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【变式2】如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB。若AB=4，CF=3，求线段BD的长。
答案
解：
∵ FC//AB，
∴ ∠ADE = ∠F，
在△ADE和△CFE中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠F \\DE = FE \\∠AED = ∠CEF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CFE（ASA），
∴ AD = CF = 3，
∵ AB = 4，
∴ BD = AB - AD = 4 - 3 = 1。
答：线段BD的长为1。
∵ FC//AB，
∴ ∠ADE = ∠F，
在△ADE和△CFE中，
$\{\begin{array}{l}∠ADE = ∠F \\DE = FE \\∠AED = ∠CEF\end{array} $
∴ △ADE ≌ △CFE（ASA），
∴ AD = CF = 3，
∵ AB = 4，
∴ BD = AB - AD = 4 - 3 = 1。
答：线段BD的长为1。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件FC//AB出发，利用平行线的性质可得到一组内错角相等；结合题目给出的DE=FE，以及图形中隐含的对顶角相等的条件，可通过ASA判定定理证明△ADE和△CFE全等；再根据全等三角形对应边相等的性质得到AD的长度，最后利用线段和差关系，用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长。
【解析】
∵ FC//AB，
∴ ∠ADE = ∠F，
在△ADE和△CFE中，
$\begin{cases}∠ADE = ∠F \\DE = FE \\∠AED = ∠CEF\end{cases}$
∴ △ADE ≌ △CFE（ASA），
∴ AD = CF = 3，
∵ AB = 4，
∴ BD = AB - AD = 4 - 3 = 1。
【答案】
1
【知识点】
平行线的性质；ASA判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题核心是结合平行线性质、对顶角相等的隐含条件找到全等判定所需的要素，再通过全等性质转化线段长度求解，是三角形全等章节的常考题型。
【难度系数】
0.85
解题时首先从已知条件FC//AB出发，利用平行线的性质可得到一组内错角相等；结合题目给出的DE=FE，以及图形中隐含的对顶角相等的条件，可通过ASA判定定理证明△ADE和△CFE全等；再根据全等三角形对应边相等的性质得到AD的长度，最后利用线段和差关系，用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长。
【解析】
∵ FC//AB，
∴ ∠ADE = ∠F，
在△ADE和△CFE中，
$\begin{cases}∠ADE = ∠F \\DE = FE \\∠AED = ∠CEF\end{cases}$
∴ △ADE ≌ △CFE（ASA），
∴ AD = CF = 3，
∵ AB = 4，
∴ BD = AB - AD = 4 - 3 = 1。
【答案】
1
【知识点】
平行线的性质；ASA判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，解题核心是结合平行线性质、对顶角相等的隐含条件找到全等判定所需的要素，再通过全等性质转化线段长度求解，是三角形全等章节的常考题型。
【难度系数】
0.85
1. 如图，AD，BC相交于点O，已知∠A=∠C，要根据“ASA”证明△AOB≌△COD，还需添加的一个条件是（）。
A.$AB=CD$
B.$AO=CO$
C.$BO=DO$
D.$∠ABO=∠CDO$
A.$AB=CD$
B.$AO=CO$
C.$BO=DO$
D.$∠ABO=∠CDO$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“ASA”（角边角）判定三角形全等的核心要求：两个三角形的两组对应角相等，且这两组角的夹边也对应相等，即可判定全等。第一步先找△AOB和△COD中已有的相等量：题目已知∠A=∠C，另外AD与BC交于点O，根据对顶角相等可得∠AOB=∠COD，此时已有两组对应角相等，要满足ASA判定，只需补充这两组相等角的夹边对应相等即可，再对应选项判断即可。
【解析】
1. 梳理已知相等条件：
已知∠A=∠C，
∵AD、BC相交于点O，
∴∠AOB=∠COD（对顶角相等）。
2. 结合ASA判定要求推导需补充的条件：
ASA要求两组相等角的夹边对应相等，△AOB中∠A与∠AOB的夹边是AO，△COD中∠C与∠COD的夹边是CO，因此需要添加条件AO=CO。
3. 逐一分析选项：
A选项AB=CD：属于两组角和其中一组角的对边相等，符合AAS判定，不符合ASA要求，错误；
B选项AO=CO：满足两角及其夹边对应相等，符合ASA判定要求，正确；
C选项BO=DO：属于两组角和其中一组角的对边相等，符合AAS判定，不符合ASA要求，错误；
D选项∠ABO=∠CDO：仅有三组角对应相等，无法证明三角形全等，错误。
【答案】
B
【知识点】
ASA判定全等，对顶角的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形ASA判定定理的应用，解题的关键是准确区分ASA中“夹边”和AAS中“对边”的位置差异，同时要注意图形中对顶角相等这类隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确“ASA”（角边角）判定三角形全等的核心要求：两个三角形的两组对应角相等，且这两组角的夹边也对应相等，即可判定全等。第一步先找△AOB和△COD中已有的相等量：题目已知∠A=∠C，另外AD与BC交于点O，根据对顶角相等可得∠AOB=∠COD，此时已有两组对应角相等，要满足ASA判定，只需补充这两组相等角的夹边对应相等即可，再对应选项判断即可。
【解析】
1. 梳理已知相等条件：
已知∠A=∠C，
∵AD、BC相交于点O，
∴∠AOB=∠COD（对顶角相等）。
2. 结合ASA判定要求推导需补充的条件：
ASA要求两组相等角的夹边对应相等，△AOB中∠A与∠AOB的夹边是AO，△COD中∠C与∠COD的夹边是CO，因此需要添加条件AO=CO。
3. 逐一分析选项：
A选项AB=CD：属于两组角和其中一组角的对边相等，符合AAS判定，不符合ASA要求，错误；
B选项AO=CO：满足两角及其夹边对应相等，符合ASA判定要求，正确；
C选项BO=DO：属于两组角和其中一组角的对边相等，符合AAS判定，不符合ASA要求，错误；
D选项∠ABO=∠CDO：仅有三组角对应相等，无法证明三角形全等，错误。
【答案】
B
【知识点】
ASA判定全等，对顶角的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形ASA判定定理的应用，解题的关键是准确区分ASA中“夹边”和AAS中“对边”的位置差异，同时要注意图形中对顶角相等这类隐含条件的运用。
【难度系数】
0.7
2.如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是().
A.甲
B.乙
C.丙
D.乙与丙
A.甲
B.乙
C.丙
D.乙与丙
答案
D
解析
【分析】
要判断甲、乙、丙是否与△ABC全等，需结合全等三角形的判定定理（SAS、AAS等），逐个对比各三角形的边角对应关系是否符合判定条件。首先明确△ABC的边角信息：∠B=50°，∠A=72°，∠C=58°；边BC=a，AC=b，AB=c，其中∠B的两边为AB=c、BC=a，边a对应的角为∠A=72°。再分别分析三个三角形：甲的边角不满足全等判定条件，乙符合AAS判定条件，丙符合SAS判定条件，即可得出结论。
【解析】
首先梳理△ABC的边角对应关系：
根据三角形内角和为180°，得∠C=180°-50°-72°=58°；
边BC=a，AC=b，AB=c，其中∠B=50°的两条邻边为AB=c、BC=a，边a所对的角为∠A=72°。
逐个分析三个三角形：
1. 甲：已知边c、边b，以及边c相邻的50°角，△ABC中边c和边b的夹角为∠A=72°，边角不对应，不符合全等判定条件，故甲与△ABC不全等。
2. 乙：已知50°、72°两个角，以及边a，可得第三个角为58°，其中72°角的对边为a，和△ABC中∠A=72°、对边为a的对应关系一致，满足AAS（两角及其中一角的对边相等）的全等判定条件，故乙与△ABC全等。
3. 丙：已知边a、边c，且两边的夹角为50°，和△ABC中∠B=50°、∠B的两条邻边为c和a的边角关系完全对应，满足SAS（两边及其夹角相等）的全等判定条件，故丙与△ABC全等。
综上，乙和丙与△ABC全等。
【答案】D
【知识点】
全等三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题核心是准确匹配不同三角形的对应边、对应角，结合判定规则逐一验证，注意SSA不能作为全等三角形的判定依据。
【难度系数】
0.7
要判断甲、乙、丙是否与△ABC全等，需结合全等三角形的判定定理（SAS、AAS等），逐个对比各三角形的边角对应关系是否符合判定条件。首先明确△ABC的边角信息：∠B=50°，∠A=72°，∠C=58°；边BC=a，AC=b，AB=c，其中∠B的两边为AB=c、BC=a，边a对应的角为∠A=72°。再分别分析三个三角形：甲的边角不满足全等判定条件，乙符合AAS判定条件，丙符合SAS判定条件，即可得出结论。
【解析】
首先梳理△ABC的边角对应关系：
根据三角形内角和为180°，得∠C=180°-50°-72°=58°；
边BC=a，AC=b，AB=c，其中∠B=50°的两条邻边为AB=c、BC=a，边a所对的角为∠A=72°。
逐个分析三个三角形：
1. 甲：已知边c、边b，以及边c相邻的50°角，△ABC中边c和边b的夹角为∠A=72°，边角不对应，不符合全等判定条件，故甲与△ABC不全等。
2. 乙：已知50°、72°两个角，以及边a，可得第三个角为58°，其中72°角的对边为a，和△ABC中∠A=72°、对边为a的对应关系一致，满足AAS（两角及其中一角的对边相等）的全等判定条件，故乙与△ABC全等。
3. 丙：已知边a、边c，且两边的夹角为50°，和△ABC中∠B=50°、∠B的两条邻边为c和a的边角关系完全对应，满足SAS（两边及其夹角相等）的全等判定条件，故丙与△ABC全等。
综上，乙和丙与△ABC全等。
【答案】D
【知识点】
全等三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题核心是准确匹配不同三角形的对应边、对应角，结合判定规则逐一验证，注意SSA不能作为全等三角形的判定依据。
【难度系数】
0.7
3.如图,点A,C,B,D在同一条直线上,BE//DF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD=35°,∠A=75°,则∠DBE的度数为°.
答案
$\boldsymbol{110}$
解析
【分析】
要求∠DBE的度数，观察图形可知BE与DF平行，因此可借助平行线的性质建立∠DBE和其他角的数量关系。已知△FCD中给出∠FCD的度数，且题目明确∠A=∠F，因此先在△FCD中利用三角形内角和定理求出∠D的度数，再根据“两直线平行，同旁内角互补”的性质即可求出∠DBE的度数。
【解析】
解：由题可知∠A=∠F=75°，
在△FCD中，根据三角形内角和为180°：
$∠ D=180°-∠ F-∠ FCD=180°-75°-35°=70°$，
∵ $BE// DF$，且点D、B、C、A在同一条直线上，
∴ $∠ DBE+∠ D=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $∠ DBE=180°-70°=110°$。
【答案】
$\boldsymbol{110}$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是找到待求角与已知角的关联，熟练运用三角形内角和定理和平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求∠DBE的度数，观察图形可知BE与DF平行，因此可借助平行线的性质建立∠DBE和其他角的数量关系。已知△FCD中给出∠FCD的度数，且题目明确∠A=∠F，因此先在△FCD中利用三角形内角和定理求出∠D的度数，再根据“两直线平行，同旁内角互补”的性质即可求出∠DBE的度数。
【解析】
解：由题可知∠A=∠F=75°，
在△FCD中，根据三角形内角和为180°：
$∠ D=180°-∠ F-∠ FCD=180°-75°-35°=70°$，
∵ $BE// DF$，且点D、B、C、A在同一条直线上，
∴ $∠ DBE+∠ D=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $∠ DBE=180°-70°=110°$。
【答案】
$\boldsymbol{110}$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是找到待求角与已知角的关联，熟练运用三角形内角和定理和平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.如图,点A,E,C共线,$BC=DE,BC⊥DE$,
$∠BAC=∠ECD=90°,CD=12,AE=5$,则AB
的值为.
$∠BAC=∠ECD=90°,CD=12,AE=5$,则AB
的值为.
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件推导角的等量关系，再结合给定的边相等、直角相等的条件证明三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质结合线段和差关系计算AB的长度：首先由BC⊥DE可得∠ACB+∠DEC=90°，结合∠ECD=90°推出∠D+∠DEC=90°，根据同角的余角相等得到∠ACB=∠D；再结合∠BAC=∠ECD=90°、BC=DE，用AAS判定△ABC和△CED全等；最后由全等得到AC=CD、AB=CE，结合已知的CD、AE长度，通过CE=AC-AE即可算出AB的值。
【解析】
设BC与DE的交点为F，
1. 推导相等的角：
∵ $BC⊥DE$，
∴ $∠CFE=90°$，
∴ $∠ACB + ∠DEC = 90°$，
又
∵ $∠ECD=90°$，
∴ $∠D + ∠DEC = 90°$，
∴ $∠ACB=∠D$（同角的余角相等）。
2. 证明三角形全等：
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠BAC=∠ECD=90° \\∠ACB=∠D \\BC=DE\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ CED$（AAS）。
3. 计算AB的长度：
由全等三角形的性质可得：$AC=CD=12$，$AB=CE$，
∵ $AC=AE+CE$，$AE=5$，
∴ $CE=AC-AE=12-5=7$，
∴ $AB=CE=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用，解题核心是利用垂直关系推导等角，准确识别全等三角形，再结合线段和差关系求解，能有效考查对全等判定定理的掌握程度和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件推导角的等量关系，再结合给定的边相等、直角相等的条件证明三角形全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质结合线段和差关系计算AB的长度：首先由BC⊥DE可得∠ACB+∠DEC=90°，结合∠ECD=90°推出∠D+∠DEC=90°，根据同角的余角相等得到∠ACB=∠D；再结合∠BAC=∠ECD=90°、BC=DE，用AAS判定△ABC和△CED全等；最后由全等得到AC=CD、AB=CE，结合已知的CD、AE长度，通过CE=AC-AE即可算出AB的值。
【解析】
设BC与DE的交点为F，
1. 推导相等的角：
∵ $BC⊥DE$，
∴ $∠CFE=90°$，
∴ $∠ACB + ∠DEC = 90°$，
又
∵ $∠ECD=90°$，
∴ $∠D + ∠DEC = 90°$，
∴ $∠ACB=∠D$（同角的余角相等）。
2. 证明三角形全等：
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠BAC=∠ECD=90° \\∠ACB=∠D \\BC=DE\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ CED$（AAS）。
3. 计算AB的长度：
由全等三角形的性质可得：$AC=CD=12$，$AB=CE$，
∵ $AC=AE+CE$，$AE=5$，
∴ $CE=AC-AE=12-5=7$，
∴ $AB=CE=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用，解题核心是利用垂直关系推导等角，准确识别全等三角形，再结合线段和差关系求解，能有效考查对全等判定定理的掌握程度和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,点 B,C,E,F 在同一条直线上,AB // DE,∠A=∠D,BE=CF. 求证:AC=DF. 
答案
证明：
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ B = ∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $BE=CF$，
∴ $BE+EC = CF+EC$，
即 $BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D, \\∠ B = ∠ DEF, \\BC = EF,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（AAS）。
∴ $AC=DF$。
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ B = ∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $BE=CF$，
∴ $BE+EC = CF+EC$，
即 $BC=EF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D, \\∠ B = ∠ DEF, \\BC = EF,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（AAS）。
∴ $AC=DF$。
解析
【分析】
要证明线段AC=DF，可通过证明两条线段所在的△ABC和△DEF全等，利用全等三角形对应边相等的性质推导结论。首先根据AB//DE的平行线性质可得一组同位角相等；再由BE=CF，给等式两边同时加上公共线段EC，可得到全等需要的一组对应边BC=EF；结合已知的∠A=∠D，刚好满足AAS全等判定的条件，证明三角形全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：
∵ $AB// DE$，
∴ $∠B = ∠DEF$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $BE=CF$，
∴ $BE+EC = CF+EC$，
即 $BC=EF$。
在$△ABC$和$△DEF$中，
$\begin{cases}∠A = ∠D, \\∠B = ∠DEF, \\BC = EF,\end{cases}$
∴ $△ABC ≌ △DEF$（AAS）。
∴ $AC=DF$。
【答案】
$AC=DF$
【知识点】
平行线的性质、全等三角形AAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础典型题，解题核心是结合已知条件推导得到全等三角形的判定条件，再通过全等性质得到对应边相等，能较好地考查学生对几何基础性质、判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明线段AC=DF，可通过证明两条线段所在的△ABC和△DEF全等，利用全等三角形对应边相等的性质推导结论。首先根据AB//DE的平行线性质可得一组同位角相等；再由BE=CF，给等式两边同时加上公共线段EC，可得到全等需要的一组对应边BC=EF；结合已知的∠A=∠D，刚好满足AAS全等判定的条件，证明三角形全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：
∵ $AB// DE$，
∴ $∠B = ∠DEF$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $BE=CF$，
∴ $BE+EC = CF+EC$，
即 $BC=EF$。
在$△ABC$和$△DEF$中，
$\begin{cases}∠A = ∠D, \\∠B = ∠DEF, \\BC = EF,\end{cases}$
∴ $△ABC ≌ △DEF$（AAS）。
∴ $AC=DF$。
【答案】
$AC=DF$
【知识点】
平行线的性质、全等三角形AAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础典型题，解题核心是结合已知条件推导得到全等三角形的判定条件，再通过全等性质得到对应边相等，能较好地考查学生对几何基础性质、判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
