登录
6. 填表：
根据上表，平方等于它本身的数有哪些？立方等于它本身的数有哪些？你还有哪些猜想？
根据上表，平方等于它本身的数有哪些？立方等于它本身的数有哪些？你还有哪些猜想？
答案
[图6]
平方等于它本身的数是1,0;立方等于它本身的数是0,1或−1;平方根等于它本身的数是0;立方根等于它本身的数是0,1或−1。
平方等于它本身的数是1,0;立方等于它本身的数是0,1或−1;平方根等于它本身的数是0;立方根等于它本身的数是0,1或−1。
解析
【分析】
解题时首先明确相关定义：①有理数的乘方：a的平方表示2个a相乘，a的立方表示3个a相乘；②平方根：若$x^2=a$，则x是a的平方根，负数没有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0；③立方根：若$x^3=a$，则x是a的立方根，任何实数都有唯一的立方根。首先我们分别计算1、0、-1的平方、立方、平方根、立方根完成表格，再对照计算结果筛选出符合条件的数，最后可总结出平方根、立方根等于自身的数的规律。
【解析】
首先计算各值填写表格：
1. 原数为1时：
平方：$1^2=1$，立方：$1^3=1$，平方根：$\pm\sqrt{1}=\pm1$，立方根：$\sqrt[3]{1}=1$
2. 原数为0时：
平方：$0^2=0$，立方：$0^3=0$，平方根：$\sqrt{0}=0$，立方根：$\sqrt[3]{0}=0$
3. 原数为-1时：
平方：$(-1)^2=1$，立方：$(-1)^3=-1$，负数没有平方根，因此平方根不存在，立方根：$\sqrt[3]{-1}=-1$
再根据表格内容回答问题：
①对比原数和原数的平方列：仅0、1的平方等于自身，因此平方等于它本身的数是1、0；
②对比原数和原数的立方列：0、1、-1的立方都等于自身，因此立方等于它本身的数是0、1、-1；
③还可得到规律：平方根等于它本身的数只有0；立方根等于它本身的数是0、1、-1。
【答案】
表格填写（按行从左到右）：
1对应行：1，1，$\pm1$，1；
0对应行：0，0，0，0；
-1对应行：1，-1，不存在，-1；
问题答案：平方等于它本身的数是1,0;立方等于它本身的数是0,1或−1;平方根等于它本身的数是0;立方根等于它本身的数是0,1或−1。
【知识点】
有理数的乘方；平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，通过对特殊数值的计算总结共性规律，能够帮助加深对乘方、平方根、立方根概念的理解，易错点是容易忽略负数没有平方根、正数的平方根有两个这两个要点。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确相关定义：①有理数的乘方：a的平方表示2个a相乘，a的立方表示3个a相乘；②平方根：若$x^2=a$，则x是a的平方根，负数没有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0；③立方根：若$x^3=a$，则x是a的立方根，任何实数都有唯一的立方根。首先我们分别计算1、0、-1的平方、立方、平方根、立方根完成表格，再对照计算结果筛选出符合条件的数，最后可总结出平方根、立方根等于自身的数的规律。
【解析】
首先计算各值填写表格：
1. 原数为1时：
平方：$1^2=1$，立方：$1^3=1$，平方根：$\pm\sqrt{1}=\pm1$，立方根：$\sqrt[3]{1}=1$
2. 原数为0时：
平方：$0^2=0$，立方：$0^3=0$，平方根：$\sqrt{0}=0$，立方根：$\sqrt[3]{0}=0$
3. 原数为-1时：
平方：$(-1)^2=1$，立方：$(-1)^3=-1$，负数没有平方根，因此平方根不存在，立方根：$\sqrt[3]{-1}=-1$
再根据表格内容回答问题：
①对比原数和原数的平方列：仅0、1的平方等于自身，因此平方等于它本身的数是1、0；
②对比原数和原数的立方列：0、1、-1的立方都等于自身，因此立方等于它本身的数是0、1、-1；
③还可得到规律：平方根等于它本身的数只有0；立方根等于它本身的数是0、1、-1。
【答案】
表格填写（按行从左到右）：
1对应行：1，1，$\pm1$，1；
0对应行：0，0，0，0；
-1对应行：1，-1，不存在，-1；
问题答案：平方等于它本身的数是1,0;立方等于它本身的数是0,1或−1;平方根等于它本身的数是0;立方根等于它本身的数是0,1或−1。
【知识点】
有理数的乘方；平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，通过对特殊数值的计算总结共性规律，能够帮助加深对乘方、平方根、立方根概念的理解，易错点是容易忽略负数没有平方根、正数的平方根有两个这两个要点。
【难度系数】
0.9
7. 魔方是一种立方体形状的益智玩具。如图所示的魔方由三层完全相同的小立方块组成，体积为$216\ \mathrm{cm}^3$，那么组成它的每个小立方块的棱长为多少？
答案
2 cm
解析
【分析】
解题时首先明确魔方是立方体，立方体的体积等于棱长的立方，所以第一步可以根据魔方的总体积求出大立方体（魔方）的棱长；观察魔方可知它是由3行3列3层的小立方块组成，因此大立方体的棱长是每个小立方块棱长的3倍，用大棱长除以3就能得到小立方块的棱长。
【解析】
解：设魔方（大立方体）的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据立方体体积公式$V=a^3$，已知魔方体积为$216\ \mathrm{cm}^3$，可得：
$a^3=216$
对216开立方，得$a=\sqrt[3]{216}=6\ \mathrm{cm}$
因为魔方由三层完全相同的小立方块组成，即大立方体的棱长等于3个小立方块的棱长之和，所以每个小立方块的棱长为：
$6÷3=2\ \mathrm{cm}$
【答案】
2 cm
【知识点】
立方体体积公式，立方根的运算，立体图形棱长关系
【点评】
本题结合生活中常见的魔方设计题目，考查立方根的实际应用，解题的核心是先利用体积公式求出大正方体的棱长，再结合小立方块的排列规律求出小立方块的棱长，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确魔方是立方体，立方体的体积等于棱长的立方，所以第一步可以根据魔方的总体积求出大立方体（魔方）的棱长；观察魔方可知它是由3行3列3层的小立方块组成，因此大立方体的棱长是每个小立方块棱长的3倍，用大棱长除以3就能得到小立方块的棱长。
【解析】
解：设魔方（大立方体）的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据立方体体积公式$V=a^3$，已知魔方体积为$216\ \mathrm{cm}^3$，可得：
$a^3=216$
对216开立方，得$a=\sqrt[3]{216}=6\ \mathrm{cm}$
因为魔方由三层完全相同的小立方块组成，即大立方体的棱长等于3个小立方块的棱长之和，所以每个小立方块的棱长为：
$6÷3=2\ \mathrm{cm}$
【答案】
2 cm
【知识点】
立方体体积公式，立方根的运算，立体图形棱长关系
【点评】
本题结合生活中常见的魔方设计题目，考查立方根的实际应用，解题的核心是先利用体积公式求出大正方体的棱长，再结合小立方块的排列规律求出小立方块的棱长，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
8. 已知x是整数，且$\sqrt[3]{x}$大于-1且小于2，则整数x最小可能是什么数？最大可能是什么数？这些数的和是多少？
答案
整数x最小可能是0,最大可能是7,和为28。
解析
【分析】
解题时首先根据题意列出关于$\sqrt[3]{x}$的不等式，再利用立方与开立方互为逆运算，将不等式三边同时立方，即可得到x的取值范围；接下来结合x是整数的限定，筛选出所有符合条件的x值，就能找到最小、最大的x，最后将所有符合条件的x相加即可求出和。需要注意：立方运算不会改变不等号的方向，且要注意取值范围的边界是否能取到。
【解析】
第一步：根据题意列不等式
由题可知：$\boldsymbol{-1 ＜ \sqrt[3]{x} ＜ 2}$
第二步：将不等式三边同时立方，求解x的范围
因为立方运算与开立方运算互为逆运算，且立方后不等号方向不变，所以三边同时立方得：
$(-1)^3 ＜ x ＜ 2^3$
计算得：$\boldsymbol{-1 ＜ x ＜ 8}$
第三步：结合x是整数的条件，筛选符合要求的x
大于-1且小于8的整数有：0、1、2、3、4、5、6、7
因此整数x最小是0，最大是7
第四步：计算这些数的和
$0+1+2+3+4+5+6+7=(0+7)×8÷2=28$
【答案】
整数x最小可能是0,最大可能是7,和为28。
【知识点】
立方根的性质；不等式的变形；整数的概念
【点评】
本题是立方根与不等式的基础结合题，解题核心是利用立方和开立方的互逆关系确定x的取值范围，再结合整数的限定筛选数值，计算时注意不要漏算或多算边界数值即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题意列出关于$\sqrt[3]{x}$的不等式，再利用立方与开立方互为逆运算，将不等式三边同时立方，即可得到x的取值范围；接下来结合x是整数的限定，筛选出所有符合条件的x值，就能找到最小、最大的x，最后将所有符合条件的x相加即可求出和。需要注意：立方运算不会改变不等号的方向，且要注意取值范围的边界是否能取到。
【解析】
第一步：根据题意列不等式
由题可知：$\boldsymbol{-1 ＜ \sqrt[3]{x} ＜ 2}$
第二步：将不等式三边同时立方，求解x的范围
因为立方运算与开立方运算互为逆运算，且立方后不等号方向不变，所以三边同时立方得：
$(-1)^3 ＜ x ＜ 2^3$
计算得：$\boldsymbol{-1 ＜ x ＜ 8}$
第三步：结合x是整数的条件，筛选符合要求的x
大于-1且小于8的整数有：0、1、2、3、4、5、6、7
因此整数x最小是0，最大是7
第四步：计算这些数的和
$0+1+2+3+4+5+6+7=(0+7)×8÷2=28$
【答案】
整数x最小可能是0,最大可能是7,和为28。
【知识点】
立方根的性质；不等式的变形；整数的概念
【点评】
本题是立方根与不等式的基础结合题，解题核心是利用立方和开立方的互逆关系确定x的取值范围，再结合整数的限定筛选数值，计算时注意不要漏算或多算边界数值即可。
【难度系数】
0.8
9. 试写出一组分数$a$和$b$，使得$\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}=-2$。
答案
答案不唯一。例如,$a=\dfrac{1}{4},b=-\dfrac{125}{8}$。
解析
【分析】
首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数，即$\sqrt{a}≥0$，而立方根的结果可以为正、负或0。要满足$\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}=-2$，我们可以先给$\sqrt{a}$赋一个非负的有理数值，再计算出对应的$\sqrt[3]{b}$的值，最后分别求出$a$和$b$即可，赋值时选择简单的分数计算更便捷。
【解析】
我们先任意取一个非负数作为$\sqrt{a}$的值，比如取$\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}$：
1. 求$a$：对$\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}$两边同时平方，可得$a=(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$；
2. 求$\sqrt[3]{b}$的值：把$\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}$代入原式$\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}=-2$，可得$\sqrt[3]{b}=-2-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{2}$；
3. 求$b$：对$\sqrt[3]{b}=-\dfrac{5}{2}$两边同时立方，可得$b=(-\dfrac{5}{2})^3=-\dfrac{125}{8}$。
也可选择其他非负值作为$\sqrt{a}$的取值，得到不同的符合要求的解，因此答案不唯一。
【答案】
答案不唯一。例如,$a=\dfrac{1}{4},b=-\dfrac{125}{8}$。
【知识点】
算术平方根的性质，立方根的运算
【点评】
本题是开放性试题，核心是利用算术平方根的非负性合理赋值，再结合立方根的运算规则求解即可，解题思路灵活，答案不固定。
【难度系数】
0.7
首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数，即$\sqrt{a}≥0$，而立方根的结果可以为正、负或0。要满足$\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}=-2$，我们可以先给$\sqrt{a}$赋一个非负的有理数值，再计算出对应的$\sqrt[3]{b}$的值，最后分别求出$a$和$b$即可，赋值时选择简单的分数计算更便捷。
【解析】
我们先任意取一个非负数作为$\sqrt{a}$的值，比如取$\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}$：
1. 求$a$：对$\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}$两边同时平方，可得$a=(\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$；
2. 求$\sqrt[3]{b}$的值：把$\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}$代入原式$\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}=-2$，可得$\sqrt[3]{b}=-2-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{2}$；
3. 求$b$：对$\sqrt[3]{b}=-\dfrac{5}{2}$两边同时立方，可得$b=(-\dfrac{5}{2})^3=-\dfrac{125}{8}$。
也可选择其他非负值作为$\sqrt{a}$的取值，得到不同的符合要求的解，因此答案不唯一。
【答案】
答案不唯一。例如,$a=\dfrac{1}{4},b=-\dfrac{125}{8}$。
【知识点】
算术平方根的性质，立方根的运算
【点评】
本题是开放性试题，核心是利用算术平方根的非负性合理赋值，再结合立方根的运算规则求解即可，解题思路灵活，答案不固定。
【难度系数】
0.7
