【变式2】(一题多解)若函数$f(x) = x^2 - 2x + 6,$则关于m的不等式f(m + 3) ＞ f(2m)的解集为______。

$\left(-\frac{1}{3},3\right)$　方法1:因为$f(x)=x^{2}-2x+6=(x - 1)^{2}+5$，所以$f(x + 1)=(x + 1 - 1)^{2}+5=x^{2}+5$，即$f(x + 1)$为偶函数。设$g(x)=f(x + 1)$，则函数$g(x)$为偶函数，并且在$[0,+\infty)$上单调递增，所以不等式$f(m + 3)＞f(2m)$可转化为$f(m + 2 + 1)＞f(2m - 1 + 1)$，即$g(m + 2)＞g(2m - 1)$，则$g(|m + 2|)＞g(|2m - 1|)$，所以$|m + 2|＞|2m - 1|$。两边平方后，得$3m^{2}-8m - 3＜0$，解得$-\frac{1}{3}＜m＜3$，所以不等式的解集为$\left(-\frac{1}{3},3\right)$。
方法2:函数$f(x)=x^{2}-2x+6$的图象开口向上，对称轴为$x = 1$，由$f(m + 3)＞f(2m)$，得$|m + 3 - 1|＞|2m - 1|$，解得$-\frac{1}{3}＜m＜3$，所以不等式的解集为$\left(-\frac{1}{3},3\right)$。

【典例3】已知f(x),g(x)均为奇函数,且F(x) = af(x) + bg(x) + 2在(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在(-∞,0)上的最小值为______。

【变式3】若函数f(x)是奇函数,且函数g(x) = af(x) + b$\sqrt[3]{x}$ + 2在(0,+∞)上有最大值10,则函数g(x)在(-∞,0)上的最小值为______。

$-6$　已知函数$f(x)$是奇函数，且函数$g(x)=af(x)+b\sqrt[3]{x}+2$。设$h(x)=g(x)-2=af(x)+b\sqrt[3]{x}$。由$h(-x)=af(-x)-b\sqrt[3]{x}=-af(x)-b\sqrt[3]{x}=-h(x)$，得$h(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数。因为函数$g(x)$在$(0,+\infty)$上有最大值$10$，所以函数$h(x)$在$(0,+\infty)$上有最大值$8$，所以$h(x)$在$(-\infty,0)$上有最小值$-8$，所以函数$g(x)$在$(-\infty,0)$上的最小值为$-8 + 2=-6$。

1.若关于y轴对称的函数在[1,4]上单调递增,且最小值为10,则它在[-4,-1]上()
A.单调递增,最大值为10
B.单调递减,最小值为10
C.单调递减,最大值为10
D.单调递增,最小值为10

B　因为函数关于$y$轴对称，在$[1,4]$上单调递增，且最小值为$10$，所以该函数为偶函数，在$[-4,-1]$上单调递减，最小值为$10$。

2.已知函数f(x)是定义在区间[-3,2b]上的偶函数,且在[-2b,0]上单调递减,则不等式f(x + 1) ≥ f(-1)的解集是()
A.(-∞,-2] ∪ [0,+∞)
B.[-4,-2] ∪ [0,2]
C.[-2,0]
D.(-∞,-4] ∪ [2,+∞)

B　因为函数$f(x)$是定义在区间$[-3,2b]$上的偶函数，所以$2b = 3$，解得$b=\frac{3}{2}$，所以其定义域为$[-3,3]$。又因为函数$f(x)$在$[-3,0]$上单调递减，所以函数$f(x)$在$[0,3]$上单调递增。由不等式$f(x + 1)\geq f(-1)$，得$\begin{cases}|x + 1|\geq1\\-3\leq x + 1\leq3\end{cases}$，解得$0\leq x\leq2$或$-4\leq x\leq - 2$。

3.(一题多解)设函数f(x)是定义在实数集上的奇函数,在区间[-1,0)上单调递增,且f(x + 2) = -f(x),则()
A. f($\frac{1}{3}$) ＜ f($\frac{3}{2}$) ＜ f(1)
B. f($\frac{3}{2}$) ＜ f($\frac{1}{3}$) ＜ f(1)
C. f(1) ＜ f($\frac{1}{3}$) ＜ f($\frac{3}{2}$)
D. f($\frac{3}{2}$) ＜ f(1) ＜ f($\frac{1}{3}$)

方法1:因为$f(x)$为奇函数，且在区间$[-1,0)$上单调递增，所以$f(x)$在区间$(0,1]$上单调递增。又因为$f(x + 2)=-f(x)$，所以$f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}+2\right)=-f\left(-\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$。由$\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}＜1$，得$f\left(\frac{1}{3}\right)＜f\left(\frac{1}{2}\right)＜f(1)$，即$f\left(\frac{1}{3}\right)＜f\left(\frac{3}{2}\right)＜f(1)$。
方法2:因为$f(x)$为奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。因为$f(x + 2)=-f(x)$，所以$f\left(\frac{1}{3}\right)=-f\left(-\frac{1}{3}\right)$，$f(1)=-f(-1)$，$f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}+2\right)=-f\left(-\frac{1}{2}\right)$。因为$-1＜-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{3}＜0$，且函数在区间$[-1,0)$上单调递增，所以$f(-1)＜f\left(-\frac{1}{2}\right)＜f\left(-\frac{1}{3}\right)$，所以$-f(-1)＞-f\left(-\frac{1}{2}\right)＞-f\left(-\frac{1}{3}\right)$，即$f(1)＞f\left(\frac{3}{2}\right)＞f\left(\frac{1}{3}\right)$。