6.(2024 河南，18)如图，矩形 $ ABCD $ 的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线 $ AC,BD $ 相交于点 $ E $，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ A $.
(1) 求这个反比例函数的表达式；
(2) 请先描出这个反比例函数图象上不同于点 $ A $ 的三个格点，再画出反比例函数的图象；
(3) 将矩形 $ ABCD $ 向左平移，当点 $ E $ 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为
(1) 求这个反比例函数的表达式；
(2) 请先描出这个反比例函数图象上不同于点 $ A $ 的三个格点，再画出反比例函数的图象；
(3) 将矩形 $ ABCD $ 向左平移，当点 $ E $ 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为
$\frac{9}{2}$
.答案
解$:(1) $由图可知点$A$坐标为$(3,2)，$
将$A(3,2)$代入$y=k/x，$得$k=3×2=6，$
故反比例函数表达式为$y=6/x。$
$(2)$如图
$(3) \frac{9}{2}$
解析
7.(2025 三门峡模拟)如图，点 $ A $ 在双曲线 $ y = \frac{2}{x}(x ＞ 0) $ 上，点 $ B $ 在双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 上，$ AB // x $ 轴，$ C $ 是 $ x $ 轴上一点，连接 $ AC,BC $，若 $ \triangle ABC $ 的面积是 $ 7 $，则 $ k $ 的值是(
A.$ -6 $
B.$ 10 $
C.$ -10 $
D.$ -12 $
D
)A.$ -6 $
B.$ 10 $
C.$ -10 $
D.$ -12 $
答案
D
解析
1. 设$A$点坐标为$(a,\frac{2}{a})$（$a\gt0$）：
因为$AB// x$轴，所以$B$点纵坐标与$A$点纵坐标相同，把$y = \frac{2}{a}$代入$y=\frac{k}{x}(x\lt0)$，可得$x=\frac{ka}{2}$，则$B$点坐标为$(\frac{ka}{2},\frac{2}{a})$。
那么$AB$的长度为$a-\frac{ka}{2}$。
2. 计算$\triangle ABC$的面积：
已知$\triangle ABC$的高就是$A$（或$B$）点的纵坐标$\frac{2}{a}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$\triangle ABC$的面积$S = \frac{1}{2}(a-\frac{ka}{2})×\frac{2}{a}$。
又因为$\triangle ABC$的面积是$7$，所以$\frac{1}{2}(a-\frac{ka}{2})×\frac{2}{a}=7$。
化简$\frac{1}{2}(a - \frac{ka}{2})×\frac{2}{a}$：
先展开$\frac{1}{2}(a-\frac{ka}{2})×\frac{2}{a}=\frac{1}{2}×\frac{2}{a}(a-\frac{ka}{2})$。
根据乘法分配律$\frac{1}{2}×\frac{2}{a}(a-\frac{ka}{2})=\frac{1}{a}× a-\frac{1}{a}×\frac{ka}{2}$。
进一步计算得$1-\frac{k}{2}$。
则$1-\frac{k}{2}=7$。
移项可得$-\frac{k}{2}=7 - 1$。
即$-\frac{k}{2}=6$。
解得$k=-12$。
所以$k$的值是$-12$，答案是D。
因为$AB// x$轴，所以$B$点纵坐标与$A$点纵坐标相同，把$y = \frac{2}{a}$代入$y=\frac{k}{x}(x\lt0)$，可得$x=\frac{ka}{2}$，则$B$点坐标为$(\frac{ka}{2},\frac{2}{a})$。
那么$AB$的长度为$a-\frac{ka}{2}$。
2. 计算$\triangle ABC$的面积：
已知$\triangle ABC$的高就是$A$（或$B$）点的纵坐标$\frac{2}{a}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$\triangle ABC$的面积$S = \frac{1}{2}(a-\frac{ka}{2})×\frac{2}{a}$。
又因为$\triangle ABC$的面积是$7$，所以$\frac{1}{2}(a-\frac{ka}{2})×\frac{2}{a}=7$。
化简$\frac{1}{2}(a - \frac{ka}{2})×\frac{2}{a}$：
先展开$\frac{1}{2}(a-\frac{ka}{2})×\frac{2}{a}=\frac{1}{2}×\frac{2}{a}(a-\frac{ka}{2})$。
根据乘法分配律$\frac{1}{2}×\frac{2}{a}(a-\frac{ka}{2})=\frac{1}{a}× a-\frac{1}{a}×\frac{ka}{2}$。
进一步计算得$1-\frac{k}{2}$。
则$1-\frac{k}{2}=7$。
移项可得$-\frac{k}{2}=7 - 1$。
即$-\frac{k}{2}=6$。
解得$k=-12$。
所以$k$的值是$-12$，答案是D。
8.(2025 洛阳模拟)如图，已知 $ P,Q $ 分别是反比例函数 $ y = \frac{k_1}{x} $ 与 $ y = \frac{k_2}{x} $ 图象上的点，且 $ PQ // x $ 轴，点 $ P $ 的坐标为 $ (-\frac{3}{2},2) $，分别过点 $ P,Q $ 作 $ PM ⊥ x $ 轴于点 $ M $，$ QN ⊥ x $ 轴于点 $ N $. 若四边形 $ PMNQ $ 的面积为 $ 2 $，则 $ k_2 $ 的值为(
A.$ 5 $
B.$ -5 $
C.$ 1 $
D.$ -1 $
D
)A.$ 5 $
B.$ -5 $
C.$ 1 $
D.$ -1 $
答案
D
解析
∵点P(-3/2,2)在y=k₁/x上，∴2=k₁/(-3/2)，解得k₁=-3。
∵PQ//x轴，∴Q点纵坐标为2，设Q(a,2)。
∵Q在y=k₂/x上，∴2=k₂/a，即k₂=2a。
PM⊥x轴，QN⊥x轴，∴M(-3/2,0)，N(a,0)。
四边形PMNQ为矩形，面积=|a - (-3/2)|×2=2，即|a + 3/2|=1。
∵P在第二象限，若Q在第二象限，则a ＜ 0，a + 3/2=1（a=-1/2），符合。
∴Q(-1/2,2)，代入y=k₂/x得2=k₂/(-1/2)，k₂=-1。
∵PQ//x轴，∴Q点纵坐标为2，设Q(a,2)。
∵Q在y=k₂/x上，∴2=k₂/a，即k₂=2a。
PM⊥x轴，QN⊥x轴，∴M(-3/2,0)，N(a,0)。
四边形PMNQ为矩形，面积=|a - (-3/2)|×2=2，即|a + 3/2|=1。
∵P在第二象限，若Q在第二象限，则a ＜ 0，a + 3/2=1（a=-1/2），符合。
∴Q(-1/2,2)，代入y=k₂/x得2=k₂/(-1/2)，k₂=-1。
9.（2023 河南，19）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 图象上的点 $ A(\sqrt{3},1) $ 和点 $ B $ 为顶点，分别作菱形 $ AOCD $ 和菱形 $ OBEF $，点 $ D,E $ 在 $ x $ 轴上，以点 $ O $ 为圆心，$ OA $ 长为半径作 $ \overset{\frown}{AC} $，连接 $ BF $.
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 求扇形 $ AOC $ 的半径及圆心角的度数；
(3) 请直接写出图中阴影部分面积之和.
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 求扇形 $ AOC $ 的半径及圆心角的度数；
(3) 请直接写出图中阴影部分面积之和.
答案
(1)√3；(2)半径2，圆心角60°；(3)2π/3
解析
(1) 点A(√3,1)在y=k/x上，故k=√3×1=√3。
(2) 半径OA=√[(√3)²+1²]=2；AOCD为菱形，OA=AD，D在x轴，由A(√3,1)得∠AOD=30°，故∠AOC=60°。
(3) 阴影部分面积之和为扇形AOC面积，即(60/360)×π×2²=2π/3。
(2) 半径OA=√[(√3)²+1²]=2；AOCD为菱形，OA=AD，D在x轴，由A(√3,1)得∠AOD=30°，故∠AOC=60°。
(3) 阴影部分面积之和为扇形AOC面积，即(60/360)×π×2²=2π/3。
