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1. 利用完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ 的特点可以解决很多数学问题. 下面给出两个例子:
例1. 分解因式:
$x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2x + 1 - 4 = (x + 1)^2 - 4 = (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) = (x + 3)(x - 1)$.
例2. 求代数式 $2x^2 - 4x - 6$ 的最小值:
$2x^2 - 4x - 6 = 2(x^2 - 2x) - 6$
$= 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 6$
$= 2[(x - 1)^2 - 1] - 6 = 2(x - 1)^2 - 8$.
因为 $2(x - 1)^2 ≥ 0$,
所以当 $x = 1$ 时, 代数式 $2x^2 - 4x - 6$ 有最小值, 最小值是 $-8$.
(1) 分解因式: $m^2 - 6m - 7$.
(2) 代数式 $-2x^2 - 8x + 5$ 有最
(3) 当 $x, y$ 为何值时, 多项式 $2x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20$ 有最小值? 并求出这个最小值.
例1. 分解因式:
$x^2 + 2x - 3 = x^2 + 2x + 1 - 4 = (x + 1)^2 - 4 = (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) = (x + 3)(x - 1)$.
例2. 求代数式 $2x^2 - 4x - 6$ 的最小值:
$2x^2 - 4x - 6 = 2(x^2 - 2x) - 6$
$= 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 6$
$= 2[(x - 1)^2 - 1] - 6 = 2(x - 1)^2 - 8$.
因为 $2(x - 1)^2 ≥ 0$,
所以当 $x = 1$ 时, 代数式 $2x^2 - 4x - 6$ 有最小值, 最小值是 $-8$.
(1) 分解因式: $m^2 - 6m - 7$.
(2) 代数式 $-2x^2 - 8x + 5$ 有最
大
值(填“大”或“小”).(3) 当 $x, y$ 为何值时, 多项式 $2x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20$ 有最小值? 并求出这个最小值.
答案
1.【解】(1)$m^2 -6m -7 = m^2 -6m +9 -9 -7 = (m-3)^2 -16 = (m-3+4)(m-3-4) = (m+1)(m-7)$.
(2)大 $-2x^2 -8x +5 = -2(x^2 +4x) +5 = -2(x^2 +4x +4 -4) +5 = -2(x+2)^2 +13$.
因为$-2(x+2)^2 ≤ 0$,
所以$-2(x+2)^2 +13 ≤ 13$,
所以当$x=-2$时,代数式$-2x^2 -8x +5$有最大值.
(3)$2x^2 + y^2 -8x +6y +20 = 2(x^2 -4x +4) + (y^2 +6y +9) -8 -9 +20 = 2(x-2)^2 + (y+3)^2 +3$.
因为$(x-2)^2 ≥ 0,(y+3)^2 ≥ 0$,
所以当$x=2,y=-3$时,原多项式有最小值,最小值为3.
(2)大 $-2x^2 -8x +5 = -2(x^2 +4x) +5 = -2(x^2 +4x +4 -4) +5 = -2(x+2)^2 +13$.
因为$-2(x+2)^2 ≤ 0$,
所以$-2(x+2)^2 +13 ≤ 13$,
所以当$x=-2$时,代数式$-2x^2 -8x +5$有最大值.
(3)$2x^2 + y^2 -8x +6y +20 = 2(x^2 -4x +4) + (y^2 +6y +9) -8 -9 +20 = 2(x-2)^2 + (y+3)^2 +3$.
因为$(x-2)^2 ≥ 0,(y+3)^2 ≥ 0$,
所以当$x=2,y=-3$时,原多项式有最小值,最小值为3.
2. 阅读以下材料.
分解因式:$(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$.
解:将“$x+y$”看成整体,令$x+y=A$,则
原式$=A^2 + 2A +1=(A+1)^2$.
再将“$A$”还原,得原式$=(x+y+1)^2$.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)分解因式:$(x-y)^2 -2(x-y)+1=$
(2)分解因式:$(a^2 -4a +2)(a^2 -4a +6)+4$;
(3)求证:无论$n$为何值,式子$(n^2 -2n -3)(n^2 -2n +5)+17$的值一定是一个不小于1的数.
分解因式:$(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$.
解:将“$x+y$”看成整体,令$x+y=A$,则
原式$=A^2 + 2A +1=(A+1)^2$.
再将“$A$”还原,得原式$=(x+y+1)^2$.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)分解因式:$(x-y)^2 -2(x-y)+1=$
$(x-y-1)^2$
;(2)分解因式:$(a^2 -4a +2)(a^2 -4a +6)+4$;
(3)求证:无论$n$为何值,式子$(n^2 -2n -3)(n^2 -2n +5)+17$的值一定是一个不小于1的数.
答案
2.【解】(1)$(x-y-1)^2$ 令$x-y=B$,
则原式$=B^2 -2B +1=(B-1)^2$,
将“B”还原,得原式$=(x-y-1)^2$.
(2)令$a^2 -4a = C$,则原式$=(C+2)(C+6)+4=C^2 +8C +12 +4=(C+4)^2$,将“C”还原,得原式$=(a^2 -4a +4)^2=(a-2)^4$.
(3)证明:令$n^2 -2n = D$,则原式$=(D-3)(D+5)+17=D^2 +2D -15 +17=D^2 +2D +2=(D+1)^2 +1$,将“D”还原,得原式$=(n^2 -2n +1)^2 +1=(n-1)^4 +1$,因为无论$n$为何值,$(n-1)^4 ≥ 0$,所以$(n-1)^4 +1 ≥ 1$,即式子$(n^2 -2n -3)(n^2 -2n +5)+17$的值一定是一个不小于1的数.
则原式$=B^2 -2B +1=(B-1)^2$,
将“B”还原,得原式$=(x-y-1)^2$.
(2)令$a^2 -4a = C$,则原式$=(C+2)(C+6)+4=C^2 +8C +12 +4=(C+4)^2$,将“C”还原,得原式$=(a^2 -4a +4)^2=(a-2)^4$.
(3)证明:令$n^2 -2n = D$,则原式$=(D-3)(D+5)+17=D^2 +2D -15 +17=D^2 +2D +2=(D+1)^2 +1$,将“D”还原,得原式$=(n^2 -2n +1)^2 +1=(n-1)^4 +1$,因为无论$n$为何值,$(n-1)^4 ≥ 0$,所以$(n-1)^4 +1 ≥ 1$,即式子$(n^2 -2n -3)(n^2 -2n +5)+17$的值一定是一个不小于1的数.
