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11. (新编)在平整地面上有一层厚度均匀的积雪,用力向下踩,形成了一个下凹的脚印,如图所示。脚印下的雪被挤压后可近似看成冰层,用刻度尺分别测出雪的厚度H和冰的厚度h,冰的密度为$\rho_{冰}$。测得积雪的密度$\rho_{雪}=$____
$\frac{h}{H}\rho_{冰}$
(用H、h和$\rho_{冰}$表达)。考虑到脚印下的雪并未完全结成冰,用上述表达式得到的积雪密度与真实值相比____偏小
(选填“偏大”或“偏小”)。答案
【解析】：
本题主要考查密度公式的应用以及如何通过物理原理测量积雪的密度，需要理解积雪被踩压成冰后质量不变这一关键点，利用密度公式建立等式求解积雪密度，同时要考虑实际情况下积雪并未完全结成冰对测量结果的影响。
首先，设脚印的面积为$S$。根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$（其中$\rho$为密度，$m$为质量，$V$为体积），分别表示出积雪的质量$m_{雪}$和冰的质量$m_{冰}$。
积雪的体积$V_{雪}=SH$，所以积雪的质量$m_{雪}=\rho_{雪}V_{雪}=\rho_{雪}SH$。
冰的体积$V_{冰}=Sh$，所以冰的质量$m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}=\rho_{冰}Sh$。
由于脚印下的雪被挤压成冰后质量不变，即$m_{雪}=m_{冰}$，那么$\rho_{雪}SH = \rho_{冰}Sh$。
通过等式变形求解$\rho_{雪}$，两边同时除以$SH$，可得$\rho_{雪}=\frac{h}{H}\rho_{冰}$。
考虑到实际情况，脚印下的雪并未完全结成冰，这意味着我们计算时用的冰的质量$m_{冰}$比实际完全结成冰时的质量要小。而我们是根据$m_{雪}=m_{冰}$来计算积雪密度的，在$V_{雪}=SH$不变的情况下，由于计算用的$m_{冰}$偏小，根据$\rho_{雪}=\frac{m_{冰}}{V_{雪}}$，得到的积雪密度$\rho_{雪}$就会偏小。
【答案】：
$\frac{h}{H}\rho_{冰}$；偏小
本题主要考查密度公式的应用以及如何通过物理原理测量积雪的密度，需要理解积雪被踩压成冰后质量不变这一关键点，利用密度公式建立等式求解积雪密度，同时要考虑实际情况下积雪并未完全结成冰对测量结果的影响。
首先，设脚印的面积为$S$。根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$（其中$\rho$为密度，$m$为质量，$V$为体积），分别表示出积雪的质量$m_{雪}$和冰的质量$m_{冰}$。
积雪的体积$V_{雪}=SH$，所以积雪的质量$m_{雪}=\rho_{雪}V_{雪}=\rho_{雪}SH$。
冰的体积$V_{冰}=Sh$，所以冰的质量$m_{冰}=\rho_{冰}V_{冰}=\rho_{冰}Sh$。
由于脚印下的雪被挤压成冰后质量不变，即$m_{雪}=m_{冰}$，那么$\rho_{雪}SH = \rho_{冰}Sh$。
通过等式变形求解$\rho_{雪}$，两边同时除以$SH$，可得$\rho_{雪}=\frac{h}{H}\rho_{冰}$。
考虑到实际情况，脚印下的雪并未完全结成冰，这意味着我们计算时用的冰的质量$m_{冰}$比实际完全结成冰时的质量要小。而我们是根据$m_{雪}=m_{冰}$来计算积雪密度的，在$V_{雪}=SH$不变的情况下，由于计算用的$m_{冰}$偏小，根据$\rho_{雪}=\frac{m_{冰}}{V_{雪}}$，得到的积雪密度$\rho_{雪}$就会偏小。
【答案】：
$\frac{h}{H}\rho_{冰}$；偏小
12. (新编)(多选)如图所示,均匀圆柱体甲和盛有液体乙的薄壁薄底圆柱形容器置于水平地面,圆柱体和容器的高度相等但底面积不同,甲物体的质量等于容器中液体乙的质量。现沿水平方向截取部分圆柱体甲并从容器内抽取部分液体乙,使得它们剩余部分的高度或深度均为h,则甲、乙的密度$\rho_{甲}$、$\rho_{乙}以及它们截取或抽取部分质量m_{甲}$、$m_{乙}$的关系正确的是 (
A.$\rho_{甲}＜\rho_{乙}$
B.$m_{甲}＞m_{乙}$
C.$m_{甲}＜m_{乙}$
D.$\rho_{甲}＞\rho_{乙}$
AB
)A.$\rho_{甲}＜\rho_{乙}$
B.$m_{甲}＞m_{乙}$
C.$m_{甲}＜m_{乙}$
D.$\rho_{甲}＞\rho_{乙}$
答案
AB
13. (新编)小华做了如下四步实验,如图所示,请计算：
(1)瓶的容积。
(2)金属球的质量。
(3)金属球的密度。
(1)瓶的容积。
(2)金属球的质量。
(3)金属球的密度。
答案
解：
(1) 水的质量 $ m_{\text{水}} = m_{2} - m_{1} = 0.4\,\text{kg} - 0.1\,\text{kg} = 0.3\,\text{kg} $
由 $ \rho = \frac{m}{V} $ 得，瓶的容积 $ V = V_{\text{水}} = \frac{m_{\text{水}}}{\rho_{\text{水}}} = \frac{0.3\,\text{kg}}{1.0 × 10^{3}\,\text{kg/m}^3} = 3 × 10^{-4}\,\text{m}^3 $
(2) 金属球的质量 $ m_{\text{球}} = m_{3} - m_{1} = 0.8\,\text{kg} - 0.1\,\text{kg} = 0.7\,\text{kg} $
(3) 瓶、球和水的总质量中，水的质量 $ m_{\text{水}}' = m_{4} - m_{3} = 1.0\,\text{kg} - 0.8\,\text{kg} = 0.2\,\text{kg} $
此时水的体积 $ V_{\text{水}}' = \frac{m_{\text{水}}'}{\rho_{\text{水}}} = \frac{0.2\,\text{kg}}{1.0 × 10^{3}\,\text{kg/m}^3} = 2 × 10^{-4}\,\text{m}^3 $
金属球的体积 $ V_{\text{球}} = V - V_{\text{水}}' = 3 × 10^{-4}\,\text{m}^3 - 2 × 10^{-4}\,\text{m}^3 = 1 × 10^{-4}\,\text{m}^3 $
金属球的密度 $ \rho_{\text{球}} = \frac{m_{\text{球}}}{V_{\text{球}}} = \frac{0.7\,\text{kg}}{1 × 10^{-4}\,\text{m}^3} = 7 × 10^{3}\,\text{kg/m}^3 $
答：(1) 瓶的容积为 $ 3 × 10^{-4}\,\text{m}^3 $；(2) 金属球的质量为 $ 0.7\,\text{kg} $；(3) 金属球的密度为 $ 7 × 10^{3}\,\text{kg/m}^3 $。
(1) 水的质量 $ m_{\text{水}} = m_{2} - m_{1} = 0.4\,\text{kg} - 0.1\,\text{kg} = 0.3\,\text{kg} $
由 $ \rho = \frac{m}{V} $ 得，瓶的容积 $ V = V_{\text{水}} = \frac{m_{\text{水}}}{\rho_{\text{水}}} = \frac{0.3\,\text{kg}}{1.0 × 10^{3}\,\text{kg/m}^3} = 3 × 10^{-4}\,\text{m}^3 $
(2) 金属球的质量 $ m_{\text{球}} = m_{3} - m_{1} = 0.8\,\text{kg} - 0.1\,\text{kg} = 0.7\,\text{kg} $
(3) 瓶、球和水的总质量中，水的质量 $ m_{\text{水}}' = m_{4} - m_{3} = 1.0\,\text{kg} - 0.8\,\text{kg} = 0.2\,\text{kg} $
此时水的体积 $ V_{\text{水}}' = \frac{m_{\text{水}}'}{\rho_{\text{水}}} = \frac{0.2\,\text{kg}}{1.0 × 10^{3}\,\text{kg/m}^3} = 2 × 10^{-4}\,\text{m}^3 $
金属球的体积 $ V_{\text{球}} = V - V_{\text{水}}' = 3 × 10^{-4}\,\text{m}^3 - 2 × 10^{-4}\,\text{m}^3 = 1 × 10^{-4}\,\text{m}^3 $
金属球的密度 $ \rho_{\text{球}} = \frac{m_{\text{球}}}{V_{\text{球}}} = \frac{0.7\,\text{kg}}{1 × 10^{-4}\,\text{m}^3} = 7 × 10^{3}\,\text{kg/m}^3 $
答：(1) 瓶的容积为 $ 3 × 10^{-4}\,\text{m}^3 $；(2) 金属球的质量为 $ 0.7\,\text{kg} $；(3) 金属球的密度为 $ 7 × 10^{3}\,\text{kg/m}^3 $。
