1. (2025河南,22)在二次函数$y = ax^{2}+bx - 2$中,x与y的几组对应值如表所示.

(1)求二次函数的表达式.
(2)求二次函数图象的顶点坐标,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后,当$0≤x≤3$时,若图象对应的函数最大值与最小值的差为5,请直接写出n的值.

解$:(1) $将$x=-2,y=-2$和$x=1,y=1$代入$y=ax²+bx-2，$得：　　
$\begin{cases}4a-2b-2=-2 \\a+b-2=1\end{cases}$　　
化简得：　　
$\begin{cases}2a-b=0 \\a+b=3\end{cases}$　　
解得$a=1,b=2，$∴表达式为$y=x²+2x-2。$　　
$(2) $∵$y=x²+2x-2=(x+1)²-3，$　　
∴顶点坐标$(-1,-3)。$　　

$(3) $平移后函数为$y=(x-n+1)²-3，$对称轴$x=n-1。$　　
分情况讨论：　　
当$1＜n＜2.5$时，$(4-n)²=5，$得$n=4-\sqrt{5}；$　　
当$2.5＜n＜4$时，$(n-1)²=5，$得$n=1+\sqrt{5}。$　　

2. (2025周口三模)【定义与性质】
如图,记二次函数$y = a(x - b)^{2}+c$和$y = -a(x - p)^{2}+q(a≠0)$的图象分别为抛物线C和$C_{1}$.定义:若抛物线$C_{1}$的顶点$Q(p,q)$在抛物线C上,则称$C_{1}$是C的伴随抛物线.
性质:①一条抛物线有无数条伴随抛物线;
②若$C_{1}$是C的伴随抛物线,则C也是$C_{1}$的伴随抛物线,即C的顶点$P(b,c)$在$C_{1}$上.
【理解与运用】
(1)若二次函数$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^{2}+m$和$y = -\frac{1}{2}(x - n)^{2}+\frac{1}{2}$的图象都是抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}$的伴随抛物线,则$m=$,$n=$.
【思考与探究】
(2)设函数$y = x^{2}-2kx + 4k + 5$的图象为抛物线$C_{2}$.
①若函数$y = -x^{2}+dx + e$的图象为抛物线$C_{0}$,且$C_{2}$始终是$C_{0}$的伴随抛物线,求d,e的值;
②若抛物线$C_{2}$与x轴有两个不同的交点$(x_{1},0),(x_{2},0)(x_{1} ＜ x_{2})$,请直接写出$x_{1}$的取值范围.

(1)2；±1 (2)①4,5 ②$x_1＜-1$或$2＜x_1＜5$

(1) 抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$。对于$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+m$，其顶点$(2,m)$在$y=\frac{1}{2}x^2$上，代入得$m=\frac{1}{2}×2^2=2$。对于$y=-\frac{1}{2}(x-n)^2+\frac{1}{2}$，其顶点$(n,\frac{1}{2})$在$y=\frac{1}{2}x^2$上，代入得$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n^2$，解得$n=\pm1$。
(2) ① $C_2:y=x^2-2kx+4k+5=(x-k)^2+(-k^2+4k+5)$，顶点为$(k,-k^2+4k+5)$。$C_0:y=-x^2+dx+e$，因$C_2$是$C_0$的伴随抛物线，故顶点$(k,-k^2+4k+5)$在$C_0$上，代入得$-k^2+4k+5=-k^2+dk+e$，整理得$4k+5=dk+e$，对任意$k$成立，故$d=4$，$e=5$。
② $C_2$与$x$轴有两不同交点，判别式$\Delta=4k^2-4(4k+5)=4(k^2-4k-5)＞0$，解得$k＞5$或$k＜-1$。方程$x^2-2kx+4k+5=0$的小根$x_1=k-\sqrt{k^2-4k-5}$。当$k＞5$时，$x_1\in(2,5)$；当$k＜-1$时，$x_1\in(-\infty,-1)$。综上，$x_1＜-1$或$2＜x_1＜5$。