综合与实践 最短路径问题 见答案册第36页
活动目标
1. 会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题；
2. 会通过逻辑推理解决数学问题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案。
活动准备
1. 查阅资料，列举生活中的最短路径问题；
2. 了解施瓦兹三角形。
活动1 牧民饮马问题
1. 原理
如图，在直线$ l $上取一点$ C $，使$ AC+BC $最小。

解：如图①，连接$ AB $交直线$ l $于点$ C $，点$ C $即为所求，根据为两点之间线段最短；
如图②，作点$ B $关于直线$ l $的对称点$ B' $，连接$ AB' $交直线$ l $于点$ C $，点$ C $即为所求。
2. 应用 七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边$ OP $放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地$ A $？

活动2 牧民饮马问题的拓展
1. 原理
(1)一定两动
如图①，在$ OM $和$ ON $上分别取点$ E,F $，使$ PE+EF+PF $最短。
作法：分别作点$ P $关于$ OM $和$ ON $的对称点$ P',P'' $，连接$ PP'' $，分别交$ OM $和$ ON $于点$ E,F $，点$ E,F $即为所求。

(2)两定两动
如图②，在$ OA,OB $上分别取点$ E,F $，使$ ME+EF+NF+MN $最短。
作法：分别作点$ M,N $关于$ OA,OB $的对称点$ M',N' $，连接$ M'N' $，分别交$ OA,OB $于点$ E,F $，点$ E,F $即为所求。
(3)三动点
已知：如图③，在$ △ ABC $中，在三边上分别取$ D,E,F $，使$ △ DEF $的周长最小，作出相应图形并写出作法。
作法：作$ AE ⊥ BC $，垂足为$ E $，作点$ E $关于$ AB,AC $的对称点$ E',E'' $，连接$ E'E'' $，分别交$ AB,AC $于点$ D,F $，点$ D,E,F $即为所求，
2. 应用
(1)如图①，已知$ ∠ AOB=30° $，点$ M $是角内任意一个点，$ OM=5 $，若$ OA $上存在点$ P $，$ OB $上存在点$ Q $使得$ △ MPQ $的周长最小，则最小值为。

(2)[2025厦门思明区校级月考] 如图②，在$ △ ABC $中，$ AB=AC $，$ ∠ A=90° $，点$ D,E $是边$ AB $上的两个定点，点$ M,N $分别是边$ AC,BC $上的两个动点。当四边形$ DEMN $的周长最小时，$ ∠ DNM+∠ EMN $的大小是。
(3)[2025重庆北碚区校级期中] 如图③，在直角三角形$ ABC $中，$ ∠ C=90°,AC=3,BC=4,AB=5 $，$ D,E,F $分别是$ AB,BC,AC $边上的动点，则$ DE+EF+DF $的最小值是。
活动3 造桥选址问题
1. 原理
|问题|作法|最小值|
|---|---|---|
|已知两点$ A,B $，直线$ m // n $，在直线$ m,n $上分别取点$ M,N $，使$ MN ⊥ m $，且$ AM+MN+NB $最小。|将点$ A $沿与直线$ m,n $垂直的方向平移至点$ A' $，使$ AA' $的长等于直线$ m,n $之间的距离，连接$ A'B $，交直线$ n $于点$ N $，过点$ N $作$ NM ⊥ m $于点$ M $，连接$ AM $。|$ AM+MN+NB $的最小值为$ A'B+MN $的长。|

2. 应用
如图，已知$ A,B $两点在直线$ l $的同侧，在$ l $上找两点$ C $和$ D $($ CD $的长度为定值$ a $，$ MN=a $)，使得$ AC+CD+DB $最短.(不要求写画法)

活动1 2.应用：
如图，作点B关于OP的对称点C，连接AC交OP于点T，连接BT，小明按B-T-A的路线跑，去捡T点位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A。
活动2 应用：
(1)5
【点拨】如图，作点M关于OA的对称点E，关于OB的对称点F，连接EP,FQ,OE,OF,EF。
由轴对称的性质可知 PE=PM，MQ = FQ，∠POM = ∠POE，∠QOM=∠QOF，OE=OM=OF，
∴ C△PQM = PM+PQ+QM = PE+PQ+FQ≥EF，且当E,P,Q,F四点共线时，C△PQM最小，即为EF的长。
∵ ∠AOB=∠POM+∠QOM=30°，
∴ ∠EOF=2∠AOB=60°。
∴△EOF为等边三角形。
∴EF=OE=OM=5，
∴△PQM的最小周长为5。
(2)90°
【点拨】如图所示，作点E关于AM的对称点E'，作点D关于BC的对称点D'，连接D'E'，分别交BC,AC于点N'，M'，连接E'M,ND',EM',N'D，
∴ME=ME'，DN=D'N，E'M'=EM'，D'N'=DN'。
∴四边形 DEMN 的周长 = DE+EM+MN+ND = DE+E'M+MN+ND'≥DE+E'D'。
∴点M与M'重合，点N与N'重合时，四边形 DEMN 的周长最小。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°。在△CM'N'中，
∵∠1+∠3+∠C=180°，
∴∠1+∠3=180°-45°=135°。
∵E'M'=EM'，D'N'=DN'，
∴∠AE'M'=∠AEM'，∠N'DP=∠N'D'P，
∴∠EM'N'=2∠AE'M'，∠DN'M'=2∠N'D'P。
∵∠AE'M'=90°-∠2=90°-∠1，∠N'D'P=90°-∠4=90°-∠3。
∴∠DN'M'+∠EM'N' = 2∠N'D'P + 2∠AE'M' = 2(90°-∠3)+2(90°-∠1)=360°-2(∠1+∠3)=360°-2×135°=90°。
∴当四边形 DEMN 的周长最小时，∠DNM+∠EMN 的大小是 90°。
(3)4.8
【点拨】如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM,CN,CD,EN,FM。则 DF = FM，DE = EN，CD = CM，CD = CN，∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，
∴CD=CM=CN。
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°,
∴∠MCD+∠NCD=180°.
∴M,C,N共线.
∴DF+EF+DE=FM+EF+EN≥MN=CM+CN=2CD,
∴当M,F,E,N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+DF最小，最小值为2CD.
∵CD⊥AB，
∴1/2 AB·CD = 1/2 BC·AC.
∴CD= (BC·AC)/AB = (4×3)/5 = 2.4.
∴DE+EF+DF 的最小值为 4.8。
活动3 2.应用：
如图所示，点C,D即为所求。