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问题 已知正六边形 $ABCDEF$ 的半径为 $R$,求这个正六边形的边长 $a_{6}$、周长 $C_{6}$ 和面积 $S_{6}$.
名师指导
正多边形的有关计算的关键是构造直角三角形,正六边形的边长等于它的半径.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：
名师指导
正多边形的有关计算的关键是构造直角三角形,正六边形的边长等于它的半径.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案
解：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G。
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为R，
∴OA=OB=R，∠AOB=360°/6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴边长a₆=AB=OA=R。
周长C₆=6a₆=6R。
在Rt△AOG中，OA=R，∠AOG=30°，
∴AG=OA·sin30°=R·1/2=R/2，
OG=OA·cos30°=R·√3/2=√3R/2，
∴AB=2AG=R，
S△AOB=1/2·AB·OG=1/2·R·√3R/2=√3R²/4，
∴面积S₆=6S△AOB=6×√3R²/4=3√3R²/2。
综上，a₆=R，C₆=6R，S₆=3√3R²/2。
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为R，
∴OA=OB=R，∠AOB=360°/6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴边长a₆=AB=OA=R。
周长C₆=6a₆=6R。
在Rt△AOG中，OA=R，∠AOG=30°，
∴AG=OA·sin30°=R·1/2=R/2，
OG=OA·cos30°=R·√3/2=√3R/2，
∴AB=2AG=R，
S△AOB=1/2·AB·OG=1/2·R·√3R/2=√3R²/4，
∴面积S₆=6S△AOB=6×√3R²/4=3√3R²/2。
综上，a₆=R，C₆=6R，S₆=3√3R²/2。
1. 边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起,则 $\angle ABO$ 的度数为 ( )
A.$24^{\circ}$
B.$48^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$72^{\circ}$
A.$24^{\circ}$
B.$48^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$72^{\circ}$
答案
A
解析
解：正五边形内角和为$(5 - 2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，每个内角为$540^{\circ}÷5 = 108^{\circ}$；正六边形内角和为$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$，每个内角为$720^{\circ}÷6 = 120^{\circ}$。
在点$O$处，$\angle AOB = 360^{\circ}-108^{\circ}-120^{\circ}=132^{\circ}$。
因为正五边形与正六边形边长相等，即$AO = BO$，所以$\triangle AOB$为等腰三角形。
$\angle ABO=(180^{\circ}-132^{\circ})÷2 = 24^{\circ}$。
A
在点$O$处，$\angle AOB = 360^{\circ}-108^{\circ}-120^{\circ}=132^{\circ}$。
因为正五边形与正六边形边长相等，即$AO = BO$，所以$\triangle AOB$为等腰三角形。
$\angle ABO=(180^{\circ}-132^{\circ})÷2 = 24^{\circ}$。
A
2. 以半径为 $2$ 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形,则该三角形的面积是 ( )
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
A
解析
设圆的半径为$R = 2$。
内接正三角形边心距$r_3 = R\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$；
内接正方形边心距$r_4 = R\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$；
内接正六边形边心距$r_6 = R\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
三边长为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$。因为$1^2+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2$，所以该三角形为直角三角形，面积$S=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
A
内接正三角形边心距$r_3 = R\cos60°=2×\frac{1}{2}=1$；
内接正方形边心距$r_4 = R\cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$；
内接正六边形边心距$r_6 = R\cos30°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
三边长为$1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$。因为$1^2+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{3})^2$，所以该三角形为直角三角形，面积$S=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
A
3. 如图,在 $\odot O$ 中,$OA = AB$,$OC \perp AB$,则下列结论错误的是 ( )
A.弦 $AB$ 的长等于圆内接正六边形的边长
B.弦 $AC$ 的长等于圆内接正十二边形的边长
C.$\overgroup{AC}= \overgroup{BC}$
D.$\angle BAC = 30^{\circ}$
A.弦 $AB$ 的长等于圆内接正六边形的边长
B.弦 $AC$ 的长等于圆内接正十二边形的边长
C.$\overgroup{AC}= \overgroup{BC}$
D.$\angle BAC = 30^{\circ}$
答案
D
4. 一个正四边形的对角线为 $2\sqrt{2}$,则该四边形外接圆的半径为.
答案
$\sqrt{2}$.
解析
正四边形即正方形，其对角线长为$2\sqrt{2}$。正方形的对角线是其外接圆的直径，所以外接圆直径为$2\sqrt{2}$，则半径为$\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}$
$\sqrt{2}$
5. 第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素.如图,这个图案绕着它的中心旋转角 $\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 360^{\circ})$ 后能够与它本身重合,则角 $\alpha$ 可以为 度.(写出一个即可)
答案
60或120或180或240或300(写出一个即可).
