登录
基础知识·预习
问题1 写出一个一般形式的二次函数，并将它化为顶点式，你能总结转化的基本步骤吗？
问题2 写出一个一般形式的二次函数，用顶点公式求它的顶点坐标，然后画图分析其性质。
问题3 写出一个一般形式的二次函数，分析它的图象是由$y=ax^2(a≠0)$的图象如何平移得到的。
问题1 写出一个一般形式的二次函数，并将它化为顶点式，你能总结转化的基本步骤吗？
问题2 写出一个一般形式的二次函数，用顶点公式求它的顶点坐标，然后画图分析其性质。
问题3 写出一个一般形式的二次函数，分析它的图象是由$y=ax^2(a≠0)$的图象如何平移得到的。
答案
解：
问题1
选取一般形式的二次函数：$y=2x^2-4x+5$
配方转化过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+5\\&=2(x^2-2x)+5\\&=2(x^2-2x+1-1)+5\\&=2(x-1)^2-2+5\\&=2(x-1)^2+3\end{aligned}$
转化的基本步骤：
1. 提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，提取公因子$a$；
2. 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去该值，保证式子值不变；
3. 将括号内前三项整理为完全平方式，去括号合并常数项，得到顶点式$y=a(x-h)^2+k$。
问题2
选取一般形式的二次函数：$y=x^2-2x-3$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点坐标公式：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
因此该函数顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
① 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：直线$x=1$；
③ 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
④ 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$-4$，无最大值；
⑤ 与坐标轴交点：与$y$轴交于点$(0,-3)$，与$x$轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$。
画图方法：在平面直角坐标系中标出顶点、与坐标轴的交点，再补充若干对称点，用平滑曲线连接即可得到抛物线图象。
问题3
选取一般形式的二次函数：$y=2x^2-4x+5$，其顶点式为$y=2(x-1)^2+3$。
该函数的图象可由$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到。
问题1
选取一般形式的二次函数：$y=2x^2-4x+5$
配方转化过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+5\\&=2(x^2-2x)+5\\&=2(x^2-2x+1-1)+5\\&=2(x-1)^2-2+5\\&=2(x-1)^2+3\end{aligned}$
转化的基本步骤：
1. 提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，提取公因子$a$；
2. 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去该值，保证式子值不变；
3. 将括号内前三项整理为完全平方式，去括号合并常数项，得到顶点式$y=a(x-h)^2+k$。
问题2
选取一般形式的二次函数：$y=x^2-2x-3$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点坐标公式：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
因此该函数顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
① 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：直线$x=1$；
③ 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
④ 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$-4$，无最大值；
⑤ 与坐标轴交点：与$y$轴交于点$(0,-3)$，与$x$轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$。
画图方法：在平面直角坐标系中标出顶点、与坐标轴的交点，再补充若干对称点，用平滑曲线连接即可得到抛物线图象。
问题3
选取一般形式的二次函数：$y=2x^2-4x+5$，其顶点式为$y=2(x-1)^2+3$。
该函数的图象可由$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到。
解析
【分析】
本题设置三个递进的基础问题，均围绕二次函数的核心基础知识点展开，解题思路如下：①解决问题1时，先选取一个一般形式的二次函数，运用配方法转化为顶点式：先提取二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，再在括号内同时加、减一次项系数一半的平方以保证式子值不变，最后将括号内整理为完全平方式、合并常数项即可，再根据转化过程梳理出通用步骤。②解决问题2时，先选取一般形式的二次函数，确定a、b、c的取值后，代入顶点坐标公式直接计算顶点坐标，再从开口方向、对称轴、增减性、最值、与坐标轴交点这几个角度分析函数性质，画图时先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，补充对称点后用平滑曲线连接即可。③解决问题3时，先将选取的一般式二次函数化为顶点式，结合“左加右减、上加下减”的平移规律，判断$y=ax^2$到目标函数的平移方向和单位长度。
【解析】
问题1
选取一般形式的二次函数：$y=2x^2-4x+5$
配方转化过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+5\\&=2(x^2-2x)+5\\&=2(x^2-2x+1-1)+5\\&=2(x-1)^2-2+5\\&=2(x-1)^2+3\end{aligned}$
转化的基本步骤：
1. 提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，提取公因子$a$；
2. 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去该值，保证式子值不变；
3. 将括号内前三项整理为完全平方式，去括号合并常数项，得到顶点式$y=a(x-h)^2+k$。
问题2
选取一般形式的二次函数：$y=x^2-2x-3$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点坐标公式：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
因此该函数顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
① 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：直线$x=1$；
③ 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
④ 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$-4$，无最大值；
⑤ 与坐标轴交点：与$y$轴交于点$(0,-3)$，与$x$轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$。
画图方法：在平面直角坐标系中标出顶点、与坐标轴的交点，再补充若干对称点，用平滑曲线连接即可得到抛物线图象。
问题3
选取一般形式的二次函数：$y=2x^2-4x+5$，其顶点式为$y=2(x-1)^2+3$。
该函数的图象可由$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到。
【答案】
问题1
示例：选取二次函数$y=2x^2-4x+5$，顶点式为$y=2(x-1)^2+3$；转化步骤：1.提二次项系数，将二次项、一次项放括号内提取公因子$a$；2.括号内加、减一次项系数一半的平方保证式子值不变；3.整理括号内为完全平方式，合并常数项得到顶点式。
问题2
示例：选取二次函数$y=x^2-2x-3$，顶点坐标为$(1,-4)$；性质：开口向上，对称轴为直线$x=1$，$x＜1$时$y$随$x$增大而减小，$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，$x=1$时取最小值$-4$，与$y$轴交于$(0,-3)$，与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$；画图时先标注关键点，再用平滑曲线连接即可。
问题3
示例：$y=2x^2-4x+5$的图象由$y=2x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到。
（注：所举二次函数例子不唯一，符合要求即可）
【知识点】
二次函数一般式化顶点式；二次函数的图象与性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础巩固类题目，通过自主举例、动手操作的形式，引导学生主动掌握配方法、顶点公式、平移规律等核心内容，能有效夯实二次函数学习基础，为后续解决复杂二次函数问题做好铺垫。
【难度系数】
0.8
本题设置三个递进的基础问题，均围绕二次函数的核心基础知识点展开，解题思路如下：①解决问题1时，先选取一个一般形式的二次函数，运用配方法转化为顶点式：先提取二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，再在括号内同时加、减一次项系数一半的平方以保证式子值不变，最后将括号内整理为完全平方式、合并常数项即可，再根据转化过程梳理出通用步骤。②解决问题2时，先选取一般形式的二次函数，确定a、b、c的取值后，代入顶点坐标公式直接计算顶点坐标，再从开口方向、对称轴、增减性、最值、与坐标轴交点这几个角度分析函数性质，画图时先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，补充对称点后用平滑曲线连接即可。③解决问题3时，先将选取的一般式二次函数化为顶点式，结合“左加右减、上加下减”的平移规律，判断$y=ax^2$到目标函数的平移方向和单位长度。
【解析】
问题1
选取一般形式的二次函数：$y=2x^2-4x+5$
配方转化过程：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+5\\&=2(x^2-2x)+5\\&=2(x^2-2x+1-1)+5\\&=2(x-1)^2-2+5\\&=2(x-1)^2+3\end{aligned}$
转化的基本步骤：
1. 提出二次项系数，将二次项、一次项放在括号内，提取公因子$a$；
2. 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去该值，保证式子值不变；
3. 将括号内前三项整理为完全平方式，去括号合并常数项，得到顶点式$y=a(x-h)^2+k$。
问题2
选取一般形式的二次函数：$y=x^2-2x-3$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入顶点坐标公式：
顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$
顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=-4$
因此该函数顶点坐标为$(1,-4)$。
函数性质：
① 开口方向：$a=1＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：直线$x=1$；
③ 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
④ 最值：当$x=1$时，函数取得最小值$-4$，无最大值；
⑤ 与坐标轴交点：与$y$轴交于点$(0,-3)$，与$x$轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$。
画图方法：在平面直角坐标系中标出顶点、与坐标轴的交点，再补充若干对称点，用平滑曲线连接即可得到抛物线图象。
问题3
选取一般形式的二次函数：$y=2x^2-4x+5$，其顶点式为$y=2(x-1)^2+3$。
该函数的图象可由$y=2x^2$的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到。
【答案】
问题1
示例：选取二次函数$y=2x^2-4x+5$，顶点式为$y=2(x-1)^2+3$；转化步骤：1.提二次项系数，将二次项、一次项放括号内提取公因子$a$；2.括号内加、减一次项系数一半的平方保证式子值不变；3.整理括号内为完全平方式，合并常数项得到顶点式。
问题2
示例：选取二次函数$y=x^2-2x-3$，顶点坐标为$(1,-4)$；性质：开口向上，对称轴为直线$x=1$，$x＜1$时$y$随$x$增大而减小，$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，$x=1$时取最小值$-4$，与$y$轴交于$(0,-3)$，与$x$轴交于$(-1,0)$、$(3,0)$；画图时先标注关键点，再用平滑曲线连接即可。
问题3
示例：$y=2x^2-4x+5$的图象由$y=2x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到。
（注：所举二次函数例子不唯一，符合要求即可）
【知识点】
二次函数一般式化顶点式；二次函数的图象与性质；二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础巩固类题目，通过自主举例、动手操作的形式，引导学生主动掌握配方法、顶点公式、平移规律等核心内容，能有效夯实二次函数学习基础，为后续解决复杂二次函数问题做好铺垫。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】将二次函数 $y=x^2 -6x +5$ 通过配方法化为顶点式 $y=a(x-h)^2 +k$，结果是（）
A. $y=(x-3)^2 +4$
B. $y=(x-6)^2 -3$
C. $y=(x-6)^2 +5$
D. $y=(x-3)^2 -4$
【答案】D
规律方法 将二次函数 $y=ax^2 +bx +c(a≠0)$ 化成 $y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$ 的方法。
1. 配方法：$y=ax^2 +bx +c =a·(x^2 +\dfrac{b}{a}x +\dfrac{c}{a})=a[x^2 +\dfrac{b}{a}x +(\dfrac{b}{2a})^2 -(\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{c}{a}]=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
2. 待定系数法：设 $y=ax^2 +bx +c$ 可
化为 $y=a(x-h)^2 +k$。
而 $y=a(x-h)^2 +k =ax^2 -2ahx +ah^2 +k$。
所以 $-2ah =b$，$ah^2 +k =c$。
由此可得 $h=-\dfrac{b}{2a}$，$k=\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
所以 $y=ax^2 +bx +c =a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
A. $y=(x-3)^2 +4$
B. $y=(x-6)^2 -3$
C. $y=(x-6)^2 +5$
D. $y=(x-3)^2 -4$
【答案】D
规律方法 将二次函数 $y=ax^2 +bx +c(a≠0)$ 化成 $y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$ 的方法。
1. 配方法：$y=ax^2 +bx +c =a·(x^2 +\dfrac{b}{a}x +\dfrac{c}{a})=a[x^2 +\dfrac{b}{a}x +(\dfrac{b}{2a})^2 -(\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{c}{a}]=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
2. 待定系数法：设 $y=ax^2 +bx +c$ 可
化为 $y=a(x-h)^2 +k$。
而 $y=a(x-h)^2 +k =ax^2 -2ahx +ah^2 +k$。
所以 $-2ah =b$，$ah^2 +k =c$。
由此可得 $h=-\dfrac{b}{2a}$，$k=\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
所以 $y=ax^2 +bx +c =a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a}$。
答案
解：
对二次函数$y=x^2-6x+5$进行配方：
$y=x^2-6x+5$
$=(x^2-6x+9)-9+5$
$=(x-3)^2-4$
所以结果为$y=(x-3)^2-4$，故选D。
对二次函数$y=x^2-6x+5$进行配方：
$y=x^2-6x+5$
$=(x^2-6x+9)-9+5$
$=(x-3)^2-4$
所以结果为$y=(x-3)^2-4$，故选D。
解析
【分析】
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心解题方法是配方法。解题时首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需额外提取系数，只需对含x的项进行配方即可：先计算一次项系数一半的平方，得到需要补充的常数项，为保证原式数值不变，补充该常数项后需再减去相同的数，最后将含x的三项整理为完全平方形式，合并剩余常数项就能得到顶点式，再匹配对应选项即可。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -6x +5$进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6x +5\\&=(x^2 -6x +9)-9 +5\\&=(x-3)^2 -4\end{aligned}$
因此化简结果为$y=(x-3)^2 -4$，故选D。
【答案】D
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查配方法的规范应用，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，该知识点是后续学习二次函数图象性质、最值问题的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心解题方法是配方法。解题时首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需额外提取系数，只需对含x的项进行配方即可：先计算一次项系数一半的平方，得到需要补充的常数项，为保证原式数值不变，补充该常数项后需再减去相同的数，最后将含x的三项整理为完全平方形式，合并剩余常数项就能得到顶点式，再匹配对应选项即可。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -6x +5$进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2 -6x +5\\&=(x^2 -6x +9)-9 +5\\&=(x-3)^2 -4\end{aligned}$
因此化简结果为$y=(x-3)^2 -4$，故选D。
【答案】D
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查配方法的规范应用，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，该知识点是后续学习二次函数图象性质、最值问题的重要基础。
【难度系数】
0.8
