1[中]如图,已知AC,BD相交于点O,且AB=DC,AC=DB,那么∠A=∠D吗?说明理由.

1.【解】∠A=∠D. 理由如下：
如图,连结BC.
在△ABC和△DCB中,$\begin{cases} AB=DC, \\ AC=DB, \\ BC=CB, \end{cases}$
所以△ABC≌△DCB(SSS),所以∠A=∠D.

2[2025浙江嘉兴期中,中]如图,在一个四边形风筝ABCD中,AB=AD,BC=DC,分别在AB,AD的中点E,F处挂两根彩线EC,FC.求证:EC=FC.

2.【证明】连结 AC. 在 △ABC 与 △ADC 中,
$\begin{cases} AB=AD, \\ BC=DC, \\ AC=AC, \end{cases}$
所 以 △ABC ≌ △ADC ( SSS ),
所以∠EAC=∠FAC. 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以 $AE=\frac{1}{2}AB$,$AF=\frac{1}{2}AD$. 因为 AB = AD,所以 AE=AF.
在△AEC与△AFC中,$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠EAC=∠FAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
所以△AEC≌△AFC(SAS),所以 EC=FC.

3[中]如图，$△ AOB$中，$OA=OB$，$∠ AOB=90°$，$BD$平分$∠ ABO$交$OA$于$D$，$AE ⊥ BD$交$BD$的延长线于$E$. 求证:$BD=2AE$.

3.【证明】如图,延长 BO,AE 交于 F.
因为 BD 平分 ∠ABO,AF ⊥ BD,所以 ∠1= ∠2,∠AEB=∠FEB=90°.
在△ABE 和 △FBE 中,因为$\begin{cases} ∠1=∠2, \\ BE=BE, \\ ∠AEB=∠FEB, \end{cases}$
所以△ABE≌△FBE(ASA),所以 AE=EF. 因为∠AOB= 90°,∠AED = 90°,∠ADE = ∠BDO,所以 ∠2 = ∠OAF. 因为 ∠AOB = 90°,所以 ∠DOB = ∠FOA = 90°. 在△OBD 和 △OAF 中,因为$\begin{cases} ∠2=∠FAO, \\ BO=AO, \\ ∠BOD=∠AOF, \end{cases}$
所以△OBD≌△OAF(ASA),所以 BD = AF. 因为 AE=EF,所以 BD=2AE.

4[中]如图,在四边形ABCD中,AB//CD,E是边AD上的点,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD.求证:(1)$BE ⊥ CE$;(2)$BC=AB+CD$.

4.【证明】(1) 因为 AB//CD,所以 ∠ABC+∠DCB = 180°. 因为 BE 平分 ∠ABC,CE 平分 ∠BCD,所以 $∠EBC=\frac{1}{2}∠ABC$, $∠ECB = \frac{1}{2}∠BCD$,所以 $∠EBC+∠ECB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠BCD)=90°$,所以 ∠BEC= 180°-(∠EBC + ∠ECB) = 180°-90°=90°,所以 BE ⊥ CE.
(2) 如图,在 BC 上截取 BF=AB,连结 EF.
因为 BE 平分 ∠ABC,所以 ∠ABE=∠FBE.
在△BAE 和 △BFE 中,$\begin{cases} BA=BF, \\ ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
所以△BAE≌△BFE(SAS),所以 ∠BEA=∠BEF.
因为 BE ⊥ CE,所以 ∠BEF + ∠CEF = ∠AEB + ∠DEC=90°,所以 ∠FEC=∠DEC.
因为 CE 平分 ∠BCD,所以 ∠ECF=∠ECD.
在△CFE 和 △CDE 中,$\begin{cases} ∠FEC=∠DEC, \\ CE=CE, \\ ∠ECF=∠ECD, \end{cases}$
所以△CFE≌△CDE(ASA),所以 CF=CD,所以 BC=BF+CF=AB+CD.

5[中]如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，试说明：AE=2AD.

5.【解】如图,延长 AD 至 M,使 DM=AD,连结 CM.
因为 AD 是 △ABC 的中线,所以 BD=CD.
在△ABD 和 △MCD 中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠MDC, \\ AD=MD, \end{cases}$
所以△ABD≌△MCD(SAS),所以 MC=AB,∠B=∠MCD. 因为 AB=CE,所以 CM = CE. 因为 ∠BAC = ∠BCA,所以 ∠B + ∠BAC=∠ACB+∠MCD,即 ∠ACE=∠ACM.
在△ACE 和 △ACM 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACE=∠ACM, \\ CE=CM, \end{cases}$
所以△ACE≌△ACM(SAS),所以 AE=AM.
因为 AM=2AD,所以 AE=2AD.

6[中](1)如图(1),已知在$△ ABC$中,AD为中线,求证:$AB+AC＞2AD$.
(2)如图(2),在$△ ABC$中,D是BC边的中点,$DE ⊥ DF$,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连结EF,求证:$BE+CF＞EF$.

6.【证明】(1) 延长 AD 至点 E,使 DE = AD,连结 CE,如图(1),则 AE=2AD.
因为在 △ABC 中,AD 为中线,所以 BD=DC.
在△ABD 与 △ECD 中,$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ DB=DC, \end{cases}$
所以△ABD≌△ECD(SAS),所以 AB=EC.
在△ACE 中,有 AC+CE＞AE,即 AC+AB＞2AD.
(2) 如图(2),延长 FD 至点 H,使 DH=DF,连结 BH,EH.
因为 DE ⊥ DF,所以 ∠EDF=∠EDH=90°.
在△DEF 和 △DEH 中,因为$\begin{cases} DE=DE, \\ ∠EDF=∠EDH, \\ DF=DH, \end{cases}$
所以△DEF≌△DEH(SAS),所以 EH=EF.
因为 D 是 BC 边的中点,所以 BD=CD.
在△BDH 和 △CDF 中,因为$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDH=∠CDF, \\ DH=DF, \end{cases}$
所以△BDH≌△CDF(SAS),所以 CF=BH.
因为 BE+BH＞EH,所以 BE+CF＞EF.