1. (2024·吉安期末)一只螳螂在一段圆柱形松树树干的点 A 处,在其正上方的点 B 处有一只小虫子,螳螂按如图所示的路线来到 B 处吃掉小虫子.已知树干的底面周长为 20 cm,A,B 两点间的距离为 15 cm,则螳螂绕行的最短路程为______cm.

25 解析:如图,将这段圆柱形松树树干的侧面展开,则线段 AB 的长即为螳螂绕行的最短路程,由题意知,$AC = 20cm$,$BC = 15cm$,在$Rt\triangle ACB$中,$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=25^{2}$,$\therefore AB = 25cm$.即螳螂绕行的最短路程为 25 cm.

2. (2023·广安中考)如图,圆柱形玻璃杯的杯高为 9 cm,底面周长为 16 cm,在杯内壁离杯底 4 cm 的点 A 处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿 1 cm,且与蜂蜜相对的点 B 处,则蚂蚁从外壁 B 处到内壁 A 处所走的最短路程为______cm.(杯壁厚度不计)

10 解析:把圆柱形玻璃杯的侧面展开,部分展开图如图所示.作 B 关于 EF 的对称点$B'$,连接$B'A$,则$B'A$即为最短路程.$\therefore B'A^{2}=B'D^{2}+AD^{2}=8^{2}+6^{2}=10^{2}$,$\therefore B'A = 10cm$.

3. (2025·西安模拟)如图是某校运动会的颁奖台,3 个长方体颁奖台的长均为 80 cm,宽均为 60 cm,1,2,3 号台的高度分别是 40 cm,30 cm,20 cm.若一只蚂蚁从 3 号颁奖台的顶点 A 处沿表面爬到 1 号颁奖台的顶点 B 处,则蚂蚁爬行的最短距离为______.

$60\sqrt{10}cm$ 解析:展开图如图所示,$80 + 20 + 80 = 180(cm)$,$\therefore AB=\sqrt{180^{2}+60^{2}}=60\sqrt{10}(cm)$.

4. 如图,一块长方体砖的宽 AN= 5,长 ND= 10,CD 上的点 B 距地面的高 BD= 8,地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食,那么它需要爬行的最短路程是______.

17 解析:根据题意,画出示意图如图所示,可能的路径有三种情况.连接 AB,则 AB 的长即为 A 处到 B 处的最短路程.①如图①,$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=(5 + 10)^{2}+8^{2}=289$;②如图②,$AB^{2}=AN^{2}+NB^{2}=5^{2}+(10 + 8)^{2}=349$;③如图③,$AB^{2}=AH^{2}+HB^{2}=10^{2}+(5 + 8)^{2}=269$.由于砖放地面上时图②,图③的路线不可到达,所以 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食,需要爬行的最短路程是 17.

5. 如图,高速公路的同一侧有 A,B 两个城镇,它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为 AA'= 2 km,BB'= 4 km,且 A'B'= 8 km.
(1)要在高速公路上的 A',B'之间建一个出口 P,使 A,B 两个城镇到 P 的距离之和最小,请在图中画出 P 的位置;
(2)最短距离为______km.

(1)如图,作点 B 关于 MN 的对称点 C,连接 AC 交 MN 于点 P,则点 P 即为所建出口,此时 A,B 两个城镇到出口 P 的距离之和最小,最短距离为 AC 的长.

(2)10 解析:如图,作$AD⊥BB'$于点 D,在$Rt\triangle ADC$中,$AD = A'B' = 8km$,$DC = 6km$,$\therefore AC = 10km$,即最短距离为 10 km.

6. (1)探究:如图①,点 P,Q 为△ABC 的边 AB,AC 上的两定点,在边 BC 上求作一点 M,使△PQM 的周长最短.
(2)应用:如图②,在长方形 ABCD 中,AB= 6,AD= 8,点 E,F 分别为边 AB,AD 的中点,点 M,N 分别为边 BC,CD 上的动点,求四边形 EFNM 的周长的最小值.
(3)拓展:如图③,在△ABC 中,AC= BC,∠ACB= 90°,点 D 在边 BC 上,BD= 3,DC= 1,点 P 是边 AB 上的动点,试求 PC+PD 的最小值.

(1)如图①所示,作点 P 关于 BC 的对称点$P'$,连接$P'Q$,交 BC 于点 M,连接 PQ,PM,则$PM = P'M$,此时$\triangle PQM$的周长最短为$PQ + PM + QM = PQ + P'M + QM = PQ + P'Q$,$\therefore$点 M 即为所求.

(2)如图②所示,作点 E 关于 BC 的对称点$E'$,作点 F 关于 CD 的对称点$F'$,连接$E'F'$,交 BC 于点 M,交 CD 于点 N,连接 EM,FN,则$EM = E'M$,$FN = F'N$,$\therefore EF + EM + MN + FN = EF + E'M + MN + F'N = EF + E'F'$,$\therefore$此时四边形 EFNM 的周长的最小值为$EF + E'F'$的长.$\because AB = 6$,$AD = 8$,点 E,F 分别为边 AB,AD 的中点,$\therefore AE' = 6 + 3 = 9$,$AF' = 8 + 4 = 12$,$\therefore$在$Rt\triangle AE'F'$中,由勾股定理得$E'F' = 15$.又$\because$在$Rt\triangle AEF$中,$EF = 5$,$\therefore$四边形 EFNM 的周长的最小值$= EF + E'F' = 5 + 15 = 20$.
(3)如图③,过点 C 作$CO⊥AB$于点 O,延长 CO 到点$C'$,使$OC' = OC$,则$C'$是 C 关于 AB 的对称点,连接$DC'$,交 AB 于点 P,连接 CP.此时$PD + PC = PD + PC' = DC'$的值最小.$\because BD = 3$,$DC = 1$,$\therefore BC = 4$.连接$BC'$,由对称性可知$∠C'BA = ∠CBA = 45^{\circ}$,$\therefore ∠CBC' = 90^{\circ}$,$\therefore BC'⊥BC$,$∠BCC' = ∠BC'C = 45^{\circ}$,$\therefore BC = BC' = 4$,$\therefore$在$Rt\triangle C'BD$中,由勾股定理得$DC' = 5$,$\therefore PC + PD$的最小值为 5.