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14. (2023·江苏宿迁)若$ m $满足$ (m - 2023)^{2} + (2024 - m)^{2} = 2025 $，则$ (m - 2023)(2024 - m) = $
$-1012$
。答案
14. $-1012$ 解析：设$m - 2023 = x$，则$2024 - m = 1 - x$。因为$(m - 2023)^{2}+(2024 - m)^{2}=2025$，所以$x^{2}+(1 - x)^{2}=2025$，所以$x^{2}+1 - 2x + x^{2}=2025$，所以$x^{2}-x = 1012$，所以$(m - 2023)(2024 - m)=x(1 - x)=-(x^{2}-x)=-1012$。
15. (2025·江苏淮安期中)已知$ x^{2} + 2x - 2 = 0 $，求代数式$ x(x + 2) + (x + 1)^{2} $的值。
答案
15. 因为$x^{2}+2x - 2 = 0$，所以$x^{2}+2x = 2$，所以原式$=x^{2}+2x + x^{2}+2x + 1=2 + 2 + 1=5$。
16. 新素养 抽象能力 定义：形如$ a + bi $的数称为复数(其中$ a $和$ b $为常数，$ i $为虚数单位，规定$ i^{2} = -1 $)，$ a $称为复数的实部，$ b $称为复数的虚部。复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数，例如：$ (1 + 3i)^{2} = 1^{2} + 2 × 1 × 3i + (3i)^{2} = 1 + 6i + 9i^{2} = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i $，因此，$ (1 + 3i)^{2} $的实部是$ -8 $，虚部是$ 6 $。若复数$ (3 - mi)^{2} $的虚部是$ 12 $，则实部是(
A.$ -6 $
B.$ 6 $
C.$ 5 $
D.$ -5 $
C
)A.$ -6 $
B.$ 6 $
C.$ 5 $
D.$ -5 $
答案
16. C 解析：因为$(3 - mi)^{2}=3^{2}-2×3×mi+(mi)^{2}=9 - 6mi + m^{2}i^{2}=9 - m^{2}-6mi$，所以复数$(3 - mi)^{2}$的实部是$9 - m^{2}$，虚部是$-6m$，所以$-6m = 12$，解得$m = - 2$，所以$9 - m^{2}=9-(-2)^{2}=5$。故复数$(3 - mi)^{2}$的实部是5。
17. 设$ M = x + y $，$ N = x - y $，$ P = xy $。若$ M = 1 $，$ N = 2 $，则$ P = $
$-\frac{3}{4}$
。答案
17. $-\frac{3}{4}$ 解析：由题意，得$x + y = 1$，$x - y = 2$，所以$(x + y)^{2}-(x - y)^{2}=1^{2}-2^{2}=-3$，所以$x^{2}+2xy + y^{2}-(x^{2}-2xy + y^{2})=-3$，即$4xy = - 3$，所以$P = xy=-\frac{3}{4}$。
18. 如图，线段$ AC = n + 1 $($ n ≥ 2 $且$ n $为整数)，点$ B $在线段$ AC $上，在线段$ AC $同侧作正方形$ ABMN $及正方形$ BCEF $，连接$ AM $，$ ME $，$ EA $得到$ △ AME $。当$ AB = 1 $时，$ △ AME $的面积记为$ S_{1} $；当$ AB = 2 $时，$ △ AME $的面积记为$ S_{2} ··· ··· $当$ AB = n $时，$ △ AME $的面积记为$ S_{n} $。计算：$ S_{n} - S_{n - 1} = $
$n-\frac{1}{2}$
。答案
18. $n-\frac{1}{2}$ 解析：连接$BE$。因为在线段$AC$同侧作正方形$ABMN$及正方形$BCEF$，所以$BE// AM$，所以$△ AME$与$△ AMB$同底等高，所以$S_{△ AME}=S_{△ AMB}$，所以$S_{n}=\frac{1}{2}n^{2}$，$S_{n - 1}=\frac{1}{2}(n - 1)^{2}=\frac{1}{2}n^{2}-n+\frac{1}{2}$，所以当$n≥ 2$时，$S_{n}-S_{n - 1}=n-\frac{1}{2}$。
19.
阅读材料
若$ x $满足$ (30 - x)(x - 10) = 100 $，求代数式$ (30 - x)^{2} + (x - 10)^{2} $的值。
解：设$ 30 - x = a $，$ x - 10 = b $，则$ ab = (30 - x)(x - 10) = 100 $，$ a + b = (30 - x) + (x - 10) = 20 $，所以$ (30 - x)^{2} + (x - 10)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 20^{2} - 2 × 100 = 200 $。
解决问题
(1) 若$ x $满足$ (2025 - x)(x - 2021) = 2 $，则$ (2025 - x)^{2} + (x - 2021)^{2} = $
(2) 若$ x $满足$ (2025 - x)^{2} + (x - 2022)^{2} = 5 $，求代数式$ (2025 - x)(x - 2022) $的值；
(3) 如图，在长方形$ ABCD $中，$ CD = 20 $，$ BC = 12 $，点$ E $，$ F $分别在$ BC $，$ CD $上，且$ BE = DF = x $，分别以$ FC $，$ CE $为边在长方形$ ABCD $外侧作正方形$ CFGH $和正方形$ CEMN $。若长方形$ CEFP $的面积为$ 160 $，求阴影部分的面积之和。
阅读材料
若$ x $满足$ (30 - x)(x - 10) = 100 $，求代数式$ (30 - x)^{2} + (x - 10)^{2} $的值。
解：设$ 30 - x = a $，$ x - 10 = b $，则$ ab = (30 - x)(x - 10) = 100 $，$ a + b = (30 - x) + (x - 10) = 20 $，所以$ (30 - x)^{2} + (x - 10)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 20^{2} - 2 × 100 = 200 $。
解决问题
(1) 若$ x $满足$ (2025 - x)(x - 2021) = 2 $，则$ (2025 - x)^{2} + (x - 2021)^{2} = $
12
；(2) 若$ x $满足$ (2025 - x)^{2} + (x - 2022)^{2} = 5 $，求代数式$ (2025 - x)(x - 2022) $的值；
(3) 如图，在长方形$ ABCD $中，$ CD = 20 $，$ BC = 12 $，点$ E $，$ F $分别在$ BC $，$ CD $上，且$ BE = DF = x $，分别以$ FC $，$ CE $为边在长方形$ ABCD $外侧作正方形$ CFGH $和正方形$ CEMN $。若长方形$ CEFP $的面积为$ 160 $，求阴影部分的面积之和。
答案
19. （1）12 解析：设$2025 - x = m$，$x - 2021 = n$，则$mn=(2025 - x)(x - 2021)=2$，$m + n=(2025 - x)+(x - 2021)=4$，所以$(2025 - x)^{2}+(x - 2021)^{2}=m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=4^{2}-2×2=12$。（2）设$2025 - x = c$，$x - 2022 = d$，则$c^{2}+d^{2}=(2025 - x)^{2}+(x - 2022)^{2}=5$，$c + d=(2025 - x)+(x - 2022)=3$，所以$(2025 - x)(x - 2022)=cd=\frac{1}{2}[(c + d)^{2}-(c^{2}+d^{2})]=\frac{1}{2}×(3^{2}-5)=2$。（3）因为$CD = 20$，$BC = 12$，$BE = DF = x$，所以$CF = CD - DF = 20 - x$，$CE = BC - BE = 12 - x$。因为$S_{长方形CEPF}=CF· CE = 160$，所以$(20 - x)(12 - x)=160$。设$20 - x = p$，$12 - x = q$，则$pq=(20 - x)(12 - x)=160$，$p - q=(20 - x)-(12 - x)=8$，所以阴影部分的面积之和为$CF^{2}+CE^{2}=(20 - x)^{2}+(12 - x)^{2}=p^{2}+q^{2}=(p - q)^{2}+2pq=8^{2}+2×160=384$。
