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11. （10分）（1）若$x - y = 3$，$xy = 2$，求$x^2 + y^2$的值；
（2）若$a$满足$(4 - a)^2 + (a + 3)^2 = 7$，求$(4 - a)(a + 3)$的值。
（2）若$a$满足$(4 - a)^2 + (a + 3)^2 = 7$，求$(4 - a)(a + 3)$的值。
答案
11. 解：(1) 因为 $ x - y = 3 $，$ x y = 2 $，
所以 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = ( x - y ) ^ { 2 } + 2 x y = 3 ^ { 2 } + 2 × 2 = 9 + 4 = 13 $。
(2) 设 $ 4 - a = m $，$ a + 3 = n $，则 $ m + n = 7 $。
因为 $ ( 4 - a ) ^ { 2 } + ( a + 3 ) ^ { 2 } = 7 $，
所以 $ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 7 $，
所以 $ ( m + n ) ^ { 2 } - 2 m n = 7 $，即 $ 7 ^ { 2 } - 2 m n = 7 $，
解得 $ m n = 21 $，
所以 $ ( 4 - a ) ( a + 3 ) $ 的值是 21。
所以 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = ( x - y ) ^ { 2 } + 2 x y = 3 ^ { 2 } + 2 × 2 = 9 + 4 = 13 $。
(2) 设 $ 4 - a = m $，$ a + 3 = n $，则 $ m + n = 7 $。
因为 $ ( 4 - a ) ^ { 2 } + ( a + 3 ) ^ { 2 } = 7 $，
所以 $ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 7 $，
所以 $ ( m + n ) ^ { 2 } - 2 m n = 7 $，即 $ 7 ^ { 2 } - 2 m n = 7 $，
解得 $ m n = 21 $，
所以 $ ( 4 - a ) ( a + 3 ) $ 的值是 21。
12. （14分）（2025·溧阳月考）如图，边长为$a$的正方形$ABCD$和边长为$b(a ＞ b)$的正方形$CEFG$拼在一起，$B$，$C$，$E$三点在同一条直线上，设图中阴影部分的面积为$S$。
（1）如图①，$S$的值与$a$的大小有关吗？说明理由。
（2）如图②，若$a - b = 2$，$a^2 + b^2 = 10$，求$S$的值。
（1）如图①，$S$的值与$a$的大小有关吗？说明理由。
（2）如图②，若$a - b = 2$，$a^2 + b^2 = 10$，求$S$的值。
答案
12. 解：(1) $ S $ 的值与 $ a $ 的大小无关。理由如下：
因为正方形 $ A B C D $ 的边长为 $ a $，正方形 $ C E F G $ 的边长为 $ b $，
所以 $ A B = B C = a $，$ C G = C E = b $，
所以 $ B E = B C + C E = a + b $，
所以 $ S _ { \mathrm{ 梯形 } A B C G } = \frac { 1 } { 2 } a ( a + b ) $，$ S _ { △ C E G } = \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } $，
$ S _ { △ A B E } = \frac { 1 } { 2 } a ( a + b ) $。
因为 $ S = S _ { \mathrm{ 梯形 } A B C G } + S _ { △ C E G } - S _ { △ A B E } $，
所以 $ S = \frac { 1 } { 2 } a ( a + b ) + \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } a ( a + b ) = \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } $，
所以 $ S $ 的值与 $ a $ 的大小无关。
(2) 依题意，得 $ A D = a $，$ D G = a - b $，$ G F = b $，
所以 $ S _ { △ A D G } = \frac { 1 } { 2 } a ( a - b ) $，$ S _ { △ D G F } = \frac { 1 } { 2 } b ( a - b ) $，
所以 $ S = S _ { △ A D G } + S _ { △ D G F } = \frac { 1 } { 2 } a ( a - b ) + \frac { 1 } { 2 } b ( a - b ) = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) ( a - b ) $。
因为 $ a - b = 2 $，所以 $ ( a - b ) ^ { 2 } = 2 ^ { 2 } $，
所以 $ a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } = 4 $。
又因为 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 10 $，所以 $ 10 - 2 a b = 4 $，
所以 $ 2 a b = 6 $，所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 a b = 16 $，
所以 $ ( a + b ) ^ { 2 } = 16 $，
所以 $ a + b = 4 $ 或 $ a + b = - 4 $（不合题意，舍去），
所以 $ S = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) ( a - b ) = \frac { 1 } { 2 } × 4 × 2 = 4 $。
因为正方形 $ A B C D $ 的边长为 $ a $，正方形 $ C E F G $ 的边长为 $ b $，
所以 $ A B = B C = a $，$ C G = C E = b $，
所以 $ B E = B C + C E = a + b $，
所以 $ S _ { \mathrm{ 梯形 } A B C G } = \frac { 1 } { 2 } a ( a + b ) $，$ S _ { △ C E G } = \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } $，
$ S _ { △ A B E } = \frac { 1 } { 2 } a ( a + b ) $。
因为 $ S = S _ { \mathrm{ 梯形 } A B C G } + S _ { △ C E G } - S _ { △ A B E } $，
所以 $ S = \frac { 1 } { 2 } a ( a + b ) + \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } a ( a + b ) = \frac { 1 } { 2 } b ^ { 2 } $，
所以 $ S $ 的值与 $ a $ 的大小无关。
(2) 依题意，得 $ A D = a $，$ D G = a - b $，$ G F = b $，
所以 $ S _ { △ A D G } = \frac { 1 } { 2 } a ( a - b ) $，$ S _ { △ D G F } = \frac { 1 } { 2 } b ( a - b ) $，
所以 $ S = S _ { △ A D G } + S _ { △ D G F } = \frac { 1 } { 2 } a ( a - b ) + \frac { 1 } { 2 } b ( a - b ) = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) ( a - b ) $。
因为 $ a - b = 2 $，所以 $ ( a - b ) ^ { 2 } = 2 ^ { 2 } $，
所以 $ a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } = 4 $。
又因为 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 10 $，所以 $ 10 - 2 a b = 4 $，
所以 $ 2 a b = 6 $，所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 a b = 16 $，
所以 $ ( a + b ) ^ { 2 } = 16 $，
所以 $ a + b = 4 $ 或 $ a + b = - 4 $（不合题意，舍去），
所以 $ S = \frac { 1 } { 2 } ( a + b ) ( a - b ) = \frac { 1 } { 2 } × 4 × 2 = 4 $。
13. (15分)(2025·高新区月考)阅读材料：如果一个数的平方等于$-1$，记为$i^2 = -1$，这个数$i$叫作虚数单位，那么形如$a + bi(a,b$为常数)的数就叫作复数，$a$叫作这个复数的实部，$b$叫作这个复数的虚部。
它有如下特点：
①它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如，
$(2 + i) + (3 - 4i) = (2 + 3) + (1 - 4)i = 5 - 3i$；$(3 + i)i = 3i + i^2 = 3i - 1$。
②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如$1 + 2i$的共轭复数为$1 - 2i$。
(1)计算：$(2 + i)(2 - i) =$
(2)若$a + bi$是$(1 + 2i)^2$的共轭复数，求$(b - a)^2$的值；
(3)已知$(a + i)(b + i) = 1 - 3i$，求$(a^2 + b^2)(i + i^2 + i^3 + i^4 + ··· + i^{2025})$的值。
它有如下特点：
①它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似，例如，
$(2 + i) + (3 - 4i) = (2 + 3) + (1 - 4)i = 5 - 3i$；$(3 + i)i = 3i + i^2 = 3i - 1$。
②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如$1 + 2i$的共轭复数为$1 - 2i$。
(1)计算：$(2 + i)(2 - i) =$
5
；$(2 + i)^2 =$$ 3 + 4 \mathrm { i } $
；(2)若$a + bi$是$(1 + 2i)^2$的共轭复数，求$(b - a)^2$的值；
(3)已知$(a + i)(b + i) = 1 - 3i$，求$(a^2 + b^2)(i + i^2 + i^3 + i^4 + ··· + i^{2025})$的值。
答案
13. (1) 5 $ 3 + 4 \mathrm { i } $
(2) 解：因为 $ ( 1 + 2 \mathrm { i } ) ^ { 2 } = 1 + 4 \mathrm { i } + 4 \mathrm { i } ^ { 2 } = 1 + 4 \mathrm { i } - 4 = - 3 + 4 \mathrm { i } $，$ a + b \mathrm { i } $ 是 $ ( 1 + 2 \mathrm { i } ) ^ { 2 } $ 的共轭复数，
所以 $ a = - 3 $，$ b = - 4 $，
所以 $ ( b - a ) ^ { 2 } = ( - 4 + 3 ) ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { 2 } = 1 $。
(3) 解：由条件可知 $ a b + ( a + b ) \mathrm { i } - 1 = 1 - 3 \mathrm { i } $，
即 $ a b - 1 + ( a + b ) \mathrm { i } = 1 - 3 \mathrm { i } $，
所以 $ a b - 1 = 1 $，$ a + b = - 3 $，
所以 $ a b = 2 $，$ a + b = - 3 $，
所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b = ( - 3 ) ^ { 2 } - 2 × 2 = 9 - 4 = 5 $。
因为 $ \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + \mathrm { i } ^ { 5 } = - 1 - \mathrm { i } + 1 + \mathrm { i } = 0 $，
$ \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + ··· + \mathrm { i } ^ { 2025 } $ 有 2024 个加数，$ 2024 ÷ 4 = 506 $，
所以 $ \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + ··· + \mathrm { i } ^ { 2025 } = 0 $，
则 $ \mathrm { i } + \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + ··· + \mathrm { i } ^ { 2025 } = \mathrm { i } $，
所以 $ ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ( \mathrm { i } + \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + ··· + \mathrm { i } ^ { 2025 } ) = 5 × \mathrm { i } = 5 \mathrm { i } $。
(2) 解：因为 $ ( 1 + 2 \mathrm { i } ) ^ { 2 } = 1 + 4 \mathrm { i } + 4 \mathrm { i } ^ { 2 } = 1 + 4 \mathrm { i } - 4 = - 3 + 4 \mathrm { i } $，$ a + b \mathrm { i } $ 是 $ ( 1 + 2 \mathrm { i } ) ^ { 2 } $ 的共轭复数，
所以 $ a = - 3 $，$ b = - 4 $，
所以 $ ( b - a ) ^ { 2 } = ( - 4 + 3 ) ^ { 2 } = ( - 1 ) ^ { 2 } = 1 $。
(3) 解：由条件可知 $ a b + ( a + b ) \mathrm { i } - 1 = 1 - 3 \mathrm { i } $，
即 $ a b - 1 + ( a + b ) \mathrm { i } = 1 - 3 \mathrm { i } $，
所以 $ a b - 1 = 1 $，$ a + b = - 3 $，
所以 $ a b = 2 $，$ a + b = - 3 $，
所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b = ( - 3 ) ^ { 2 } - 2 × 2 = 9 - 4 = 5 $。
因为 $ \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + \mathrm { i } ^ { 5 } = - 1 - \mathrm { i } + 1 + \mathrm { i } = 0 $，
$ \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + ··· + \mathrm { i } ^ { 2025 } $ 有 2024 个加数，$ 2024 ÷ 4 = 506 $，
所以 $ \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + ··· + \mathrm { i } ^ { 2025 } = 0 $，
则 $ \mathrm { i } + \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + ··· + \mathrm { i } ^ { 2025 } = \mathrm { i } $，
所以 $ ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ( \mathrm { i } + \mathrm { i } ^ { 2 } + \mathrm { i } ^ { 3 } + \mathrm { i } ^ { 4 } + ··· + \mathrm { i } ^ { 2025 } ) = 5 × \mathrm { i } = 5 \mathrm { i } $。
