1. 在平面直角坐标系中，已知直线$l$经过$A(\dfrac{1}{2},3)$和$B(3,-2)$两点，且与$x$轴、$y$轴分别相交于$C,D$两点.
(1)求直线$l$的函数表达式.
(2)①在$x$轴上找一点$P$，使得$|PA-PB|$的值最小，求点$P$的坐标；
②在$x$轴上找一点$Q$，使得$|QA-QB|$的值最大，求点$Q$的坐标.

1.(1) 设直线$l$的函数表达式为$y = kx + b$,
∵ 直线$l$经过$A(\dfrac{1}{2},3)$和$B(3,-2)$两点,
∴ $\begin{cases} \dfrac{1}{2}k + b = 3, \\ 3k + b = -2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k = -2, \\ b = 4, \end{cases}$
∴ 直线$l$的函数表达式为$y=-2x+4$.
(2)① 如图①,
∵ $|PA-PB| \ge 0$,
∴ 当$AP=BP$时, $|PA-PB|$最小, 故点$P$在线段$AB$的垂直平分线上, 作线段$AB$的垂直平分线交$x$轴于点$P$, 则点$P$即为所求, 设$P(x,0)$, 则$PA=PB$,
∴ $\sqrt{(x-\dfrac{1}{2})^2 + 3^2} = \sqrt{(x-3)^2 + 2^2}$, 解得 $x=\dfrac{3}{4}$, 故点$P$的坐标为$(\dfrac{3}{4},0)$.
② 如图②, 作点$B$关于$x$轴的对称点$B'$, 连结$AB'$并延长交$x$轴于点$Q$, 则点$Q$即为使$|QA-QB|$最大的点.
∵ $B(3,-2)$,
∴ $B'(3,2)$, 设直线$AB'$的表达式为$y=mx+n$, 把点$A$,$B'$的坐标代入, 得$\begin{cases} \dfrac{1}{2}m + n = 3, \\ 3m + n = 2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-\dfrac{2}{5}, \\ n=\dfrac{16}{5}, \end{cases}$
∴ 直线$AB'$的表达式为$y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{16}{5}$, 当$y=0$时, $x=8$,
∴ 点$Q$的坐标为$(8,0)$.

2. 如图①所示，直线$l:y=mx+5m$与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点.
(1)当$OA=OB$时，试确定直线l的函数表达式.
(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，连结OQ，过A，B两点分别作$AM ⊥ OQ$于M，$BN ⊥ OQ$于N，若$AM=4$，$MN=7$，求BN的长.
(3)如图③，当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰直角$△ OBF$和等腰直角$△ ABE$，连结EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围.

2.(1) 如图①,
∵ 直线$l:y=mx+5m$,
∴ $A(-5,0)$,$B(0,5m)$, 由$OA=OB$, 得$5m=5$,$m=1$,
∴ 直线$l$的函数表达式为$y=x+5$.

(2) 如图②, 易证$∠ OAM = ∠ BON$. 在$△ AMO$与$△ ONB$中,
$\begin{cases} ∠ OAM = ∠ BON, \\ ∠ AMO = ∠ BNO, \\ OA = OB, \end{cases}$
∴ $△ AMO ≌ △ ONB (\mathrm{AAS})$,
∴ $AM=ON=4$, $BN=OM$.
∵ $MN=7$,
∴ $OM=3$,
∴ $BN=OM=3$.

(3) $PB$的长为定值. 如图③, 作$EK ⊥ y$轴于点$K$,
∵ $△ ABE$为等腰直角三角形,
∴ $AB=BE$, $∠ ABE=90°$,
∴ $∠ EBK + ∠ ABO = 90°$.
∵ $∠ EBK + ∠ BEK = 90°$,
∴ $∠ ABO = ∠ BEK$.
在$△ AOB$ 和 $△ BKE$ 中, $\begin{cases} ∠ AOB = ∠ BKE, \\ ∠ ABO = ∠ BEK, \\ AB = BE, \end{cases}$
∴ $△ AOB ≌ △ BKE (\mathrm{AAS})$,
∴ $OA=BK$,$EK=OB$.
∵ $△ OBF$ 为等腰直角三角形,
∴ $OB=BF$,
∴ $EK=BF$. 在$△ EKP$ 和 $△ FBP$ 中,
$\begin{cases} ∠ KPE = ∠ BPF, \\ ∠ EKP = ∠ PBF, \\ EK = FB, \end{cases}$
∴ $△ EKP ≌ △ FBP (\mathrm{AAS})$,
∴ $PK=PB$,
∴ $PB=\dfrac{1}{2}BK=\dfrac{1}{2}OA=\dfrac{5}{2}$.