1. (人教八下 P69) 如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 是边 $BC$ 的中点，$\angle AEF = 90^{\circ}$，且 $EF$ 交正方形外角的平分线 $CF$ 于点 $F$。求证：$AE = EF$。(提示：取 $AB$ 的中点 $G$，连接 $EG$。)

证明：取AB的中点G，连接EG。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，∠DCB的外角为90°。
∵E是BC中点，G是AB中点，
∴AG=GB=BE=EC。
∴△GBE是等腰直角三角形，∠BGE=45°，
∴∠AGE=180°-∠BGE=135°。
∵CF平分正方形外角，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF。
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°。
∵∠AEB+∠BAE=90°（直角三角形ABE中两锐角互余），
∴∠BAE=∠FEC，即∠GAE=∠CEF。
在△AGE和△ECF中，
∠GAE=∠CEF，
AG=EC，
∠AGE=∠ECF，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF。

2. (1) 如图 1，四边形 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 是边 $BC$ 上的任意一点(除点 $B$，$C$ 外)，$\angle AEF = 90^{\circ}$，且 $EF$ 交正方形外角的平分线 $CF$ 于点 $F$，则 $AE$ 与 $EF$ 之间的数量关系为；

变式探究
(2) 如图 2，如果把“点 $E$ 是边 $BC$ 上的任意一点(除点 $B$，$C$ 外)”改为“点 $E$ 是 $BC$ 延长线上的任意一点”，其他条件不变，判断 (1) 中的结论是否仍然成立，并说明理由；

(1) AE=EF
(2) 结论仍然成立。理由如下：
在BA的延长线上截取AM=CE，连接ME。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°。
∵AM=CE，
∴BM=AB+AM=BC+CE=BE，
∴△BME是等腰直角三角形，∠BME=45°，
∴∠AME=180°-∠BME=135°。
∵CF是正方形外角平分线，∠DCG=90°，
∴∠FCG=45°，
∴∠ECF=180°-∠FCG=135°，
∴∠AME=∠ECF。
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°。又∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC。
在△AME和△ECF中，∠MAE=∠CEF，AM=EC，∠AME=∠ECF，
∴△AME≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF。

(3) 如图 3，当四边形 $ABCD$ 是矩形，且 $AB = 2AD$ 时，点 $E$ 是边 $BC$ 上的任意一点（不与 $B$，$C$ 重合），$\angle AEF = 90^{\circ}$，且 $AE = 2EF$，连接 $CF$，求 $\tan \angle FCP$ 的值。

1. 过点$F$作$FG⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$G$：
因为$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle AEF = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle AEB = 90^{\circ}$，$\angle AEB+\angle FEG = 90^{\circ}$。
根据同角的余角相等，可得$\angle BAE=\angle GEF$。
又因为$\angle B=\angle G = 90^{\circ}$，所以$\triangle ABE∼\triangle EGF$。
2. 由相似三角形的性质：
已知$AE = 2EF$，$AB = 2AD$，设$AD = a$，则$AB = 2a$，$BC = AD = a$。
因为$\triangle ABE∼\triangle EGF$，且$\frac{AE}{EF}=2$，所以$\frac{AB}{EG}=\frac{BE}{FG}=\frac{AE}{EF}=2$。
设$BE = x$，则$FG=\frac{1}{2}x$，$EG = a$。
那么$CG=EG - EC=a-(a - x)=x$。
3. 求$\tan\angle FCP$的值：
在$Rt\triangle FGC$中，$\tan\angle FCP=\frac{FG}{CG}$。
把$FG=\frac{1}{2}x$，$CG = x$代入可得$\tan\angle FCP=\frac{1}{2}$。
所以$\tan\angle FCP$的值为$\frac{1}{2}$。