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11. 学校组织学生乘汽车去自然保护区野营,前$\frac{1}{3}$路段为平路,其余路段为坡路,已知汽车在平路上行驶的速度为60km/h,在坡路上行驶的速度为30km/h. 汽车从学校到自然保护区一共行驶了6.5h,求汽车在平路和坡路上各行驶多长时间.
答案
设汽车在平路上行驶的时间为$ t $小时，则在坡路上行驶的时间为$ (6.5 - t) $小时，设总路程为$ s $千米。
平路路程为$ \frac{1}{3}s $，根据路程=速度×时间，得：$ \frac{1}{3}s = 60t $，即$ s = 180t $。
坡路路程为$ \frac{2}{3}s $，同理得：$ \frac{2}{3}s = 30(6.5 - t) $。
将$ s = 180t $代入$ \frac{2}{3}s = 30(6.5 - t) $，得：$ \frac{2}{3} × 180t = 30(6.5 - t) $。
化简：$ 120t = 195 - 30t $。
移项合并：$ 150t = 195 $，解得$ t = 1.3 $。
坡路行驶时间：$ 6.5 - 1.3 = 5.2 $（小时）。
答：汽车在平路上行驶1.3小时，在坡路上行驶5.2小时。
平路路程为$ \frac{1}{3}s $，根据路程=速度×时间，得：$ \frac{1}{3}s = 60t $，即$ s = 180t $。
坡路路程为$ \frac{2}{3}s $，同理得：$ \frac{2}{3}s = 30(6.5 - t) $。
将$ s = 180t $代入$ \frac{2}{3}s = 30(6.5 - t) $，得：$ \frac{2}{3} × 180t = 30(6.5 - t) $。
化简：$ 120t = 195 - 30t $。
移项合并：$ 150t = 195 $，解得$ t = 1.3 $。
坡路行驶时间：$ 6.5 - 1.3 = 5.2 $（小时）。
答：汽车在平路上行驶1.3小时，在坡路上行驶5.2小时。
12. 如图,直线l：y = -$\frac{3}{4}$x + 3与x轴、y轴分别交于点A,B,OM⊥AB于点M,点P为直线l上不与点A,B重合的一个动点.
(1) 求线段OM的长；
(2) 当△BOP的面积为6时,求点P的坐标.
(1) 求线段OM的长；
(2) 当△BOP的面积为6时,求点P的坐标.
答案
(1)对于直线$l:y = - \frac{3}{4}x + 3$，
当$x = 0$时，$y = 3$，所以$B(0,3)$；
当$y = 0$时，$x = 4$，所以$A(4,0)$。
由勾股定理，$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$。
因为$OM \perp AB$，
所以由直角三角形的面积公式，有$\frac{1}{2} × AB × OM = \frac{1}{2} × OA × OB$，
即$\frac{1}{2} × 5 × OM = \frac{1}{2} × 4 × 3$，
解得$OM = \frac{12}{5}$。
(2)设点$P$的坐标为$(x, - \frac{3}{4}x + 3)$。
因为$B(0,3)$，
所以$OB = 3$。
三角形$BOP$的面积可以表示为$\frac{1}{2} × OB × |x|$。
根据题意，$\frac{1}{2} × 3 × |x| = 6$，
解得$x = \pm 4$。
当$x = 4$时，$y = - \frac{3}{4} × 4 + 3 = 0$，此时点$P$与点$A$重合，不符合题意，舍去。
当$x = -4$时，$y = - \frac{3}{4} × (-4) + 3 = 6$，
所以点$P$的坐标为$(-4,6)$。
另外，当点$P$在$y$轴左侧且$y$坐标为$0$时（即与$x$轴交点），此时$x=4$（舍去，与A重合）或考虑$P$在B上方、$x$为正但$y$不为$0$的另一种情况（由直线方程知，当$x=0$时$y=3$为B点，而$x$增大时$y$减小，所以不存在其他$x$为正且$y$不为$0$使面积为$6$的情况），或考虑三角形另一种构成方式（即$OP$为底时，但计算更复杂且不符合题意），经分析只有上述一种符合情况的$P$点。
但为全面考虑，若$P$在$B$点上方且$x$为负，由直线方程知$y$会大于$3$，此时若以$OB$为底，则高为$|x|$的绝对值（$x$为负），由面积公式同样可得$x=-4$，$y=6$。
综上，点$P$的坐标为$(-4,6)$。
当$x = 0$时，$y = 3$，所以$B(0,3)$；
当$y = 0$时，$x = 4$，所以$A(4,0)$。
由勾股定理，$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$。
因为$OM \perp AB$，
所以由直角三角形的面积公式，有$\frac{1}{2} × AB × OM = \frac{1}{2} × OA × OB$，
即$\frac{1}{2} × 5 × OM = \frac{1}{2} × 4 × 3$，
解得$OM = \frac{12}{5}$。
(2)设点$P$的坐标为$(x, - \frac{3}{4}x + 3)$。
因为$B(0,3)$，
所以$OB = 3$。
三角形$BOP$的面积可以表示为$\frac{1}{2} × OB × |x|$。
根据题意，$\frac{1}{2} × 3 × |x| = 6$，
解得$x = \pm 4$。
当$x = 4$时，$y = - \frac{3}{4} × 4 + 3 = 0$，此时点$P$与点$A$重合，不符合题意，舍去。
当$x = -4$时，$y = - \frac{3}{4} × (-4) + 3 = 6$，
所以点$P$的坐标为$(-4,6)$。
另外，当点$P$在$y$轴左侧且$y$坐标为$0$时（即与$x$轴交点），此时$x=4$（舍去，与A重合）或考虑$P$在B上方、$x$为正但$y$不为$0$的另一种情况（由直线方程知，当$x=0$时$y=3$为B点，而$x$增大时$y$减小，所以不存在其他$x$为正且$y$不为$0$使面积为$6$的情况），或考虑三角形另一种构成方式（即$OP$为底时，但计算更复杂且不符合题意），经分析只有上述一种符合情况的$P$点。
但为全面考虑，若$P$在$B$点上方且$x$为负，由直线方程知$y$会大于$3$，此时若以$OB$为底，则高为$|x|$的绝对值（$x$为负），由面积公式同样可得$x=-4$，$y=6$。
综上，点$P$的坐标为$(-4,6)$。
13. 已知x = $\sqrt{3}$ + 1,则代数式(x + 1)$^2$ - 4(x + 1) + 4的值是
3
.答案
3
解析
首先对代数式进行化简，原式为$(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4$，可以将其看作关于$x+1$的二次表达式，设$y=x+1$，则表达式变为：
$y^2 - 4y + 4$，
这可以进一步因式分解为：
$(y - 2)^2$，
再将$y$替换回$x+1$，得到：
$(x+1 - 2)^2 = (x - 1)^2$，
现在，代入给定的$x$值，即$x = \sqrt{3} + 1$，得到：
$(\sqrt{3} + 1 - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$。
$y^2 - 4y + 4$，
这可以进一步因式分解为：
$(y - 2)^2$，
再将$y$替换回$x+1$，得到：
$(x+1 - 2)^2 = (x - 1)^2$，
现在，代入给定的$x$值，即$x = \sqrt{3} + 1$，得到：
$(\sqrt{3} + 1 - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$。
14. 直线y = -$\frac{4}{3}$x + 4与x轴、y轴分别交于点A,B,M是y轴上一点,若将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上,则点M的坐标为
(0, 3/2)或(0,-6)
.答案
(0, 3/2)或(0,-6)
解析
1. 求A、B坐标：
令y=0，得x=3，∴A(3,0)；令x=0，得y=4，∴B(0,4)。
2. 设M(0,m)，折叠后B落在x轴上B'(n,0)，由折叠性质得AB=AB'，BM=B'M。
3. 计算AB：AB=√[(3-0)²+(0-4)²]=5，∴AB'=5。
A(3,0)，B'(n,0)，则|n-3|=5，解得n=8或n=-2，即B'(8,0)或(-2,0)。
4. 由BM=B'M列方程：
BM=|m-4|，B'M=√(n²+m²)，平方得(m-4)²=n²+m²，化简得n²=-8m+16。
5. 分情况求解：
当B'(8,0)时，n=8，代入n²=-8m+16得64=-8m+16，解得m=-6；
当B'(-2,0)时，n=-2，代入n²=-8m+16得4=-8m+16，解得m=3/2。
6. 综上，M坐标为(0, 3/2)或(0,-6)。
