，打结个数为$3+1=4$；转换为七进制为40，打结个数为$4+0=4$，满足要求，同理28、29、30、31、32、33、34、54、55、99均符合条件。
【答案】
(1) 517天
(2)
(3) 139天、145天、181天、187天、193天
(4) 28（答案不唯一，上述范围内任意一个均可）
【知识点】
乘方的应用；进制转换；位值原理
【点评】
本题将乘方运算和进制转换结合到传统结绳计数的实际场景中，既考查了对乘方意义的理解，也能让学生感受到古代劳动人民的智慧，提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
