进位制的认识
进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值. 可使用数字符号的数目称为基数，基数为 $ n $，即可称 $ n $ 进位制，简称 $ n $ 进制. 对于任意一个用 $ n $ 进位制表示的数，通常使用 $ n $ 个阿拉伯数字 $ 0 ～ (n - 1) $ 进行计数，特点是逢 $ n $ 进一. 现在我们通常用的是十进制数. (十进制数不用标角标，其他要标角标)
(1) 类比十进制的计数原理：$ 12035 = 1×10^{4} + 2×10^{3} + 0×10^{2} + 3×10^{1} + 5×10^{0} $，把一个五进制数转化为十进制数的方法如下：$ (234)_{5} = 2×5^{2} + 3×5^{1} + 4×5^{0} = 69 $. 请你将以下两个数转化为十进制数：$ (10101)_{3} = $，$ (257)_{8} = $；
(2) 把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以 $ 2 $ 取余数”的方法，一直除到商为 $ 0 $ 且余数为 $ 1 $ 止；再将余数从后向前倒序写，就是结果. 例如将十进制数 $ 13 $ 转化为二进制数：因为 $ 13÷2 = 6······1 $，$ 6÷2 = 3······0 $，$ 3÷2 = 1······1 $，$ 1÷2 = 0······1 $，所以 $ 13 = (1101)_{2} $. 请你仿照以上方法，将十进制数 $ 22 $ 转化为二进制数；
(3) 二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码 $ 0 $，$ 1 $，$ 2 $，$ 3 $，$ 4 $，$ 5 $，$ 6 $，$ 7 $，$ 8 $，$ 9 $，满十进一，而二进制的数位有两个数码 $ 0 $ 和 $ 1 $，满二进一. 二进制的加法运算法则如下：$ 0 + 0 = 0 $，$ 0 + 1 = 1 $，$ 1 + 0 = 1 $，$ 1 + 1 = (10)_{2} $. 请你根据上面的加法运算法则和所学的竖式计算相关知识计算：$ (10010)_{2} + (111)_{2} $；
(4) 若一个九进制数与一个八进制数之和为 $ 999 $，则称这两个数互为“长长久久数”. 若 $ (\overline{aa8})_{9} $ 与 $ (\overline{bb1})_{8} $ 互为“长长久久数”，求 $ a + b $ 的值.

(1) 91 175
(2) 因为 $22 ÷ 2 = 11 ··· ··· 0$，$11 ÷ 2 = 5 ··· ··· 1$，$5 ÷ 2 = 2 ··· ··· 1$，$2 ÷ 2 = 1 ··· ··· 0$，$1 ÷ 2 = 0 ··· ··· 1$，所以 $22 = (10110)_2$。
(3) $(10010)_2 + (111)_2 = (11001)_2$。
(4) 因为 $(\overline{aa8})_9 = a × 9^2 + a × 9^1 + 8 × 9^0 = 90a + 8$，$(\overline{bb1})_8 = b × 8^2 + b × 8^1 + 1 × 8^0 = 72b + 1$，所以 $(\overline{aa8})_9 + (\overline{bb1})_8 = 90a + 72b + 9$。因为 $(\overline{aa8})_9$ 与 $(\overline{bb1})_8$ 互为“长长久久数”，所以 $(\overline{aa8})_9 + (\overline{bb1})_8 = 999$，所以 $90a + 72b + 9 = 999$，即 $5a + 4b = 55$。因为 $a$，$b$ 为整数，且 $1 ≤ a ≤ 8$，$1 ≤ b ≤ 7$，所以 $a = 7$，$b = 5$，所以 $a + b = 12$。