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10.(武侯区期末)(多选)小明利用实验室里的一个烧杯、一些密度已知的液体绘制出m-ρ图像,如图所示,纵坐标m表示烧杯和装满液体的总质量,横坐标ρ表示烧杯内液体的密度。当烧杯中装满密度为ρₓ的液体时,总质量为160g,下列说法正确的是 (
A.烧杯质量为50g
B.烧杯质量为100g
C.ρₓ= 0.5ρ₀
D.ρₓ= 0.4ρ₀
BD
)A.烧杯质量为50g
B.烧杯质量为100g
C.ρₓ= 0.5ρ₀
D.ρₓ= 0.4ρ₀
答案
【解析】：
本题可根据$m - \rho$图像，结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$来求解烧杯质量和$\rho_x$与$\rho_0$的关系。
设烧杯的质量为$m_0$，由图像可知，当液体密度为$\frac{1}{3}\rho_0$时，烧杯和液体的总质量$m_1 = 150g$；当液体密度为$\rho_0$时，烧杯和液体的总质量$m_2 = 250g$。
根据$m = m_0+\rho V$（$V$为烧杯的容积，是定值），可列出方程组：
$\begin{cases}m_0+\frac{1}{3}\rho_0V = 150g&(1)\\m_0+\rho_0V = 250g&(2)\end{cases}$
用$(2)$式减去$(1)$式消去$m_0$可得：
$\begin{aligned}m_0+\rho_0V-(m_0+\frac{1}{3}\rho_0V)&=250g - 150g\\m_0+\rho_0V - m_0-\frac{1}{3}\rho_0V&=100g\\frac{2}{3}\rho_0V&=100g\\\rho_0V&=150g\end{aligned}$
将$\rho_0V = 150g$代入$(1)$式可得：
$m_0+\frac{1}{3}×150g = 150g$
$m_0+50g = 150g$
解得$m_0 = 100g$，即烧杯质量为$100g$。
当烧杯中装满密度为$\rho_x$的液体时，总质量为$160g$，则$\rho_xV = 160g - 100g = 60g$。
因为$\rho_0V = 150g$，所以$\frac{\rho_xV}{\rho_0V}=\frac{60g}{150g}=\frac{2}{5}$，即$\rho_x = 0.4\rho_0$。
【答案】：
BD
本题可根据$m - \rho$图像，结合密度公式$\rho=\frac{m}{V}$来求解烧杯质量和$\rho_x$与$\rho_0$的关系。
设烧杯的质量为$m_0$，由图像可知，当液体密度为$\frac{1}{3}\rho_0$时，烧杯和液体的总质量$m_1 = 150g$；当液体密度为$\rho_0$时，烧杯和液体的总质量$m_2 = 250g$。
根据$m = m_0+\rho V$（$V$为烧杯的容积，是定值），可列出方程组：
$\begin{cases}m_0+\frac{1}{3}\rho_0V = 150g&(1)\\m_0+\rho_0V = 250g&(2)\end{cases}$
用$(2)$式减去$(1)$式消去$m_0$可得：
$\begin{aligned}m_0+\rho_0V-(m_0+\frac{1}{3}\rho_0V)&=250g - 150g\\m_0+\rho_0V - m_0-\frac{1}{3}\rho_0V&=100g\\frac{2}{3}\rho_0V&=100g\\\rho_0V&=150g\end{aligned}$
将$\rho_0V = 150g$代入$(1)$式可得：
$m_0+\frac{1}{3}×150g = 150g$
$m_0+50g = 150g$
解得$m_0 = 100g$，即烧杯质量为$100g$。
当烧杯中装满密度为$\rho_x$的液体时，总质量为$160g$，则$\rho_xV = 160g - 100g = 60g$。
因为$\rho_0V = 150g$，所以$\frac{\rho_xV}{\rho_0V}=\frac{60g}{150g}=\frac{2}{5}$，即$\rho_x = 0.4\rho_0$。
【答案】：
BD
11.(青羊区期末)a、b两个小球分别由ρ甲$= 4g/cm^3、$ρ乙$= 5g/cm^3$的甲、乙两种材料制成,两小球质量之比mₐ:mᵦ= 6:5,体积之比Vₐ:Vᵦ= 3:4,则下列说法正确的是 (
A.若只有一个球是空心,则a球是空心的
B.若只有一个球是空心,则空心球的空心部分与实心部分体积之比为1:4
C.若只有一个球是空心,将空心球的空心部分装满水后两球总质量相等
D.若两球均是空心的,a球的空心部分体积可以比b球的空心部分体积大
CD
)A.若只有一个球是空心,则a球是空心的
B.若只有一个球是空心,则空心球的空心部分与实心部分体积之比为1:4
C.若只有一个球是空心,将空心球的空心部分装满水后两球总质量相等
D.若两球均是空心的,a球的空心部分体积可以比b球的空心部分体积大
答案
解：
1. 计算实心体积比：
由 $ \rho = \frac{m}{V} $ 得 $ V_{\text{实}} = \frac{m}{\rho} $，
$ \frac{V_{a\text{实}}}{V_{b\text{实}}} = \frac{m_a/\rho_{\text{甲}}}{m_b/\rho_{\text{乙}}} = \frac{m_a}{m_b} \cdot \frac{\rho_{\text{乙}}}{\rho_{\text{甲}}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{2} $。
2. 比较实际体积比与实心体积比：
已知 $ \frac{V_a}{V_b} = \frac{3}{4} $，而 $ \frac{V_{a\text{实}}}{V_{b\text{实}}} = \frac{3}{2} $。
若两球均实心，$ V_a:V_b = 3:2 $，但实际 $ V_a:V_b = 3:4 $，说明 $ b $ 球体积偏大，可能空心。
3. 若只有一个球空心：
设 $ V_a = 3V $，$ V_b = 4V $。
假设 $ a $ 实心，则 $ V_{a\text{实}} = 3V $，由 $ \frac{V_{a\text{实}}}{V_{b\text{实}}} = \frac{3}{2} $ 得 $ V_{b\text{实}} = 2V $，
$ b $ 球空心体积 $ V_{b\text{空}} = V_b - V_{b\text{实}} = 4V - 2V = 2V $，
空心部分与实心部分体积比 $ \frac{V_{b\text{空}}}{V_{b\text{实}}} = \frac{2V}{2V} = 1:1 $，B 错误。
假设 $ b $ 实心，$ V_{b\text{实}} = 4V $，则 $ V_{a\text{实}} = 6V ＞ V_a = 3V $，矛盾，故只能 $ b $ 空心，A 错误。
4. 选项 C：
$ b $ 空心装满水后质量 $ m_b' = m_b + \rho_{\text{水}}V_{b\text{空}} = 5m + 1g/cm^3 \cdot 2V $，
$ m_a = 6m $，$ V_{a\text{实}} = 3V = \frac{m_a}{\rho_{\text{甲}}} = \frac{6m}{4g/cm^3} \Rightarrow m = 2V $，
$ m_b' = 5 × 2V + 2V = 12V $，$ m_a = 6 × 2V = 12V $，质量相等，C 正确。
5. 选项 D：
两球均空心时，设 $ V_{a\text{空}} = x $，$ V_{b\text{空}} = y $，
$ V_a = V_{a\text{实}} + x $，$ V_b = V_{b\text{实}} + y $，
只要满足 $ \frac{V_{a\text{实}} + x}{V_{b\text{实}} + y} = \frac{3}{4} $，$ x $ 可大于 $ y $，D 正确。
答案：CD
1. 计算实心体积比：
由 $ \rho = \frac{m}{V} $ 得 $ V_{\text{实}} = \frac{m}{\rho} $，
$ \frac{V_{a\text{实}}}{V_{b\text{实}}} = \frac{m_a/\rho_{\text{甲}}}{m_b/\rho_{\text{乙}}} = \frac{m_a}{m_b} \cdot \frac{\rho_{\text{乙}}}{\rho_{\text{甲}}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{2} $。
2. 比较实际体积比与实心体积比：
已知 $ \frac{V_a}{V_b} = \frac{3}{4} $，而 $ \frac{V_{a\text{实}}}{V_{b\text{实}}} = \frac{3}{2} $。
若两球均实心，$ V_a:V_b = 3:2 $，但实际 $ V_a:V_b = 3:4 $，说明 $ b $ 球体积偏大，可能空心。
3. 若只有一个球空心：
设 $ V_a = 3V $，$ V_b = 4V $。
假设 $ a $ 实心，则 $ V_{a\text{实}} = 3V $，由 $ \frac{V_{a\text{实}}}{V_{b\text{实}}} = \frac{3}{2} $ 得 $ V_{b\text{实}} = 2V $，
$ b $ 球空心体积 $ V_{b\text{空}} = V_b - V_{b\text{实}} = 4V - 2V = 2V $，
空心部分与实心部分体积比 $ \frac{V_{b\text{空}}}{V_{b\text{实}}} = \frac{2V}{2V} = 1:1 $，B 错误。
假设 $ b $ 实心，$ V_{b\text{实}} = 4V $，则 $ V_{a\text{实}} = 6V ＞ V_a = 3V $，矛盾，故只能 $ b $ 空心，A 错误。
4. 选项 C：
$ b $ 空心装满水后质量 $ m_b' = m_b + \rho_{\text{水}}V_{b\text{空}} = 5m + 1g/cm^3 \cdot 2V $，
$ m_a = 6m $，$ V_{a\text{实}} = 3V = \frac{m_a}{\rho_{\text{甲}}} = \frac{6m}{4g/cm^3} \Rightarrow m = 2V $，
$ m_b' = 5 × 2V + 2V = 12V $，$ m_a = 6 × 2V = 12V $，质量相等，C 正确。
5. 选项 D：
两球均空心时，设 $ V_{a\text{空}} = x $，$ V_{b\text{空}} = y $，
$ V_a = V_{a\text{实}} + x $，$ V_b = V_{b\text{实}} + y $，
只要满足 $ \frac{V_{a\text{实}} + x}{V_{b\text{实}} + y} = \frac{3}{4} $，$ x $ 可大于 $ y $，D 正确。
答案：CD
12.(新编)空心砖在建筑施工中广泛应用,如图所示,质量为3.6kg的某型号空心砖,空心部分占总体积的40%。
(1)求制作砖块材料的密度。
(2)生产一块空心砖将比同规格实心砖节约材料多少千克?
(1)求制作砖块材料的密度。
(2)生产一块空心砖将比同规格实心砖节约材料多少千克?
答案
解：（1）由图可知，空心砖的长、宽、高分别为20cm、10cm、15cm，
空心砖的总体积：$V_{总}=20cm×10cm×15cm=3000cm^{3}=3×10^{-3}m^{3}$，
空心部分占总体积的40%，则材料的体积：$V_{材料}=V_{总}(1 - 40\%)=3×10^{-3}m^{3}×60\% = 1.8×10^{-3}m^{3}$，
材料的密度：$\rho=\frac{m}{V_{材料}}=\frac{3.6kg}{1.8×10^{-3}m^{3}}=2×10^{3}kg/m^{3}$。
（2）同规格实心砖的体积等于空心砖的总体积$V_{总}=3×10^{-3}m^{3}$，
实心砖的质量：$m_{实心}=\rho V_{总}=2×10^{3}kg/m^{3}×3×10^{-3}m^{3}=6kg$，
节约材料的质量：$\Delta m=m_{实心}-m=6kg - 3.6kg=2.4kg$。
（1）制作砖块材料的密度为$2×10^{3}kg/m^{3}$；（2）生产一块空心砖将比同规格实心砖节约材料2.4kg。
空心砖的总体积：$V_{总}=20cm×10cm×15cm=3000cm^{3}=3×10^{-3}m^{3}$，
空心部分占总体积的40%，则材料的体积：$V_{材料}=V_{总}(1 - 40\%)=3×10^{-3}m^{3}×60\% = 1.8×10^{-3}m^{3}$，
材料的密度：$\rho=\frac{m}{V_{材料}}=\frac{3.6kg}{1.8×10^{-3}m^{3}}=2×10^{3}kg/m^{3}$。
（2）同规格实心砖的体积等于空心砖的总体积$V_{总}=3×10^{-3}m^{3}$，
实心砖的质量：$m_{实心}=\rho V_{总}=2×10^{3}kg/m^{3}×3×10^{-3}m^{3}=6kg$，
节约材料的质量：$\Delta m=m_{实心}-m=6kg - 3.6kg=2.4kg$。
（1）制作砖块材料的密度为$2×10^{3}kg/m^{3}$；（2）生产一块空心砖将比同规格实心砖节约材料2.4kg。
13.(乌鲁木齐中考)飞机某合金部件由甲、乙两种金属构成,已知甲、乙按质量比2:1混合后的密度与甲、乙按体积比3:4混合后的密度相等,则甲、乙的密度之比为______
6:1
。若该合金部件比传统上全部使用金属甲时重量减少了50%,则该合金部件中甲、乙的质量之比为______1:5
。答案
解：设甲的密度为$\rho_甲$，乙的密度为$\rho_乙$。
（1）当甲、乙按质量比$2:1$混合时，设甲质量为$2m$，乙质量为$m$，总质量$m_总=3m$。
混合后体积$V_总=\frac{2m}{\rho_甲}+\frac{m}{\rho_乙}$，混合密度$\rho_1=\frac{m_总}{V_总}=\frac{3m}{\frac{2m}{\rho_甲}+\frac{m}{\rho_乙}}=\frac{3\rho_甲\rho_乙}{2\rho_乙+\rho_甲}$。
当甲、乙按体积比$3:4$混合时，设甲体积为$3V$，乙体积为$4V$，总体积$V_总'=7V$。
混合后质量$m_总'=3V\rho_甲 + 4V\rho_乙$，混合密度$\rho_2=\frac{m_总'}{V_总'}=\frac{3\rho_甲 + 4\rho_乙}{7}$。
由$\rho_1 = \rho_2$，得$\frac{3\rho_甲\rho_乙}{2\rho_乙+\rho_甲}=\frac{3\rho_甲 + 4\rho_乙}{7}$，化简得$3\rho_甲^2 - 17\rho_甲\rho_乙 + 6\rho_乙^2 = 0$，解得$\rho_甲: \rho_乙 = 6:1$（另一解$1:3$舍去）。
（2）设合金部件质量为$m$，传统全用甲时质量为$2m$，体积$V = \frac{2m}{\rho_甲}$。
设合金中甲质量为$m_甲$，乙质量为$m_乙$，则$m_甲 + m_乙 = m$，且$\frac{m_甲}{\rho_甲}+\frac{m_乙}{\rho_乙}=V=\frac{2m}{\rho_甲}$。
将$\rho_甲 = 6\rho_乙$代入，解得$m_甲: m_乙 = 1:5$。
答案：$6:1$；$1:5$
（1）当甲、乙按质量比$2:1$混合时，设甲质量为$2m$，乙质量为$m$，总质量$m_总=3m$。
混合后体积$V_总=\frac{2m}{\rho_甲}+\frac{m}{\rho_乙}$，混合密度$\rho_1=\frac{m_总}{V_总}=\frac{3m}{\frac{2m}{\rho_甲}+\frac{m}{\rho_乙}}=\frac{3\rho_甲\rho_乙}{2\rho_乙+\rho_甲}$。
当甲、乙按体积比$3:4$混合时，设甲体积为$3V$，乙体积为$4V$，总体积$V_总'=7V$。
混合后质量$m_总'=3V\rho_甲 + 4V\rho_乙$，混合密度$\rho_2=\frac{m_总'}{V_总'}=\frac{3\rho_甲 + 4\rho_乙}{7}$。
由$\rho_1 = \rho_2$，得$\frac{3\rho_甲\rho_乙}{2\rho_乙+\rho_甲}=\frac{3\rho_甲 + 4\rho_乙}{7}$，化简得$3\rho_甲^2 - 17\rho_甲\rho_乙 + 6\rho_乙^2 = 0$，解得$\rho_甲: \rho_乙 = 6:1$（另一解$1:3$舍去）。
（2）设合金部件质量为$m$，传统全用甲时质量为$2m$，体积$V = \frac{2m}{\rho_甲}$。
设合金中甲质量为$m_甲$，乙质量为$m_乙$，则$m_甲 + m_乙 = m$，且$\frac{m_甲}{\rho_甲}+\frac{m_乙}{\rho_乙}=V=\frac{2m}{\rho_甲}$。
将$\rho_甲 = 6\rho_乙$代入，解得$m_甲: m_乙 = 1:5$。
答案：$6:1$；$1:5$
14.(新编)成都市质检部门对市场上某品牌50°白酒进行质量抽样检查(提示:白酒度数是指酒精体积占白酒体积的百分比,例如60°的白酒,酒精的体积百分比是60%)。他们抽取了500mL该品牌的白酒,测得其质量为455g。已知酒精的密度ρ酒精$= 0.8×10^3kg/m^3,$水的密度ρ水$= 1.0×10^3kg/m^3。$本题不考虑温度对密度的影响,并设酒精和水混合后的体积不变。
(1)求合格的500mL50°白酒的平均密度。
(2)请通过计算说明,该被查白酒的实际度数是否达标。
(3)兴趣小组想找到白酒度数和白酒平均密度的关系,若分别以ρ水、ρ酒精、ρ白酒表示水、纯酒精、白酒的密度,以T表示白酒度数,请你导出T与ρ水、ρ酒精、ρ白酒的关系式。
(1)求合格的500mL50°白酒的平均密度。
(2)请通过计算说明,该被查白酒的实际度数是否达标。
(3)兴趣小组想找到白酒度数和白酒平均密度的关系,若分别以ρ水、ρ酒精、ρ白酒表示水、纯酒精、白酒的密度,以T表示白酒度数,请你导出T与ρ水、ρ酒精、ρ白酒的关系式。
答案
【解析】：
本题主要考查了密度公式的应用以及根据题目信息进行分析计算的能力。
(1)要求合格的$500mL50^\circ$白酒的平均密度，需要先计算出合格白酒中酒精和水的体积，再根据密度公式分别求出它们的质量，最后求出总质量除以总体积得到平均密度。
(2)要判断被查白酒的实际度数是否达标，需要先根据测量的质量和已知的酒精、水密度求出实际酒精的体积，再计算出实际度数与$50^\circ$进行比较。
(3)要导出白酒度数$T$与$\rho_{水}$、$\rho_{酒精}$、$\rho_{白酒}$的关系式，需要根据白酒度数的定义设出酒精和水的体积，再根据密度公式表示出总质量和总体积，最后通过变形得到关系式。
【答案】：
(1)合格的$500mL50^\circ$白酒中，酒精的体积$V_{酒精}=500mL × 50\%=250mL=250cm^{3}$，水的体积$V_{水}=500mL-250mL=250mL=250cm^{3}$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得酒精的质量$m_{酒精}=\rho_{酒精}V_{酒精}=0.8g/cm^{3} × 250cm^{3}=200g$，水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0g/cm^{3} × 250cm^{3}=250g$。
则白酒的总质量$m=m_{酒精}+m_{水}=200g+250g=450g$，所以合格的$500mL50^\circ$白酒的平均密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{450g}{500cm^{3}}=0.9g/cm^{3}=0.9 × 10^{3}kg/m^{3}$。
(2)设$500mL$该品牌白酒中含酒精的体积为$V_{实}$，则水的体积为$V_{水实}=500cm^{3}-V_{实}$，
由题意可得：$\rho_{酒精}V_{实}+\rho_{水}(500cm^{3}-V_{实})=455g$，
即$0.8g/cm^{3} × V_{实}+1.0g/cm^{3} × (500cm^{3}-V_{实})=455g$，
解得$V_{实}=225cm^{3}$，
则该被查白酒的实际度数为$\frac{225cm^{3}}{500cm^{3}} × 100\%=45\%$，
因为$45\%＜50\%$，所以该被查白酒的实际度数不达标。
(3)设白酒的度数为$T$，则$1m^{3}$该白酒中含酒精的体积为$Tm^{3}$，含水的体积为$(1-T)m^{3}$，
由$\rho=\frac{m}{V}$可得，酒精的质量$m_{酒精}=\rho_{酒精}Tm^{3}$，水的质量$m_{水}=\rho_{水}(1-T)m^{3}$，
则白酒的质量$m=\rho_{酒精}Tm^{3}+\rho_{水}(1-T)m^{3}$，
白酒的体积$V=1m^{3}$，
所以白酒的密度$\rho_{白酒}=\frac{m}{V}=\frac{\rho_{酒精}Tm^{3}+\rho_{水}(1-T)m^{3}}{1m^{3}}=\rho_{酒精}T+\rho_{水}(1-T)=\rho_{水}-(\rho_{水}-\rho_{酒精})T$。
本题主要考查了密度公式的应用以及根据题目信息进行分析计算的能力。
(1)要求合格的$500mL50^\circ$白酒的平均密度，需要先计算出合格白酒中酒精和水的体积，再根据密度公式分别求出它们的质量，最后求出总质量除以总体积得到平均密度。
(2)要判断被查白酒的实际度数是否达标，需要先根据测量的质量和已知的酒精、水密度求出实际酒精的体积，再计算出实际度数与$50^\circ$进行比较。
(3)要导出白酒度数$T$与$\rho_{水}$、$\rho_{酒精}$、$\rho_{白酒}$的关系式，需要根据白酒度数的定义设出酒精和水的体积，再根据密度公式表示出总质量和总体积，最后通过变形得到关系式。
【答案】：
(1)合格的$500mL50^\circ$白酒中，酒精的体积$V_{酒精}=500mL × 50\%=250mL=250cm^{3}$，水的体积$V_{水}=500mL-250mL=250mL=250cm^{3}$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得酒精的质量$m_{酒精}=\rho_{酒精}V_{酒精}=0.8g/cm^{3} × 250cm^{3}=200g$，水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0g/cm^{3} × 250cm^{3}=250g$。
则白酒的总质量$m=m_{酒精}+m_{水}=200g+250g=450g$，所以合格的$500mL50^\circ$白酒的平均密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{450g}{500cm^{3}}=0.9g/cm^{3}=0.9 × 10^{3}kg/m^{3}$。
(2)设$500mL$该品牌白酒中含酒精的体积为$V_{实}$，则水的体积为$V_{水实}=500cm^{3}-V_{实}$，
由题意可得：$\rho_{酒精}V_{实}+\rho_{水}(500cm^{3}-V_{实})=455g$，
即$0.8g/cm^{3} × V_{实}+1.0g/cm^{3} × (500cm^{3}-V_{实})=455g$，
解得$V_{实}=225cm^{3}$，
则该被查白酒的实际度数为$\frac{225cm^{3}}{500cm^{3}} × 100\%=45\%$，
因为$45\%＜50\%$，所以该被查白酒的实际度数不达标。
(3)设白酒的度数为$T$，则$1m^{3}$该白酒中含酒精的体积为$Tm^{3}$，含水的体积为$(1-T)m^{3}$，
由$\rho=\frac{m}{V}$可得，酒精的质量$m_{酒精}=\rho_{酒精}Tm^{3}$，水的质量$m_{水}=\rho_{水}(1-T)m^{3}$，
则白酒的质量$m=\rho_{酒精}Tm^{3}+\rho_{水}(1-T)m^{3}$，
白酒的体积$V=1m^{3}$，
所以白酒的密度$\rho_{白酒}=\frac{m}{V}=\frac{\rho_{酒精}Tm^{3}+\rho_{水}(1-T)m^{3}}{1m^{3}}=\rho_{酒精}T+\rho_{水}(1-T)=\rho_{水}-(\rho_{水}-\rho_{酒精})T$。
