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【例1】我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$15^2=225=1×2×100+25$，
$25^2=625=2×3×100+25$，
$35^2=1225=3×4×100+25$。
请根据上述规律填空：
(1)$55^2=$$×100+25=$；
(2)$75^2=$$×100+25=$；
(3)$95^2=$$×100+25=$。
$15^2=225=1×2×100+25$，
$25^2=625=2×3×100+25$，
$35^2=1225=3×4×100+25$。
请根据上述规律填空：
(1)$55^2=$$×100+25=$；
(2)$75^2=$$×100+25=$；
(3)$95^2=$$×100+25=$。
答案
解：
根据题中给出的运算规律，个位是5的两位数的平方，等于该数的十位数字与十位数字加1的乘积乘100，再加25。
(1) $55^2 = \boldsymbol{5×6} ×100+25 = \boldsymbol{3025}$
(2) $75^2 = \boldsymbol{7×8} ×100+25 = \boldsymbol{5625}$
(3) $95^2 = \boldsymbol{9×10} ×100+25 = \boldsymbol{9025}$
根据题中给出的运算规律，个位是5的两位数的平方，等于该数的十位数字与十位数字加1的乘积乘100，再加25。
(1) $55^2 = \boldsymbol{5×6} ×100+25 = \boldsymbol{3025}$
(2) $75^2 = \boldsymbol{7×8} ×100+25 = \boldsymbol{5625}$
(3) $95^2 = \boldsymbol{9×10} ×100+25 = \boldsymbol{9025}$
解析
【分析】
首先观察题目给出的3个运算示例，提炼共性规律：个位是5的两位数的平方，结果可拆分为两部分相加，第一部分是该数的十位数字与“十位数字+1”的乘积再乘100，第二部分固定为25。解题时先确定每个数的十位数字，按规律先填“十位数字×(十位数字+1)”的部分，再计算最终结果即可。
【解析】
观察已知运算规律可得：个位为5的两位数的平方，等于其十位数字与（十位数字+1）的乘积乘100，再加25。
(1) $55$的十位数字是5，因此$55^2 = 5×6×100 +25 = 3000 +25 = 3025$；
(2) $75$的十位数字是7，因此$75^2 = 7×8×100 +25 = 5600 +25 = 5625$；
(3) $95$的十位数字是9，因此$95^2 = 9×10×100 +25 = 9000 +25 = 9025$。
【答案】
(1)$5×6$，$3025$；(2)$7×8$，$5625$；(3)$9×10$，$9025$
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方；有理数乘法
【点评】
本题侧重考查对数字规律的观察、归纳和应用能力，属于规律探究类基础题，解题核心是从给出的示例中提炼出共性计算规则，套用规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的3个运算示例，提炼共性规律：个位是5的两位数的平方，结果可拆分为两部分相加，第一部分是该数的十位数字与“十位数字+1”的乘积再乘100，第二部分固定为25。解题时先确定每个数的十位数字，按规律先填“十位数字×(十位数字+1)”的部分，再计算最终结果即可。
【解析】
观察已知运算规律可得：个位为5的两位数的平方，等于其十位数字与（十位数字+1）的乘积乘100，再加25。
(1) $55$的十位数字是5，因此$55^2 = 5×6×100 +25 = 3000 +25 = 3025$；
(2) $75$的十位数字是7，因此$75^2 = 7×8×100 +25 = 5600 +25 = 5625$；
(3) $95$的十位数字是9，因此$95^2 = 9×10×100 +25 = 9000 +25 = 9025$。
【答案】
(1)$5×6$，$3025$；(2)$7×8$，$5625$；(3)$9×10$，$9025$
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方；有理数乘法
【点评】
本题侧重考查对数字规律的观察、归纳和应用能力，属于规律探究类基础题，解题核心是从给出的示例中提炼出共性计算规则，套用规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
【变式训练】
1. 如果将例1中两位数的十位数字设为n,请用含n的式子表示上面的规律,并用整式的运算证明该规律.
1. 如果将例1中两位数的十位数字设为n,请用含n的式子表示上面的规律,并用整式的运算证明该规律.
答案
解：该规律为：十位数字均为n，两个个位数字之和为10的两位数相乘，满足等式：
$(10n + a)(10n + 10 - a) = 100n(n+1) + a(10 - a)$
其中a是1~9的正整数。
证明：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(10n + a)(10n + 10 - a)\\&=10n·10n + 10n·(10 - a) + a·10n + a(10 - a)\\&=100n^2 + 100n - 10na + 10na + 10a - a^2\\&=100n^2 + 100n + 10a - a^2\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{右边}&=100n(n+1) + a(10 - a)\\&=100n^2 + 100n + 10a - a^2\end{aligned}$
可得左边=右边，该规律成立。
$(10n + a)(10n + 10 - a) = 100n(n+1) + a(10 - a)$
其中a是1~9的正整数。
证明：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(10n + a)(10n + 10 - a)\\&=10n·10n + 10n·(10 - a) + a·10n + a(10 - a)\\&=100n^2 + 100n - 10na + 10na + 10a - a^2\\&=100n^2 + 100n + 10a - a^2\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{右边}&=100n(n+1) + a(10 - a)\\&=100n^2 + 100n + 10a - a^2\end{aligned}$
可得左边=右边，该规律成立。
解析
【分析】
解题时首先要抓住两个乘数的特征：两个两位数的十位数字均为n，个位数字之和为10。我们可以设其中一个数的个位数字为a（a是1~9的正整数），则另一个数的个位数字为10-a，先写出两个两位数的代数式，再根据规律列出等式，最后通过整式乘法和加减运算分别化简等式左右两边，若化简后结果相同即可证明规律成立。
【解析】
解：该规律为：十位数字均为n，两个个位数字之和为10的两位数相乘，满足等式：
$(10n + a)(10n + 10 - a) = 100n(n+1) + a(10 - a)$
其中a是1~9的正整数。
证明：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(10n + a)(10n + 10 - a)\\&=10n·10n + 10n·(10 - a) + a·10n + a(10 - a)\\&=100n^2 + 100n - 10na + 10na + 10a - a^2\\&=100n^2 + 100n + 10a - a^2\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{右边}&=100n(n+1) + a(10 - a)\\&=100n^2 + 100n + 10a - a^2\end{aligned}$
可得左边=右边，因此该规律成立。
【答案】
规律为$(10n + a)(10n + 10 - a) = 100n(n+1) + a(10 - a)$（a为1~9的正整数），证明如上。
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简，规律探究
【点评】
本题考查整式运算在数字规律探究中的应用，核心是先准确提炼数字特征并用代数式表示乘数，再通过整式运算验证等式，能够锻炼学生的符号表示能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住两个乘数的特征：两个两位数的十位数字均为n，个位数字之和为10。我们可以设其中一个数的个位数字为a（a是1~9的正整数），则另一个数的个位数字为10-a，先写出两个两位数的代数式，再根据规律列出等式，最后通过整式乘法和加减运算分别化简等式左右两边，若化简后结果相同即可证明规律成立。
【解析】
解：该规律为：十位数字均为n，两个个位数字之和为10的两位数相乘，满足等式：
$(10n + a)(10n + 10 - a) = 100n(n+1) + a(10 - a)$
其中a是1~9的正整数。
证明：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(10n + a)(10n + 10 - a)\\&=10n·10n + 10n·(10 - a) + a·10n + a(10 - a)\\&=100n^2 + 100n - 10na + 10na + 10a - a^2\\&=100n^2 + 100n + 10a - a^2\end{aligned}$
$\begin{aligned}\mathrm{右边}&=100n(n+1) + a(10 - a)\\&=100n^2 + 100n + 10a - a^2\end{aligned}$
可得左边=右边，因此该规律成立。
【答案】
规律为$(10n + a)(10n + 10 - a) = 100n(n+1) + a(10 - a)$（a为1~9的正整数），证明如上。
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简，规律探究
【点评】
本题考查整式运算在数字规律探究中的应用，核心是先准确提炼数字特征并用代数式表示乘数，再通过整式运算验证等式，能够锻炼学生的符号表示能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
2. 对于个位数字是5的三位数、四位数也同样适用上述规律,请用此规律计算:
(1)$115^2$;(2)$205^2$.
(1)$115^2$;(2)$205^2$.
答案
解：
对于任意个位为5的数，可表示为$10a+5$，由完全平方公式可得：
$(10a+5)^2=100a^2 + 100a +25=100a(a+1)+25$
即该类数平方的结果末两位为25，其余高位部分为$a(a+1)$的计算结果。
(1) 计算$115^2$：
$115=10×11 +5$，即$a=11$，
$a(a+1)=11×12=132$
因此$115^2=132×100 +25=13225$。
(2) 计算$205^2$：
$205=10×20 +5$，即$a=20$，
$a(a+1)=20×21=420$
因此$205^2=420×100 +25=42025$。
对于任意个位为5的数，可表示为$10a+5$，由完全平方公式可得：
$(10a+5)^2=100a^2 + 100a +25=100a(a+1)+25$
即该类数平方的结果末两位为25，其余高位部分为$a(a+1)$的计算结果。
(1) 计算$115^2$：
$115=10×11 +5$，即$a=11$，
$a(a+1)=11×12=132$
因此$115^2=132×100 +25=13225$。
(2) 计算$205^2$：
$205=10×20 +5$，即$a=20$，
$a(a+1)=20×21=420$
因此$205^2=420×100 +25=42025$。
解析
【分析】
首先我们需要推导个位数字为5的数的平方计算规律：利用完全平方公式，将个位为5的数表示为$10a+5$（$a$为正整数），对其平方展开化简后得到通用规律：计算结果的末两位固定为25，高位部分为$a$与$a+1$的乘积。后续只需分别找到两道小题中对应的$a$值，代入规律计算即可得到结果。
【解析】
对于任意个位为5的数，可表示为$10a+5$（$a$为正整数），由完全平方公式可得：
$(10a+5)^2=100a^2 + 100a +25=100a(a+1)+25$
即该类数平方的结果末两位为25，其余高位部分为$a(a+1)$的计算结果。
(1) 计算$115^2$：
$115=10×11 +5$，即$a=11$，
$a(a+1)=11×12=132$
因此$115^2=132×100 +25=13225$。
(2) 计算$205^2$：
$205=10×20 +5$，即$a=20$，
$a(a+1)=20×21=420$
因此$205^2=420×100 +25=42025$。
【答案】
(1)$\boxed{13225}$；(2)$\boxed{42025}$
【知识点】
完全平方公式，乘方巧算
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过推导得到的个位为5的数的平方运算规律，能大幅简化同类运算的计算步骤，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
首先我们需要推导个位数字为5的数的平方计算规律：利用完全平方公式，将个位为5的数表示为$10a+5$（$a$为正整数），对其平方展开化简后得到通用规律：计算结果的末两位固定为25，高位部分为$a$与$a+1$的乘积。后续只需分别找到两道小题中对应的$a$值，代入规律计算即可得到结果。
【解析】
对于任意个位为5的数，可表示为$10a+5$（$a$为正整数），由完全平方公式可得：
$(10a+5)^2=100a^2 + 100a +25=100a(a+1)+25$
即该类数平方的结果末两位为25，其余高位部分为$a(a+1)$的计算结果。
(1) 计算$115^2$：
$115=10×11 +5$，即$a=11$，
$a(a+1)=11×12=132$
因此$115^2=132×100 +25=13225$。
(2) 计算$205^2$：
$205=10×20 +5$，即$a=20$，
$a(a+1)=20×21=420$
因此$205^2=420×100 +25=42025$。
【答案】
(1)$\boxed{13225}$；(2)$\boxed{42025}$
【知识点】
完全平方公式，乘方巧算
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过推导得到的个位为5的数的平方运算规律，能大幅简化同类运算的计算步骤，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8
活动2 利用因式分解生成密码
【例2】问题背景：
在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经密不可分，如用生日、连续数字等
简单密码容易被破解，而密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.
某班级同学在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆. 其原理是：将一个多项式分解因式，如把多项式$x^3 - x$分解因式，结果为$x(x-1)(x+1)$，当$x=10$时，$x-1=9$，$x+1=11$，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011.
实际应用：
(1)根据上述方法，小明同学设置了学校官网的登录密码：把多项式$x^3 - xy^2$分解因式后利用$x,y$的数值设置密码，当$x=9,y=3$时，请破解小明的密码；
(2)学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底长分别为不同的整数$x,y$，请你破解出把多项式$x^3 -4xy^2$分解因式后得到的密码.
【例2】问题背景：
在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经密不可分，如用生日、连续数字等
简单密码容易被破解，而密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了.
某班级同学在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆. 其原理是：将一个多项式分解因式，如把多项式$x^3 - x$分解因式，结果为$x(x-1)(x+1)$，当$x=10$时，$x-1=9$，$x+1=11$，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011.
实际应用：
(1)根据上述方法，小明同学设置了学校官网的登录密码：把多项式$x^3 - xy^2$分解因式后利用$x,y$的数值设置密码，当$x=9,y=3$时，请破解小明的密码；
(2)学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底长分别为不同的整数$x,y$，请你破解出把多项式$x^3 -4xy^2$分解因式后得到的密码.
答案
解：
(1) 对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
当$x=9$，$y=3$时：
$x-y=9-3=6$，$x+y=9+3=12$
将得到的数值6、9、12按从小到大顺序排列，不足两位的前面补0，可得密码为060912。
(2) 由题意得等腰三角形满足：
$\begin{cases}2x + y = 12 \\ 2x ＞ y \\ x、y为不同的正整数\end{cases}$
由$2x + y = 12$得$y=12-2x＞0$，即$x＜6$；
由$2x＞y$得$2x＞12-2x$，解得$x＞3$。
因为x为整数，所以x的可能取值为4、5：
当$x=4$时，$y=12-2×4=4$，此时$x=y$，不符合腰长和底长为不同整数的条件，舍去；
当$x=5$时，$y=12-2×5=2$，符合所有条件。
对多项式因式分解：
$x^3 -4xy^2 = x(x^2 -4y^2) = x(x-2y)(x+2y)$
代入$x=5$，$y=2$：
$x-2y=5-2×2=1$，$x+2y=5+2×2=9$
将得到的数值1、5、9按从小到大顺序排列，不足两位的前面补0，可得密码为010509。
综上，(1)小明的密码为060912；(2)管理员设置的密码为010509。
(1) 对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
当$x=9$，$y=3$时：
$x-y=9-3=6$，$x+y=9+3=12$
将得到的数值6、9、12按从小到大顺序排列，不足两位的前面补0，可得密码为060912。
(2) 由题意得等腰三角形满足：
$\begin{cases}2x + y = 12 \\ 2x ＞ y \\ x、y为不同的正整数\end{cases}$
由$2x + y = 12$得$y=12-2x＞0$，即$x＜6$；
由$2x＞y$得$2x＞12-2x$，解得$x＞3$。
因为x为整数，所以x的可能取值为4、5：
当$x=4$时，$y=12-2×4=4$，此时$x=y$，不符合腰长和底长为不同整数的条件，舍去；
当$x=5$时，$y=12-2×5=2$，符合所有条件。
对多项式因式分解：
$x^3 -4xy^2 = x(x^2 -4y^2) = x(x-2y)(x+2y)$
代入$x=5$，$y=2$：
$x-2y=5-2×2=1$，$x+2y=5+2×2=9$
将得到的数值1、5、9按从小到大顺序排列，不足两位的前面补0，可得密码为010509。
综上，(1)小明的密码为060912；(2)管理员设置的密码为010509。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先对多项式$x^3 - xy^2$进行因式分解：先提取公因式$x$，再利用平方差公式分解为三个因式的乘积；之后将$x=9,y=3$代入三个因式，计算得到对应数值，将数值从小到大排序，不足两位的在前面补0，即可得到密码。
(2) 首先根据等腰三角形的周长公式、三边关系以及腰长和底长为不同正整数的条件，求解得到符合要求的$x$和$y$的值；再对多项式$x^3 -4xy^2$因式分解，同样代入$x,y$计算三个因式的数值，排序补0后得到密码。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
当$x=9$，$y=3$时：
$x-y=9-3=6$，$x+y=9+3=12$
将得到的数值6、9、12按从小到大顺序排列，不足两位的前面补0，可得密码为060912。
(2) 由题意得等腰三角形满足如下条件：
$\begin{cases}2x + y = 12 \\ 2x ＞ y \\ x、y为不同的正整数\end{cases}$
由$2x + y = 12$得$y=12-2x＞0$，即$x＜6$；
由$2x＞y$得$2x＞12-2x$，解得$x＞3$。
因为x为正整数，所以x的可能取值为4、5：
当$x=4$时，$y=12-2×4=4$，此时$x=y$，不符合腰长和底长为不同整数的条件，舍去；
当$x=5$时，$y=12-2×5=2$，符合所有条件。
对多项式因式分解：
$x^3 -4xy^2 = x(x^2 -4y^2) = x(x-2y)(x+2y)$
代入$x=5$，$y=2$：
$x-2y=5-2×2=1$，$x+2y=5+2×2=9$
将得到的数值1、5、9按从小到大顺序排列，不足两位的前面补0，可得密码为010509。
【答案】
(1) 060912；(2) 010509
【知识点】
因式分解，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景，将因式分解与三角形相关知识结合考查，既贴近生活实际，又能检验学生对基础知识的综合运用能力以及对新定义类规则的理解应用能力。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先对多项式$x^3 - xy^2$进行因式分解：先提取公因式$x$，再利用平方差公式分解为三个因式的乘积；之后将$x=9,y=3$代入三个因式，计算得到对应数值，将数值从小到大排序，不足两位的在前面补0，即可得到密码。
(2) 首先根据等腰三角形的周长公式、三边关系以及腰长和底长为不同正整数的条件，求解得到符合要求的$x$和$y$的值；再对多项式$x^3 -4xy^2$因式分解，同样代入$x,y$计算三个因式的数值，排序补0后得到密码。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解：
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y)$
当$x=9$，$y=3$时：
$x-y=9-3=6$，$x+y=9+3=12$
将得到的数值6、9、12按从小到大顺序排列，不足两位的前面补0，可得密码为060912。
(2) 由题意得等腰三角形满足如下条件：
$\begin{cases}2x + y = 12 \\ 2x ＞ y \\ x、y为不同的正整数\end{cases}$
由$2x + y = 12$得$y=12-2x＞0$，即$x＜6$；
由$2x＞y$得$2x＞12-2x$，解得$x＞3$。
因为x为正整数，所以x的可能取值为4、5：
当$x=4$时，$y=12-2×4=4$，此时$x=y$，不符合腰长和底长为不同整数的条件，舍去；
当$x=5$时，$y=12-2×5=2$，符合所有条件。
对多项式因式分解：
$x^3 -4xy^2 = x(x^2 -4y^2) = x(x-2y)(x+2y)$
代入$x=5$，$y=2$：
$x-2y=5-2×2=1$，$x+2y=5+2×2=9$
将得到的数值1、5、9按从小到大顺序排列，不足两位的前面补0，可得密码为010509。
【答案】
(1) 060912；(2) 010509
【知识点】
因式分解，等腰三角形性质，三角形三边关系
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景，将因式分解与三角形相关知识结合考查，既贴近生活实际，又能检验学生对基础知识的综合运用能力以及对新定义类规则的理解应用能力。
【难度系数】
0.7
