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基础知识·预习
问题1 用式子表示负整数指数幂的性质，并举例说明.
问题2 通过实例说一说同底数幂的除法转化为同底数幂的乘法、商的乘方转化为积的乘方的过程.
问题3 整数指数幂的运算性质有哪些？
问题1 用式子表示负整数指数幂的性质，并举例说明.
问题2 通过实例说一说同底数幂的除法转化为同底数幂的乘法、商的乘方转化为积的乘方的过程.
问题3 整数指数幂的运算性质有哪些？
答案
解：
问题1
负整数指数幂的性质：当$a ≠ 0$，$n$是正整数时，$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，即非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。
举例：$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$，$(\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = 9$。
问题2
1. 同底数幂的除法转化为同底数幂的乘法：
例如计算$a^3 ÷ a^5\ (a≠0)$，根据同底数幂除法法则得$a^3 ÷ a^5 = a^{3-5}=a^{-2}$；
根据负整数指数幂的性质，$a^{-2}=a^{3+(-5)}=a^3 · a^{-5}$，因此$a^3 ÷ a^5 = a^3 · a^{-5}$，完成同底数幂的除法到同底数幂乘法的转化。
2. 商的乘方转化为积的乘方：
例如计算$(\frac{a}{b})^3\ (b≠0)$，根据商的乘方法则得$(\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}$；
根据负整数指数幂的性质，$\frac{1}{b^3}=b^{-3}$，因此$\frac{a^3}{b^3}=a^3 · b^{-3} = a^3 · (b^{-1})^3 = (a · b^{-1})^3$，完成商的乘方到积的乘方的转化。
问题3
设$a≠0,b≠0$，$m,n$为整数，整数指数幂的运算性质如下：
1. 同底数幂相乘：$a^m · a^n = a^{m+n}$
2. 幂的乘方：$(a^m)^n = a^{mn}$
3. 积的乘方：$(ab)^n = a^n b^n$
4. 同底数幂相除：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$
5. 商的乘方：$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
问题1
负整数指数幂的性质：当$a ≠ 0$，$n$是正整数时，$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，即非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。
举例：$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$，$(\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = 9$。
问题2
1. 同底数幂的除法转化为同底数幂的乘法：
例如计算$a^3 ÷ a^5\ (a≠0)$，根据同底数幂除法法则得$a^3 ÷ a^5 = a^{3-5}=a^{-2}$；
根据负整数指数幂的性质，$a^{-2}=a^{3+(-5)}=a^3 · a^{-5}$，因此$a^3 ÷ a^5 = a^3 · a^{-5}$，完成同底数幂的除法到同底数幂乘法的转化。
2. 商的乘方转化为积的乘方：
例如计算$(\frac{a}{b})^3\ (b≠0)$，根据商的乘方法则得$(\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}$；
根据负整数指数幂的性质，$\frac{1}{b^3}=b^{-3}$，因此$\frac{a^3}{b^3}=a^3 · b^{-3} = a^3 · (b^{-1})^3 = (a · b^{-1})^3$，完成商的乘方到积的乘方的转化。
问题3
设$a≠0,b≠0$，$m,n$为整数，整数指数幂的运算性质如下：
1. 同底数幂相乘：$a^m · a^n = a^{m+n}$
2. 幂的乘方：$(a^m)^n = a^{mn}$
3. 积的乘方：$(ab)^n = a^n b^n$
4. 同底数幂相除：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$
5. 商的乘方：$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
解析
【分析】
本题围绕整数指数幂的基础知识点设置，解题思路清晰：
1. 解答问题1时，首先明确负整数指数幂的适用条件为底数不为0，牢记核心公式，举例时可选取整数、分数两类不同底数，直观展示性质的应用；
2. 解答问题2时，核心是利用负整数指数幂的性质，将除法转化为乘负指数幂的形式，先按原有法则计算实例，再通过负指数幂的定义完成形式转化即可；
3. 解答问题3时，将正整数指数幂的运算性质推广到全体整数范围，标注底数不为0的前提，梳理全部运算性质即可。
【解析】
问题1
负整数指数幂的性质：当$a ≠ 0$，$n$是正整数时，$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，即非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。
举例：$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$，$(\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = 9$。
问题2
1. 同底数幂的除法转化为同底数幂的乘法：
例如计算$a^3 ÷ a^5\ (a≠0)$，根据同底数幂除法法则得$a^3 ÷ a^5 = a^{3-5}=a^{-2}$；
根据负整数指数幂的性质，$a^{-2}=a^{3+(-5)}=a^3 · a^{-5}$，因此$a^3 ÷ a^5 = a^3 · a^{-5}$，完成同底数幂的除法到同底数幂乘法的转化。
2. 商的乘方转化为积的乘方：
例如计算$(\frac{a}{b})^3\ (b≠0)$，根据商的乘方法则得$(\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}$；
根据负整数指数幂的性质，$\frac{1}{b^3}=b^{-3}$，因此$\frac{a^3}{b^3}=a^3 · b^{-3} = a^3 · (b^{-1})^3 = (a · b^{-1})^3$，完成商的乘方到积的乘方的转化。
问题3
设$a≠0,b≠0$，$m,n$为整数，整数指数幂的运算性质如下：
1. 同底数幂相乘：$a^m · a^n = a^{m+n}$
2. 幂的乘方：$(a^m)^n = a^{mn}$
3. 积的乘方：$(ab)^n = a^n b^n$
4. 同底数幂相除：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$
5. 商的乘方：$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
【答案】
问题1
负整数指数幂的性质：当$a ≠ 0$，$n$是正整数时，$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，即非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。
举例：$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$，$(\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = 9$。
问题2
1. 同底数幂的除法转化为同底数幂的乘法：
例如计算$a^3 ÷ a^5\ (a≠0)$，根据同底数幂除法法则得$a^3 ÷ a^5 = a^{3-5}=a^{-2}$；
根据负整数指数幂的性质，$a^{-2}=a^{3+(-5)}=a^3 · a^{-5}$，因此$a^3 ÷ a^5 = a^3 · a^{-5}$，完成同底数幂的除法到同底数幂乘法的转化。
2. 商的乘方转化为积的乘方：
例如计算$(\frac{a}{b})^3\ (b≠0)$，根据商的乘方法则得$(\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}$；
根据负整数指数幂的性质，$\frac{1}{b^3}=b^{-3}$，因此$\frac{a^3}{b^3}=a^3 · b^{-3} = a^3 · (b^{-1})^3 = (a · b^{-1})^3$，完成商的乘方到积的乘方的转化。
问题3
设$a≠0,b≠0$，$m,n$为整数，整数指数幂的运算性质如下：
1. 同底数幂相乘：$a^m · a^n = a^{m+n}$
2. 幂的乘方：$(a^m)^n = a^{mn}$
3. 积的乘方：$(ab)^n = a^n b^n$
4. 同底数幂相除：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$
5. 商的乘方：$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
【知识点】
负整数指数幂的性质；整数指数幂的运算性质；幂的运算转化
【点评】
本题是整数指数幂的基础入门题，重点考查对负整数指数幂定义的理解，以及幂运算相关法则的迁移应用，难度较低，掌握核心定义即可顺利解答，为后续学习整数指数幂的混合运算奠定基础。
【难度系数】
0.8
本题围绕整数指数幂的基础知识点设置，解题思路清晰：
1. 解答问题1时，首先明确负整数指数幂的适用条件为底数不为0，牢记核心公式，举例时可选取整数、分数两类不同底数，直观展示性质的应用；
2. 解答问题2时，核心是利用负整数指数幂的性质，将除法转化为乘负指数幂的形式，先按原有法则计算实例，再通过负指数幂的定义完成形式转化即可；
3. 解答问题3时，将正整数指数幂的运算性质推广到全体整数范围，标注底数不为0的前提，梳理全部运算性质即可。
【解析】
问题1
负整数指数幂的性质：当$a ≠ 0$，$n$是正整数时，$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，即非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。
举例：$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$，$(\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = 9$。
问题2
1. 同底数幂的除法转化为同底数幂的乘法：
例如计算$a^3 ÷ a^5\ (a≠0)$，根据同底数幂除法法则得$a^3 ÷ a^5 = a^{3-5}=a^{-2}$；
根据负整数指数幂的性质，$a^{-2}=a^{3+(-5)}=a^3 · a^{-5}$，因此$a^3 ÷ a^5 = a^3 · a^{-5}$，完成同底数幂的除法到同底数幂乘法的转化。
2. 商的乘方转化为积的乘方：
例如计算$(\frac{a}{b})^3\ (b≠0)$，根据商的乘方法则得$(\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}$；
根据负整数指数幂的性质，$\frac{1}{b^3}=b^{-3}$，因此$\frac{a^3}{b^3}=a^3 · b^{-3} = a^3 · (b^{-1})^3 = (a · b^{-1})^3$，完成商的乘方到积的乘方的转化。
问题3
设$a≠0,b≠0$，$m,n$为整数，整数指数幂的运算性质如下：
1. 同底数幂相乘：$a^m · a^n = a^{m+n}$
2. 幂的乘方：$(a^m)^n = a^{mn}$
3. 积的乘方：$(ab)^n = a^n b^n$
4. 同底数幂相除：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$
5. 商的乘方：$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
【答案】
问题1
负整数指数幂的性质：当$a ≠ 0$，$n$是正整数时，$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，即非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数。
举例：$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$，$(\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = 9$。
问题2
1. 同底数幂的除法转化为同底数幂的乘法：
例如计算$a^3 ÷ a^5\ (a≠0)$，根据同底数幂除法法则得$a^3 ÷ a^5 = a^{3-5}=a^{-2}$；
根据负整数指数幂的性质，$a^{-2}=a^{3+(-5)}=a^3 · a^{-5}$，因此$a^3 ÷ a^5 = a^3 · a^{-5}$，完成同底数幂的除法到同底数幂乘法的转化。
2. 商的乘方转化为积的乘方：
例如计算$(\frac{a}{b})^3\ (b≠0)$，根据商的乘方法则得$(\frac{a}{b})^3 = \frac{a^3}{b^3}$；
根据负整数指数幂的性质，$\frac{1}{b^3}=b^{-3}$，因此$\frac{a^3}{b^3}=a^3 · b^{-3} = a^3 · (b^{-1})^3 = (a · b^{-1})^3$，完成商的乘方到积的乘方的转化。
问题3
设$a≠0,b≠0$，$m,n$为整数，整数指数幂的运算性质如下：
1. 同底数幂相乘：$a^m · a^n = a^{m+n}$
2. 幂的乘方：$(a^m)^n = a^{mn}$
3. 积的乘方：$(ab)^n = a^n b^n$
4. 同底数幂相除：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$
5. 商的乘方：$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
【知识点】
负整数指数幂的性质；整数指数幂的运算性质；幂的运算转化
【点评】
本题是整数指数幂的基础入门题，重点考查对负整数指数幂定义的理解，以及幂运算相关法则的迁移应用，难度较低，掌握核心定义即可顺利解答，为后续学习整数指数幂的混合运算奠定基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】计算：
(1)$-2026^0$；(2)$(-5)^{-3}$；
(3)$m^{-8}$；(4)$(-\dfrac{1}{5})^{-2}$.
【解】(1)$-2026^0=-1$.
(2)$(-5)^{-3}=\dfrac{1}{(-5)^3}=-\dfrac{1}{125}$.
(3)$m^{-8}=\dfrac{1}{m^8}$.
(4)$(-\dfrac{1}{5})^{-2}=(-5)^2=25$.
规律方法 1. 遇到零指数幂，关键看底数是不是0，若底数不为0，则无论底数是何值，其结果都是1.
2. 底数为负数的整数指数幂的运算结果未必为负数，运算结果的符号与指数的正负无关.
3. 若负整数指数幂的底数是分数，一般可将其转化为这个数的倒数的正整数指数幂，这样可以简化计算过程.
(1)$-2026^0$；(2)$(-5)^{-3}$；
(3)$m^{-8}$；(4)$(-\dfrac{1}{5})^{-2}$.
【解】(1)$-2026^0=-1$.
(2)$(-5)^{-3}=\dfrac{1}{(-5)^3}=-\dfrac{1}{125}$.
(3)$m^{-8}=\dfrac{1}{m^8}$.
(4)$(-\dfrac{1}{5})^{-2}=(-5)^2=25$.
规律方法 1. 遇到零指数幂，关键看底数是不是0，若底数不为0，则无论底数是何值，其结果都是1.
2. 底数为负数的整数指数幂的运算结果未必为负数，运算结果的符号与指数的正负无关.
3. 若负整数指数幂的底数是分数，一般可将其转化为这个数的倒数的正整数指数幂，这样可以简化计算过程.
答案
解：
(1) $\because 2026≠0$，由零指数幂的性质得$2026^0=1$，
$\therefore -2026^0=-1$。
(2) 根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），得
$(-5)^{-3}=\dfrac{1}{(-5)^3}=-\dfrac{1}{125}$。
(3) 同理可得$m^{-8}=\dfrac{1}{m^8}\ (m≠0)$。
(4) 根据负整数指数幂的性质，得
$(-\dfrac{1}{5})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{5})^2}=(-5)^2=25$。
(1) $\because 2026≠0$，由零指数幂的性质得$2026^0=1$，
$\therefore -2026^0=-1$。
(2) 根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），得
$(-5)^{-3}=\dfrac{1}{(-5)^3}=-\dfrac{1}{125}$。
(3) 同理可得$m^{-8}=\dfrac{1}{m^8}\ (m≠0)$。
(4) 根据负整数指数幂的性质，得
$(-\dfrac{1}{5})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{5})^2}=(-5)^2=25$。
解析
【分析】
这组题目主要考查零指数幂和负整数指数幂的运算法则，解题思路如下：1. 处理零指数幂时，首先判断底数是否不为0，若底数非0，则其0次幂等于1，注意不要忽略幂前面的符号；2. 处理负整数指数幂时，遵循法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），若底数是分数，可直接转化为该分数倒数的正整数次幂简化计算，若底数为负数，最终结果的符号由正整数指数的奇偶性决定，按照该思路逐个计算即可。
【解析】
(1) $\because 2026≠0$，由零指数幂的性质得$2026^0=1$，
$\therefore -2026^0=-1$。
(2) 根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），得
$(-5)^{-3}=\dfrac{1}{(-5)^3}=-\dfrac{1}{125}$。
(3) 同理可得$m^{-8}=\dfrac{1}{m^8}\ (m≠0)$。
(4) 根据负整数指数幂的性质，得
$(-\dfrac{1}{5})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{5})^2}=(-5)^2=25$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{125}}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{1}{m^8}\ (m≠0)}$；(4) $\boldsymbol{25}$
【知识点】
1. 零指数幂运算 2. 负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，核心考查零指数幂、负整数指数幂的运算法则，解题时要注意底数不为0的前提，区分幂本身的符号和幂前面的符号，掌握分数底数的负指数幂的简便转化方法可提升运算速度与正确率。
【难度系数】
0.9
这组题目主要考查零指数幂和负整数指数幂的运算法则，解题思路如下：1. 处理零指数幂时，首先判断底数是否不为0，若底数非0，则其0次幂等于1，注意不要忽略幂前面的符号；2. 处理负整数指数幂时，遵循法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），若底数是分数，可直接转化为该分数倒数的正整数次幂简化计算，若底数为负数，最终结果的符号由正整数指数的奇偶性决定，按照该思路逐个计算即可。
【解析】
(1) $\because 2026≠0$，由零指数幂的性质得$2026^0=1$，
$\therefore -2026^0=-1$。
(2) 根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），得
$(-5)^{-3}=\dfrac{1}{(-5)^3}=-\dfrac{1}{125}$。
(3) 同理可得$m^{-8}=\dfrac{1}{m^8}\ (m≠0)$。
(4) 根据负整数指数幂的性质，得
$(-\dfrac{1}{5})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{5})^2}=(-5)^2=25$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{125}}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{1}{m^8}\ (m≠0)}$；(4) $\boldsymbol{25}$
【知识点】
1. 零指数幂运算 2. 负整数指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，核心考查零指数幂、负整数指数幂的运算法则，解题时要注意底数不为0的前提，区分幂本身的符号和幂前面的符号，掌握分数底数的负指数幂的简便转化方法可提升运算速度与正确率。
【难度系数】
0.9
