1. 判断正误，对的在括号内打“√”，错的在括号内打“×”.
(1)各边相等的多边形是正多边形 （）
(2)各角相等的多边形是正多边形 （）
(3)每边都相等的圆内接多边形是正多边形 （）
(4)每个角都相等的圆内接多边形是正多边形 （）

1.(3)正确，其余错

【分析】
解题时首先要明确正多边形的核心判定条件：必须同时满足各边相等、各内角相等两个要求，二者缺一不可。对于涉及圆内接多边形的判断，可结合同圆中弦、弧、圆周角的对应关系推导，无法直接推导的可尝试举反例验证：
1. 仅满足边相等或仅满足角相等的普通多边形，可找常见的特殊四边形（菱形、矩形）做反例判断；
2. 圆内接多边形边相等时，可通过弦等推弧等，进而推内角相等；
3. 圆内接多边形角相等时，可举圆内接矩形的反例判断。
【解析】
(1) 正多边形要求各边相等且各角相等，仅各边相等不符合要求，反例：菱形各边相等，但内角不一定全部相等，不属于正多边形，故本题错误；
(2) 仅各角相等也不符合正多边形的判定要求，反例：矩形四个内角均为90°，但边长不一定全部相等，不属于正多边形，故本题错误；
(3) 圆内接多边形的各边都是圆的弦，若各边相等则对应弦相等，同圆中相等的弦对应的劣弧相等，因此每个内角所对的弧的度数相等，可推出各内角也相等，同时满足边等、角等两个条件，属于正多边形，故本题正确；
(4) 圆内接多边形各角相等不一定是正多边形，反例：圆内接矩形的四个内角均为90°相等，但邻边长度不一定相等，不属于正多边形，故本题错误。
【答案】
(1)×；(2)×；(3)√；(4)×
【知识点】
1. 正多边形的定义；2. 圆内接多边形的性质
【点评】
本题侧重考察正多边形的判定，易错点是容易遗漏正多边形需要同时满足边相等、角相等两个必要条件，涉及圆内接多边形的判断时，要注意结合圆的相关性质推导，也可通过举反例的方式快速验证结论。
【难度系数】
0.7

2. 已知正多边形的一个内角为$160°$，则这个正多边形的边数为.

2.18

【分析】
遇到已知正多边形一个内角度数求边数的问题，有两种常规解题思路：思路1：利用正多边形每个内角相等的性质，结合多边形内角和公式列方程求解；思路2：利用内角与相邻外角互补的关系先求出一个外角的度数，再结合任意多边形外角和恒为360°的性质，直接用外角和除以单个外角度数得到边数，第二种思路计算更简便。
【解析】
方法1（利用外角和求解）：
∵ 正多边形的每个内角与相邻外角互为邻补角
∴ 该正多边形的一个外角度数为：$180° - 160° = 20°$
∵ 任意多边形的外角和均为$360°$，且正多边形每个外角相等
∴ 边数 $n = 360° ÷ 20° = 18$
方法2（利用内角和公式求解）：
设该正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角和公式可得：
$(n-2) × 180° = 160° × n$
展开得：$180n - 360 = 160n$
移项合并得：$20n = 360$
解得：$n = 18$
【答案】
18
【知识点】
正多边形的性质；多边形外角和；多边形内角和公式
【点评】
本题属于正多边形相关的基础题型，两种解题方法都较为常用，其中利用外角和恒为$360°$的性质求解更为快捷，熟练掌握多边形内外角的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 正n边形的一个外角为24°，那么n=.

3.15

【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是任意多边形的外角和恒为360°，二是正多边形的所有外角度数都相等。要求正n边形的边数n，只需用多边形外角和除以单个外角的度数即可，思路直接清晰。
【解析】
∵ 任意多边形的外角和均为360°，且正n边形的每个外角度数相等
∴ 正n边形的边数$ n = \frac{\mathrm{外角和}}{\mathrm{单个外角的度数}} $
代入已知外角为24°，可得：
$ n = 360° ÷ 24° = 15 $
【答案】
15
【知识点】
1. 多边形外角和定理
2. 正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握多边形外角和固定为360°以及正多边形外角相等的性质，直接代入计算即可求解，是正多边形相关考点的常见基础考法。
【难度系数】
0.9

4.正多边形都是对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是对称图形，又是对称图形。

轴；$n$；中心（或顶点、边的中点）；轴；中心

【分析】
这道题考查正多边形对称性的基础概念，解题时可结合常见正多边形（如正三角形、正方形）的对称特点推导：①首先回忆正多边形的基本对称属性，所有正多边形沿某条直线对折后两侧都能完全重合，可判断第一空的对称类型；②数常见正多边形的对称轴数量：正三角形有3条、正方形有4条，可归纳得出正n边形的对称轴数量规律；③观察对称轴的位置，所有对称轴都会穿过正多边形的中心，部分对称轴过顶点或边的中点；④边数为偶数的正多边形，除了对折能重合，绕中心旋转180°也能和原图形重合，可判断它同时具备两种对称属性。
【解析】
根据正多边形的对称性质逐一填空：
1. 正多边形沿直线对折后两侧可完全重合，因此都是轴对称图形，第一空填“轴”；
2. 正n边形的对称轴数量与边数相等，共有n条对称轴，第二空填“$n$”；
3. 正n边形的每条对称轴都经过它的中心（奇数边正多边形的对称轴过一个顶点和对边中点，偶数边正多边形的对称轴过两个相对顶点或两组对边中点，均过中心），第三空填“中心（或顶点、边的中点）”；
4. 有偶数条边的正多边形，既满足轴对称图形的特征，又满足中心对称图形（绕中心旋转180°与自身重合）的特征，因此既是轴对称图形，又是中心对称图形，第四、第五空分别填“轴”“中心”。
【答案】
轴；$n$；中心（或顶点、边的中点）；轴；中心
【知识点】
正多边形的性质；轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对正多边形对称特征的记忆和理解，结合具体的正多边形实例记忆相关性质，能更准确地掌握对应知识点。
【难度系数】
0.9

5.用一张圆形纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片半径最小应为cm.

5.4

【分析】要找到能剪出指定正六边形的最小圆形纸片，首先明确最小的圆就是正六边形的外接圆，此时圆的半径等于正六边形的外接圆半径。再结合正六边形的性质分析：正六边形的中心角为60°，连接中心和相邻两个顶点形成的三角形是等边三角形，因此外接圆半径和正六边形边长相等，代入边长数值即可求出结果。
【解析】解：若要圆形纸片半径最小，该圆应为所剪正六边形的外接圆。
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，连接正六边形的中心与任意两个相邻顶点，可得两边长为外接圆半径$R$、顶角为$60°$的等腰三角形，该三角形为等边三角形。
因此外接圆半径$R$等于正六边形的边长，已知正六边形边长为4cm，故$R=4$cm，即圆形纸片半径最小为4cm。
【答案】4
【知识点】正多边形与圆的关系；正六边形的性质
【点评】本题主要考察正六边形与其外接圆的对应关系，解题核心是掌握“正六边形的边长等于其外接圆半径”这一特殊性质，属于基础题型，熟练掌握常见正多边形的性质可快速求解。
【难度系数】0.8

6. 如图，已知$\odot O$.
(1)在图1中作出$\odot O$的内接正六边形、内接正三角形.
(2)在图2中作出$\odot O$的内接正方形、正八边形.

解：
(1) 作图步骤：
① 在$\odot O$上任取一点$A$，以$A$为圆心、$OA$长为半径画弧，交$\odot O$于点$B$；再以$B$为圆心、$OA$长为半径画弧，交$\odot O$于点$C$，重复该操作，顺次在圆周上得到点$D$、$E$、$F$。
② 顺次连接点$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$，所得六边形就是$\odot O$的内接正六边形。
③ 从上述6个等分点中，间隔选取$A$、$C$、$E$三个点，顺次连接这三点，所得三角形就是$\odot O$的内接正三角形。
(2) 作图步骤：
① 作$\odot O$的任意一条直径$AC$，再作直径$AC$的垂线，交$\odot O$于$B$、$D$两点，得到两条互相垂直的直径$AC$、$BD$。
② 顺次连接点$A$、$B$、$C$、$D$，所得四边形就是$\odot O$的内接正方形。
③ 分别作四个圆心角$∠ AOB$、$∠ BOC$、$∠ COD$、$∠ DOA$的角平分线，分别交$\odot O$于四个新的点，顺次连接圆周上的这8个点，所得八边形就是$\odot O$的内接正八边形。
按上述步骤操作即可完成全部要求的作图。

【分析】
作圆的内接正多边形的核心思路是将圆周n等分（n为正多边形的边数），每段弧对应的圆心角为$\frac{360°}{n}$，顺次连接等分点即可得到对应正多边形。
(1) 正六边形的圆心角为$60°$，此时弦长恰好等于圆的半径，因此可以用半径为长度依次截取圆周得到6个等分点，顺次连接得到正六边形；正三角形的圆心角为$120°$，从6个等分点中间隔选取3个点，对应圆心角恰好为$120°$，连接即可得到正三角形。
(2) 正方形的圆心角为$90°$，作两条互相垂直的直径即可将圆四等分，顺次连接得到正方形；正八边形的圆心角为$45°$，将四个$90°$的圆心角平分即可得到8个$45°$的圆心角，对应8个等分点，顺次连接得到正八边形。
【解析】
(1) 内接正六边形、内接正三角形作图步骤：
① 在$\odot O$上任取一点$A$，以$A$为圆心、$OA$长为半径画弧，交$\odot O$于点$B$；再以$B$为圆心、$OA$长为半径画弧，交$\odot O$于点$C$，重复该操作，顺次在圆周上得到点$D$、$E$、$F$。
② 顺次连接点$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$，所得六边形就是$\odot O$的内接正六边形。
③ 从上述6个等分点中，间隔选取$A$、$C$、$E$三个点，顺次连接这三点，所得三角形就是$\odot O$的内接正三角形。
(2) 内接正方形、正八边形作图步骤：
① 作$\odot O$的任意一条直径$AC$，再作直径$AC$的垂线，交$\odot O$于$B$、$D$两点，得到两条互相垂直的直径$AC$、$BD$。
② 顺次连接点$A$、$B$、$C$、$D$，所得四边形就是$\odot O$的内接正方形。
③ 分别作四个圆心角$∠ AOB$、$∠ BOC$、$∠ COD$、$∠ DOA$的角平分线，分别交$\odot O$于四个新的点，顺次连接圆周上的这8个点，所得八边形就是$\odot O$的内接正八边形。
【答案】
按上述步骤操作即可完成全部要求的作图。
【知识点】
1. 正多边形与圆
2. 尺规作图
3. 圆心角性质
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查圆内接正多边形的作图原理，核心是利用正多边形的圆心角特征等分圆周，掌握常见正多边形的圆周等分方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8