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8. [2026邢台期末] 观察下列两个多项式相乘的运算过程.
根据你发现的规律,若$(x+a)·(x+b)=x^2 -7x +12$,则 (
A.$a=-3,b=-4$
B.$a=3,b=4$
C.$a=-3,b=4$
D.$a=3,b=-4$
根据你发现的规律,若$(x+a)·(x+b)=x^2 -7x +12$,则 (
A
)A.$a=-3,b=-4$
B.$a=3,b=4$
C.$a=-3,b=4$
D.$a=3,b=-4$
答案
根据题意,得$a + b = -7$,$ab = 12$. 结合选项,得a,b的值可能分别是-3,-4.
9. [2025盘锦期末]如图,有一个长为a、宽为b的长方形,其周长为14,面积为12,则$(a+1)(b+1)=$ (
A.19
B.20
C.26
D.27
B
)A.19
B.20
C.26
D.27
答案
根据题意,得$ab=12$,$2(a + b)=14$,$\therefore a + b =7$,$\therefore (a+1)(b+1)=ab + (a + b) + 1 = 12 +7 +1=20$.
10. [2026南阳宛城区期中]甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“$(x+15)(x-▲)$”时，得到了各不相同的结果. 甲的结果是$x^2 - 120x - 2025$，乙的结果是$x^2 + 120x - 2025$，丙的结果是$x^2 - 160x + 2025$，丁的结果是$x^2 + 160x + 2025$. 四位同学中只有1人计算正确，且“▲”表示正数，则结果正确的是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
$(x+15)(x- ▲ )=x^2 +15x - ▲ · x -15× ▲ =x^2 +(15 - ▲ )x -15× ▲. \because$“▲”表示正数,$\therefore -15× ▲ ＜0$,$\therefore -15× ▲ = -2025$,解得$▲=135$,$\therefore 15 - ▲ =15 -135 = -120$,$\therefore (x+15)(x- ▲ )=x^2 -120x -2025$.
11. 数形结合思想 [2026大连期末] 如图是一个长方形,给出下列四个多项式:①$(2a + b)(m + n)$;②$a(m + n) + b(m + n)$;③$m(2a + b) + n(2a + b)$;④$2am + 2an + bm + bn$. 其中能表示该长方形面积的是
①③④
.(填序号)答案
①③④
12. 规定新运算：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$. 例如$\begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}=3 × 6 -5 × 4=-2$, $\begin{vmatrix} x & y \\ 2 & 4 \end{vmatrix}=4x -2y$. 若$\begin{vmatrix} x+1 & x+3 \\ x-2 & x-1 \end{vmatrix}=0$, 则$x$的值为________.
答案
根据题意,得$(x+1)(x-1)-(x+3)(x-2)=(x^2 -x +x -1)-(x^2 -2x +3x -6)=x^2 -1 -x^2 -x +6=0$,解得$x=5$.
13. 新趋势·代数推理 对于任意的自然数$n$，$n(n+5)-(n-3)(n+2)$能否被6整除？
答案
解:$\because n(n+5)-(n-3)(n+2)=n^2 +5n -(n^2 -n -6)=n^2 +5n -n^2 +n +6=6n +6=6(n+1)$,
$\therefore$ 对于任意的自然数$n$,$n(n+5)-(n-3)(n+2)$能被6整除.
$\therefore$ 对于任意的自然数$n$,$n(n+5)-(n-3)(n+2)$能被6整除.
14. 新考法|运算能力 若一个正整数$ a $可以表示为$ a=(b + 2)(b - 3) $，其中$ b $为大于3的正整数，则称$ a $为“优雅数”，$ b $为$ a $的“优点”.例如:$ 14=(5 + 2)×(5 - 3)=7×2 $，称14为“优雅数”，5为14的“优点”.
(1)若$ b=8 $是一个“优雅数”的“优点”，则这个“优雅数”$ a= $
(2)$ m $的“优点”为$ p $，$ n $的“优点”为$ q $，若$ m - n=24 $，且$ p - q=1 $，求$ p $和$ q $的值.
(1)若$ b=8 $是一个“优雅数”的“优点”，则这个“优雅数”$ a= $
50
；(2)$ m $的“优点”为$ p $，$ n $的“优点”为$ q $，若$ m - n=24 $，且$ p - q=1 $，求$ p $和$ q $的值.
答案
(1)50
根据题意,得该“优雅数”为$(8+2)×(8-3)=50$.
(2)根据题意,得$m=(p+2)(p-3)=p^2 -p -6$,$n=(q+2)·(q-3)=q^2 -q -6$.
$\because m -n=24$,
$\therefore m -n = p^2 -p -6 -( q^2 -q -6 )=p^2 -p -q^2 +q=24$.
$\because p - q=1$,$\therefore p = q +1$,$\therefore (q+1)^2 -(q+1) - q^2 + q=24$,
$\therefore 2q=24$,$\therefore q=12$,$\therefore p=13$.
根据题意,得该“优雅数”为$(8+2)×(8-3)=50$.
(2)根据题意,得$m=(p+2)(p-3)=p^2 -p -6$,$n=(q+2)·(q-3)=q^2 -q -6$.
$\because m -n=24$,
$\therefore m -n = p^2 -p -6 -( q^2 -q -6 )=p^2 -p -q^2 +q=24$.
$\because p - q=1$,$\therefore p = q +1$,$\therefore (q+1)^2 -(q+1) - q^2 + q=24$,
$\therefore 2q=24$,$\therefore q=12$,$\therefore p=13$.
