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1. (2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数 $ a , b , c $的计算公式:$ a = \frac { 1 } { 2 } ( m ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) $,$ b = m n $,$ c = \frac { 1 } { 2 } ( m ^ { 2 } + n ^ { 2 } ) $,其中 $ m ＞ n ＞ 0 $,$ m $,$ n $ 是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是 ()
A. $ 3 , 4 , 5 $
B. $ 5 , 12 , 13 $
C. $ 6 , 8 , 10 $
D. $ 7 , 24 , 25 $
A. $ 3 , 4 , 5 $
B. $ 5 , 12 , 13 $
C. $ 6 , 8 , 10 $
D. $ 7 , 24 , 25 $
答案
C 解析：$\because a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2}),b=mn,c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2}),\therefore a^{2}+b^{2}=$
$[\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})]^{2}+(mn)^{2}=\frac{1}{4}(m^{2}-n^{2})^{2}+m^{2}n^{2}=\frac{1}{4}m^{4}+\frac{1}{2}m^{2}n^{2}+$
$\frac{1}{4}n^{4}.\because c^{2}=[\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})]^{2}=\frac{1}{4}(m^{2}+n^{2})^{2}=\frac{1}{4}m^{4}+\frac{1}{2}m^{2}n^{2}+$
$\frac{1}{4}n^{4},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2},\therefore a,b$是直角三角形的直角边.$\because m,n$是互质的
奇数，$\therefore$ A.$3=1×3,\therefore$当$m=3,n=1$时，$a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=4,b=mn=$
$3,c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=5,\therefore 3,4,5$能由该勾股数计算公式直接得出；
B.$5=1×5,\therefore$当$m=5,n=1$时，$a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=12,b=mn=5,c=$
$\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=13,\therefore 5,12,13$能由该勾股数计算公式直接得出；
C.$6=2×3,8=2×4,10=2×5,\because m,n$是互质的奇数，$\therefore 6,8,10$不能由
该勾股数计算公式直接得出；D.$7=1×7,\therefore$当$m=7,n=1$时，$a=$
$\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=24,b=mn=7,c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=25,\therefore 7,24,25$能由该
勾股数计算公式直接得出.故选 C.
$[\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})]^{2}+(mn)^{2}=\frac{1}{4}(m^{2}-n^{2})^{2}+m^{2}n^{2}=\frac{1}{4}m^{4}+\frac{1}{2}m^{2}n^{2}+$
$\frac{1}{4}n^{4}.\because c^{2}=[\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})]^{2}=\frac{1}{4}(m^{2}+n^{2})^{2}=\frac{1}{4}m^{4}+\frac{1}{2}m^{2}n^{2}+$
$\frac{1}{4}n^{4},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2},\therefore a,b$是直角三角形的直角边.$\because m,n$是互质的
奇数，$\therefore$ A.$3=1×3,\therefore$当$m=3,n=1$时，$a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=4,b=mn=$
$3,c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=5,\therefore 3,4,5$能由该勾股数计算公式直接得出；
B.$5=1×5,\therefore$当$m=5,n=1$时，$a=\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=12,b=mn=5,c=$
$\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=13,\therefore 5,12,13$能由该勾股数计算公式直接得出；
C.$6=2×3,8=2×4,10=2×5,\because m,n$是互质的奇数，$\therefore 6,8,10$不能由
该勾股数计算公式直接得出；D.$7=1×7,\therefore$当$m=7,n=1$时，$a=$
$\frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})=24,b=mn=7,c=\frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})=25,\therefore 7,24,25$能由该
勾股数计算公式直接得出.故选 C.
2. (2024·德阳模拟)勾股定理最早出自《周髀算经》:“勾广三,股修四,经隅五.”观察下列勾股数:$ 3 , 4 , 5 $;$ 5 , 12 , 13 $;$ 7 , 24 , 25 $;…$ $,这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦与股相差 1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差 2 的一类勾股数,如 $ 6 , 8 , 10 $;$ 8 , 15 , 17 $;…$ $,若此类勾股数的勾为 $ 2 m $ ($ m \geq 3 $,$ m $ 为正整数),则其股是____(结果用含 $ m $ 的式子表示).
答案
$m^{2}-1$ 解析：$\because m$为正整数，$\therefore 2m$为偶数，设其股是$a$，则弦为$a+2$，
根据勾股定理得，$(2m)^{2}+a^{2}=(a+2)^{2}$，解得$a=m^{2}-1$.
根据勾股定理得，$(2m)^{2}+a^{2}=(a+2)^{2}$，解得$a=m^{2}-1$.
3. 新趋势 项目式学习 勾股定理是一个基本的几何定理,在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数,这样的直角三角形叫“整数直角三角形”,这三个整数叫作一组“勾股数”.
【探究 1】
(1)①如果 $ a , b , c $ 是一组勾股数,即满足 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $,则 $ k a , k b , k c $ ($ k $ 为正整数)也是一组勾股数.如:$ 3 , 4 , 5 $ 是一组勾股数,则____也是一组勾股数.
②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数,毕达哥拉斯学派就曾提出 $ a = 2 n + 1 $,$ b = 2 n ^ { 2 } + 2 n $,$ c = 2 n ^ { 2 } + 2 n + 1 $ ($ n $ 为正整数)是一组勾股数,证明满足以上公式的 $ a , b , c $ 是一组勾股数.
【探究 2】
(2)观察 $ 3 , 4 , 5 $;$ 5 , 12 , 13 $;$ 7 , 24 , 25 $;…$ $,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从 3 起就没有间断过,并且勾为 3 时,股 $ 4 = \frac { 1 } { 2 } × ( 9 - 1 ) $,弦 $ 5 = \frac { 1 } { 2 } × ( 9 + 1 ) $;勾为 5 时,股 $ 12 = \frac { 1 } { 2 } × ( 25 - 1 ) $,弦 $ 13 = \frac { 1 } { 2 } × ( 25 + 1 ) $.
请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:
①如果勾为 7,则股 $ 24 = $____;弦 $ 25 = $____.
②如果用 $ n $ ($ n \geq 3 $,且 $ n $ 为奇数)表示勾,请用含有 $ n $ 的式子表示股和弦,则股= ____,弦=
【探究 3】
(3)①在无数组勾股数中,是否存在三个连续偶数能组成勾股数? 若存在,试写出一组勾股数;若不存在,请说明理由.
②在无数组勾股数中,是否存在三个连续奇数能组成勾股数? 若存在,求出勾股数;若不存在,说明理由.
【探究 1】
(1)①如果 $ a , b , c $ 是一组勾股数,即满足 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 } $,则 $ k a , k b , k c $ ($ k $ 为正整数)也是一组勾股数.如:$ 3 , 4 , 5 $ 是一组勾股数,则____也是一组勾股数.
②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数,毕达哥拉斯学派就曾提出 $ a = 2 n + 1 $,$ b = 2 n ^ { 2 } + 2 n $,$ c = 2 n ^ { 2 } + 2 n + 1 $ ($ n $ 为正整数)是一组勾股数,证明满足以上公式的 $ a , b , c $ 是一组勾股数.
【探究 2】
(2)观察 $ 3 , 4 , 5 $;$ 5 , 12 , 13 $;$ 7 , 24 , 25 $;…$ $,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从 3 起就没有间断过,并且勾为 3 时,股 $ 4 = \frac { 1 } { 2 } × ( 9 - 1 ) $,弦 $ 5 = \frac { 1 } { 2 } × ( 9 + 1 ) $;勾为 5 时,股 $ 12 = \frac { 1 } { 2 } × ( 25 - 1 ) $,弦 $ 13 = \frac { 1 } { 2 } × ( 25 + 1 ) $.
请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:
①如果勾为 7,则股 $ 24 = $____;弦 $ 25 = $____.
②如果用 $ n $ ($ n \geq 3 $,且 $ n $ 为奇数)表示勾,请用含有 $ n $ 的式子表示股和弦,则股= ____,弦=
【探究 3】
(3)①在无数组勾股数中,是否存在三个连续偶数能组成勾股数? 若存在,试写出一组勾股数;若不存在,请说明理由.
②在无数组勾股数中,是否存在三个连续奇数能组成勾股数? 若存在,求出勾股数;若不存在,说明理由.
答案
(1)①6，8，10（答案不唯一）
②$\because (2n+1)^{2}+(2n^{2}+2n)^{2}=4n^{2}+4n+1+4n^{4}+8n^{3}+4n^{2}=4n^{4}+8n^{3}+$
$8n^{2}+4n+1,(2n^{2}+2n+1)^{2}=4n^{4}+8n^{3}+8n^{2}+4n+1,\therefore (2n+1)^{2}+$
$(2n^{2}+2n)^{2}=(2n^{2}+2n+1)^{2},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2},\therefore a,b,c$是一组勾股数.
(2)①$\frac{1}{2}×(49-1)$ $\frac{1}{2}×(49+1)$
②$\frac{1}{2}(n^{2}-1)$ $\frac{1}{2}(n^{2}+1)$
(3)①存在.6，8，10.
②不存在.理由：$\because$(奇数)$^{2}+$(奇数)$^{2}$是偶数，而(奇数)$^{2}$是奇数
$\therefore$不存在三个连续奇数能组成勾股数.
②$\because (2n+1)^{2}+(2n^{2}+2n)^{2}=4n^{2}+4n+1+4n^{4}+8n^{3}+4n^{2}=4n^{4}+8n^{3}+$
$8n^{2}+4n+1,(2n^{2}+2n+1)^{2}=4n^{4}+8n^{3}+8n^{2}+4n+1,\therefore (2n+1)^{2}+$
$(2n^{2}+2n)^{2}=(2n^{2}+2n+1)^{2},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2},\therefore a,b,c$是一组勾股数.
(2)①$\frac{1}{2}×(49-1)$ $\frac{1}{2}×(49+1)$
②$\frac{1}{2}(n^{2}-1)$ $\frac{1}{2}(n^{2}+1)$
(3)①存在.6，8，10.
②不存在.理由：$\because$(奇数)$^{2}+$(奇数)$^{2}$是偶数，而(奇数)$^{2}$是奇数
$\therefore$不存在三个连续奇数能组成勾股数.
