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11.「2026山东德州期末」如图,线段$AB=18\ \mathrm{cm}$,点$C$在线段$AB$上,$P,Q$是线段$AC$的三等分点,$M,N$是线段$CB$的三等分点,则线段$PN$的长为
12 cm
。答案
11. 12 cm
解析 因为 P,Q 是线段 AC 的三等分点,M,N 是线段 BC 的三等分点,
所以 $PC=\frac{2}{3}AC,CN=\frac{2}{3}BC$,
所以 $PN = PC + CN = \frac{2}{3}AC + \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} × 18 = 12(\mathrm{cm})$.
解析 因为 P,Q 是线段 AC 的三等分点,M,N 是线段 BC 的三等分点,
所以 $PC=\frac{2}{3}AC,CN=\frac{2}{3}BC$,
所以 $PN = PC + CN = \frac{2}{3}AC + \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} × 18 = 12(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
要求线段PN的长度，首先观察线段的组成：PN可拆分为PC与CN的和。已知P、Q是AC的三等分点，根据三等分点的性质可得PC是AC的$\frac{2}{3}$；同理M、N是CB的三等分点，可得CN是CB的$\frac{2}{3}$。再将PC和CN的表达式相加，提取公因式后可发现$AC+CB$刚好等于AB，结合已知AB的长度，代入计算即可求出PN的长，无需单独求AC、CB的长度，运用整体思想可简化计算。
【解析】
∵ P、Q是线段AC的三等分点，
∴ $PC=\frac{2}{3}AC$，
∵ M、N是线段CB的三等分点，
∴ $CN=\frac{2}{3}BC$，
∴ $PN = PC + CN = \frac{2}{3}AC + \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3}(AC+BC)$，
又
∵ $AC+BC=AB=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $PN=\frac{2}{3}×18=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段三等分点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的典型题型，重点考查整体思想的应用，解题时无需单独求解AC、BC的长度，将$AC+BC$看作整体AB代入计算即可，有效简化了运算步骤。
【难度系数】
0.7
要求线段PN的长度，首先观察线段的组成：PN可拆分为PC与CN的和。已知P、Q是AC的三等分点，根据三等分点的性质可得PC是AC的$\frac{2}{3}$；同理M、N是CB的三等分点，可得CN是CB的$\frac{2}{3}$。再将PC和CN的表达式相加，提取公因式后可发现$AC+CB$刚好等于AB，结合已知AB的长度，代入计算即可求出PN的长，无需单独求AC、CB的长度，运用整体思想可简化计算。
【解析】
∵ P、Q是线段AC的三等分点，
∴ $PC=\frac{2}{3}AC$，
∵ M、N是线段CB的三等分点，
∴ $CN=\frac{2}{3}BC$，
∴ $PN = PC + CN = \frac{2}{3}AC + \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3}(AC+BC)$，
又
∵ $AC+BC=AB=18\ \mathrm{cm}$，
∴ $PN=\frac{2}{3}×18=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段三等分点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题是线段运算的典型题型，重点考查整体思想的应用，解题时无需单独求解AC、BC的长度，将$AC+BC$看作整体AB代入计算即可，有效简化了运算步骤。
【难度系数】
0.7
12. 学科特色 方程思想 「2026陕西咸阳月考，★☆」如图，点B和点C把线段AD分成2：3：4的三部分(AB：BC：CD=2：3：4)，点M是线段AD的中点，CD=12，那么线段MC的长是
1.5
。答案
12. 1.5
解析 设 AB=2x,因为 AB: BC: CD=2: 3: 4,
所以 BC=3x,CD=4x,
所以 AD=(2+3+4)x=9x,
因为 CD=12,
所以 4x=12,解得 x=3,
所以 AD=9x=27.
因为点 M 是线段 AD 的中点,
所以 $MD=\frac{1}{2}AD=13.5$,
所以 MC=MD-CD=13.5-12=1.5.
解析 设 AB=2x,因为 AB: BC: CD=2: 3: 4,
所以 BC=3x,CD=4x,
所以 AD=(2+3+4)x=9x,
因为 CD=12,
所以 4x=12,解得 x=3,
所以 AD=9x=27.
因为点 M 是线段 AD 的中点,
所以 $MD=\frac{1}{2}AD=13.5$,
所以 MC=MD-CD=13.5-12=1.5.
解析
【分析】
遇到线段的比例关系时，通常设每一份的长度为参数x，将各段线段长度用含x的代数式表示，能简化计算。首先结合已知CD的长度求出参数x的值，再计算线段AD的总长度；之后利用线段中点的性质求出MD的长度；最后观察图形可知MC=MD-CD，代入数值即可求得结果。
【解析】
设AB的长为$2x$，
因为$AB:BC:CD=2:3:4$，
所以$BC=3x$，$CD=4x$，
线段$AD$的总长为$AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x$。
已知$CD=12$，即$4x=12$，解得$x=3$，
所以$AD=9×3=27$。
因为点M是AD的中点，
所以$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×27=13.5$，
因此$MC=MD-CD=13.5-12=1.5$。
【答案】
1.5
【知识点】
线段比例计算、线段中点性质、线段和差运算
【点评】
本题是线段运算的常规题型，核心是通过设参数的方法将比例关系转化为具体的线段长度，结合线段中点性质和和差关系求解，其中方程思想是解决线段比例类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
遇到线段的比例关系时，通常设每一份的长度为参数x，将各段线段长度用含x的代数式表示，能简化计算。首先结合已知CD的长度求出参数x的值，再计算线段AD的总长度；之后利用线段中点的性质求出MD的长度；最后观察图形可知MC=MD-CD，代入数值即可求得结果。
【解析】
设AB的长为$2x$，
因为$AB:BC:CD=2:3:4$，
所以$BC=3x$，$CD=4x$，
线段$AD$的总长为$AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x$。
已知$CD=12$，即$4x=12$，解得$x=3$，
所以$AD=9×3=27$。
因为点M是AD的中点，
所以$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×27=13.5$，
因此$MC=MD-CD=13.5-12=1.5$。
【答案】
1.5
【知识点】
线段比例计算、线段中点性质、线段和差运算
【点评】
本题是线段运算的常规题型，核心是通过设参数的方法将比例关系转化为具体的线段长度，结合线段中点性质和和差关系求解，其中方程思想是解决线段比例类问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
13.「2026江西南昌月考，★☆」如图所示，点B在线段AC上，且$BC=3AB$，D是线段AB的中点，E是线段BC上的一点，且$BE:EC=2:1$，有下列结论：①$EC=\frac{1}{3}AE$；②$DE=5BD$；③$BE=\frac{1}{2}(AE+BC)$；④$AE=\frac{6}{5}(BC-AD)$。其中正确的结论为
①②④
（填正确结论的序号）。答案
13. ①②④
解析 因为 $BE: EC = 2: 1,BC = 3AB$,所以 $EC=\frac{1}{3}BC,AB=\frac{1}{3}BC$,所以 $AB=EC$,所以 $AB+BE=EC+BE$,即 $AE=BC$,所以 $EC=\frac{1}{3}AE$,故①正确;
因为 $EC=\frac{1}{3}AE,AB=EC$,所以 $AE=3AB$,因为 D 是线段 AB 的中点,所以 $AD=BD=\frac{1}{2}AB$,所以 $DE=AE-AD=3AB-\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}AB=5BD$,故②正确;
因为 $AE=BC=3AB$,所以 $AE+BC=3AB+3AB=6AB$,因为 $BE=AE-AB=3AB-AB=2AB$,所以 $BE=\frac{1}{3}(AE+BC)$,故③不正确;
因为 $BC=3AB,AD=\frac{1}{2}AB$,所以 $BC-AD=3AB-\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}AB$,因为 $AE=3AB$,所以 $AE=\frac{6}{5}(BC-AD)$,故④正确.
综上,正确的结论为①②④.
解析 因为 $BE: EC = 2: 1,BC = 3AB$,所以 $EC=\frac{1}{3}BC,AB=\frac{1}{3}BC$,所以 $AB=EC$,所以 $AB+BE=EC+BE$,即 $AE=BC$,所以 $EC=\frac{1}{3}AE$,故①正确;
因为 $EC=\frac{1}{3}AE,AB=EC$,所以 $AE=3AB$,因为 D 是线段 AB 的中点,所以 $AD=BD=\frac{1}{2}AB$,所以 $DE=AE-AD=3AB-\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}AB=5BD$,故②正确;
因为 $AE=BC=3AB$,所以 $AE+BC=3AB+3AB=6AB$,因为 $BE=AE-AB=3AB-AB=2AB$,所以 $BE=\frac{1}{3}(AE+BC)$,故③不正确;
因为 $BC=3AB,AD=\frac{1}{2}AB$,所以 $BC-AD=3AB-\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}AB$,因为 $AE=3AB$,所以 $AE=\frac{6}{5}(BC-AD)$,故④正确.
综上,正确的结论为①②④.
解析
【分析】
对于含有线段比例关系的结论判断题，我们可以通过设定基准参数表示所有相关线段的长度，再逐一验证每个结论的等式左右两边是否相等。本题可先设AB的长度为基准量，结合已知的BC与AB的倍数关系、BE与EC的比例关系、D是AB中点的条件，把所有涉及的线段都用该基准量表示，再代入四个结论分别验证即可。
【解析】
设$AB=a$，
$\because BC=3AB$，$\therefore BC=3a$，
$\because BE:EC=2:1$，且$BE+EC=BC=3a$，
$\therefore BE=2a$，$EC=a$。
① 验证：$AE=AB+BE=a+2a=3a$，则$\frac{1}{3}AE=\frac{1}{3}×3a=a=EC$，故①正确；
② $\because$ D是线段AB的中点，$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$，
$DE=AE-AD=3a-\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$，$5BD=5×\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$，
$\therefore DE=5BD$，故②正确；
③ $AE+BC=3a+3a=6a$，则$\frac{1}{2}(AE+BC)=3a$，而已知$BE=2a≠3a$，故③错误；
④ $BC-AD=3a-\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$，则$\frac{6}{5}(BC-AD)=\frac{6}{5}×\frac{5}{2}a=3a=AE$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，线段的比例运算
【点评】
本题是线段运算的常见题型，解题的核心是将所有线段统一用同一基准量表示，避免线段数量关系混淆，只要仔细梳理各线段的比例与和差关系，就能准确判断结论是否正确。
【难度系数】
0.7
对于含有线段比例关系的结论判断题，我们可以通过设定基准参数表示所有相关线段的长度，再逐一验证每个结论的等式左右两边是否相等。本题可先设AB的长度为基准量，结合已知的BC与AB的倍数关系、BE与EC的比例关系、D是AB中点的条件，把所有涉及的线段都用该基准量表示，再代入四个结论分别验证即可。
【解析】
设$AB=a$，
$\because BC=3AB$，$\therefore BC=3a$，
$\because BE:EC=2:1$，且$BE+EC=BC=3a$，
$\therefore BE=2a$，$EC=a$。
① 验证：$AE=AB+BE=a+2a=3a$，则$\frac{1}{3}AE=\frac{1}{3}×3a=a=EC$，故①正确；
② $\because$ D是线段AB的中点，$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a$，
$DE=AE-AD=3a-\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$，$5BD=5×\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$，
$\therefore DE=5BD$，故②正确；
③ $AE+BC=3a+3a=6a$，则$\frac{1}{2}(AE+BC)=3a$，而已知$BE=2a≠3a$，故③错误；
④ $BC-AD=3a-\frac{1}{2}a=\frac{5}{2}a$，则$\frac{6}{5}(BC-AD)=\frac{6}{5}×\frac{5}{2}a=3a=AE$，故④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，线段的比例运算
【点评】
本题是线段运算的常见题型，解题的核心是将所有线段统一用同一基准量表示，避免线段数量关系混淆，只要仔细梳理各线段的比例与和差关系，就能准确判断结论是否正确。
【难度系数】
0.7
14.「2026 四川成都期末改编，★☆」如图，已知点B,C,E都是线段AD上的点，AC=$\frac{1}{3}$AD=10，BD=6，点E是线段AB的中点.若点F是线段CD的中点，求线段AE,EF的长.
答案
14.解析 因为 $AC=\frac{1}{3}AD=10$,所以 $AD=30$.
因为 $BD=6$,所以 $AB=AD-BD=24$.
因为点 E 是 AB 的中点,所以 $AE=\frac{1}{2}AB=12$.
因为 $AC=10$,所以 $CE=AE-AC=2$.
因为 $AD=30$,所以 $CD=AD-AC=20$.
因为点 F 是 CD 的中点,所以 $CF=\frac{1}{2}CD=10$,
所以 $EF=CF-CE=8$.
因为 $BD=6$,所以 $AB=AD-BD=24$.
因为点 E 是 AB 的中点,所以 $AE=\frac{1}{2}AB=12$.
因为 $AC=10$,所以 $CE=AE-AC=2$.
因为 $AD=30$,所以 $CD=AD-AC=20$.
因为点 F 是 CD 的中点,所以 $CF=\frac{1}{2}CD=10$,
所以 $EF=CF-CE=8$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件$AC=\frac{1}{3}AD=10$入手，先求出线段AD的总长度；再结合$BD=6$，利用线段和差关系求出AB的长度，根据E是AB中点的性质即可求出AE的长。求EF时，先求出CD的长度，结合F是CD中点的性质得到CF的长度，再求出CE的长度，最后通过线段差的关系算出EF的长度即可，解题过程中要结合图形明确各线段的位置关系，避免混淆线段的和差。
【解析】
因为$AC=\frac{1}{3}AD=10$，所以$AD=3×10=30$。
因为$BD=6$，所以$AB=AD-BD=30-6=24$。
因为点E是AB的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
因为$AC=10$，所以$CE=AE-AC=12-10=2$。
因为$AD=30$，所以$CD=AD-AC=30-10=20$。
因为点F是CD的中点，所以$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×20=10$。
所以$EF=CF-CE=10-2=8$。
【答案】
$AE=12$，$EF=8$
【知识点】
1.线段中点的性质
2.线段的和差运算
【点评】
本题属于线段运算的基础题型，解题的核心是先确定线段AD的总长度，再结合中点性质逐步推导所求线段的长度，解题时结合图形梳理各线段的数量关系，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$AC=\frac{1}{3}AD=10$入手，先求出线段AD的总长度；再结合$BD=6$，利用线段和差关系求出AB的长度，根据E是AB中点的性质即可求出AE的长。求EF时，先求出CD的长度，结合F是CD中点的性质得到CF的长度，再求出CE的长度，最后通过线段差的关系算出EF的长度即可，解题过程中要结合图形明确各线段的位置关系，避免混淆线段的和差。
【解析】
因为$AC=\frac{1}{3}AD=10$，所以$AD=3×10=30$。
因为$BD=6$，所以$AB=AD-BD=30-6=24$。
因为点E是AB的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
因为$AC=10$，所以$CE=AE-AC=12-10=2$。
因为$AD=30$，所以$CD=AD-AC=30-10=20$。
因为点F是CD的中点，所以$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×20=10$。
所以$EF=CF-CE=10-2=8$。
【答案】
$AE=12$，$EF=8$
【知识点】
1.线段中点的性质
2.线段的和差运算
【点评】
本题属于线段运算的基础题型，解题的核心是先确定线段AD的总长度，再结合中点性质逐步推导所求线段的长度，解题时结合图形梳理各线段的数量关系，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
15. 学科特色双中点模型「★☆」如图所示,线段$AB=4$,点$O$是线段$AB$上一点,$C,D$分别是线段$OA,OB$的中点.
(1)小明很轻松地求得$CD=2$,小明是怎样求出来的?
(2)小明突发奇想:若点$O$运动到线段$AB$的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论“$CD=2$”是否仍然成立?请帮助小明画出图形并说明理由.
(1)小明很轻松地求得$CD=2$,小明是怎样求出来的?
(2)小明突发奇想:若点$O$运动到线段$AB$的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论“$CD=2$”是否仍然成立?请帮助小明画出图形并说明理由.
答案
15.解析 (1)因为 C,D 分别是线段 OA,OB 的中点,
所以 $OC=\frac{1}{2}AO,OD=\frac{1}{2}BO$,
所以 $CD=OC+OD=\frac{1}{2}(OA+OB)=\frac{1}{2}AB=2$.
(2)当点 O 在线段 AB 的延长线上时,(1)中的结论“$CD=2$”仍然成立.理由如下:
如图所示,
因为 C,D 分别是线段 OA,OB 的中点,
所以 $OC=\frac{1}{2}AO,OD=\frac{1}{2}BO$,
所以 $CD=OC-OD=\frac{1}{2}(OA-OB)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 4=2$.
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先结合线段中点的性质，可得OC、OD分别为OA、OB的一半；观察线段位置可知CD是OC与OD的和，对表达式提取公因式后，可将CD转化为AB长度的一半，代入AB=4即可求出结果。
（2）求解第二问时，先按题意画出点O在AB延长线上的图形，此时CD的长度为OC与OD的差；依旧利用线段中点的性质，将OC、OD转化为OA、OB的一半，提取公因式后可得CD为OA与OB差的一半，而OA-OB的长度恰好等于AB，代入计算即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 因为C、D分别是线段OA、OB的中点，
所以 $OC=\frac{1}{2}AO$，$OD=\frac{1}{2}BO$，
所以 $CD=OC+OD=\frac{1}{2}(OA+OB)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
(2) 当点O在线段AB的延长线上时，(1)中的结论“$CD=2$”仍然成立。理由如下：
如图所示，
因为C、D分别是线段OA、OB的中点，
所以 $OC=\frac{1}{2}AO$，$OD=\frac{1}{2}BO$，
所以 $CD=OC-OD=\frac{1}{2}(OA-OB)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
(1) $CD=2$；
(2) 结论仍然成立，$CD=2$，对应图形为。
【知识点】
线段中点定义，线段和差运算，双中点模型
【点评】
本题是线段双中点模型的典型习题，核心是利用线段中点的性质，将所求线段转化为已知线段的和差关系，该模型下无论动点在线段上还是线段延长线上，双中点距离恒为原线段长度的一半，掌握该规律可快速解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.8
（1）求解第一问时，先结合线段中点的性质，可得OC、OD分别为OA、OB的一半；观察线段位置可知CD是OC与OD的和，对表达式提取公因式后，可将CD转化为AB长度的一半，代入AB=4即可求出结果。
（2）求解第二问时，先按题意画出点O在AB延长线上的图形，此时CD的长度为OC与OD的差；依旧利用线段中点的性质，将OC、OD转化为OA、OB的一半，提取公因式后可得CD为OA与OB差的一半，而OA-OB的长度恰好等于AB，代入计算即可验证结论是否成立。
【解析】
(1) 因为C、D分别是线段OA、OB的中点，
所以 $OC=\frac{1}{2}AO$，$OD=\frac{1}{2}BO$，
所以 $CD=OC+OD=\frac{1}{2}(OA+OB)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
(2) 当点O在线段AB的延长线上时，(1)中的结论“$CD=2$”仍然成立。理由如下：
如图所示，
因为C、D分别是线段OA、OB的中点，
所以 $OC=\frac{1}{2}AO$，$OD=\frac{1}{2}BO$，
所以 $CD=OC-OD=\frac{1}{2}(OA-OB)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
(1) $CD=2$；
(2) 结论仍然成立，$CD=2$，对应图形为
。【知识点】
线段中点定义，线段和差运算，双中点模型
【点评】
本题是线段双中点模型的典型习题，核心是利用线段中点的性质，将所求线段转化为已知线段的和差关系，该模型下无论动点在线段上还是线段延长线上，双中点距离恒为原线段长度的一半，掌握该规律可快速解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.8
16. 核心素养 推理能力 「2026四川成都期中」如图，已知点M在线段AN的延长线上，且线段$MN=2025$，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点$M_1,N_1$；第二次操作：分别取线段$AM_1$和$AN_1$的中点$M_2,N_2$；第三次操作：分别取线段$AM_2$和$AN_2$的中点$M_3,N_3$；……，连续这样操作2024次，则$M_{2024}N_{2024}=$
$\frac{2\ 025}{2^{2\ 024}}$
。答案
16. $\frac{2\ 025}{2^{2\ 024}}$
解析 因为 $M_1,N_1$ 分别是 AM 和 AN 的中点,
所以 $AM_1=\frac{1}{2}AM,AN_1=\frac{1}{2}AN$,
所以 $M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}AM-\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}MN=\frac{2\ 025}{2}$,
因为 $M_2,N_2$ 分别是 $AM_1$ 和 $AN_1$ 的中点,
所以 $AM_2=\frac{1}{2}AM_1,AN_2=\frac{1}{2}AN_1$,
所以 $M_2N_2 = AM_2 - AN_2 = \frac{1}{2}AM_1 - \frac{1}{2}AN_1 = \frac{1}{2}M_1N_1 =\frac{2\ 025}{2^2}$,
因为 $M_3,N_3$ 分别是 $AM_2$ 和 $AN_2$ 的中点,
所以 $AM_3=\frac{1}{2}AM_2,AN_3=\frac{1}{2}AN_2$,
所以 $M_3N_3 = AM_3 - AN_3 = \frac{1}{2}AM_2 - \frac{1}{2}AN_2 = \frac{1}{2}M_2N_2 =\frac{2\ 025}{2^3}$,
……,所以 $M_nN_n=\frac{2\ 025}{2^n}$,
当 $n=2\ 024$ 时,$M_{2\ 024}N_{2\ 024}=\frac{2\ 025}{2^{2\ 024}}$.
解析 因为 $M_1,N_1$ 分别是 AM 和 AN 的中点,
所以 $AM_1=\frac{1}{2}AM,AN_1=\frac{1}{2}AN$,
所以 $M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}AM-\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}MN=\frac{2\ 025}{2}$,
因为 $M_2,N_2$ 分别是 $AM_1$ 和 $AN_1$ 的中点,
所以 $AM_2=\frac{1}{2}AM_1,AN_2=\frac{1}{2}AN_1$,
所以 $M_2N_2 = AM_2 - AN_2 = \frac{1}{2}AM_1 - \frac{1}{2}AN_1 = \frac{1}{2}M_1N_1 =\frac{2\ 025}{2^2}$,
因为 $M_3,N_3$ 分别是 $AM_2$ 和 $AN_2$ 的中点,
所以 $AM_3=\frac{1}{2}AM_2,AN_3=\frac{1}{2}AN_2$,
所以 $M_3N_3 = AM_3 - AN_3 = \frac{1}{2}AM_2 - \frac{1}{2}AN_2 = \frac{1}{2}M_2N_2 =\frac{2\ 025}{2^3}$,
……,所以 $M_nN_n=\frac{2\ 025}{2^n}$,
当 $n=2\ 024$ 时,$M_{2\ 024}N_{2\ 024}=\frac{2\ 025}{2^{2\ 024}}$.
解析
【分析】
解题时先利用线段中点的性质计算前几次操作后$M_nN_n$的长度，观察结果和$MN$长度、操作次数的关系，归纳出通用规律后，将操作次数2024代入规律即可得到结果。具体思路：任意一次操作中，$M_nN_n=AM_n-AN_n$，根据中点定义，$AM_n$、$AN_n$分别是前一次对应线段的$\frac{1}{2}$，因此两者的差也为前一次$M_{n-1}N_{n-1}$的$\frac{1}{2}$，即可推出每次操作后线段长度是前一次的$\frac{1}{2}$，结合初始$MN$的长度就能得到第n次的结果。
【解析】
已知$MN=2025$，
因为$M_1$、$N_1$分别是$AM$、$AN$的中点，
所以$AM_1=\frac{1}{2}AM$，$AN_1=\frac{1}{2}AN$，
则$M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN=\frac{2025}{2}$；
因为$M_2$、$N_2$分别是$AM_1$、$AN_1$的中点，
所以$AM_2=\frac{1}{2}AM_1$，$AN_2=\frac{1}{2}AN_1$，
则$M_2N_2=AM_2-AN_2=\frac{1}{2}(AM_1-AN_1)=\frac{1}{2}M_1N_1=\frac{2025}{2^2}$；
因为$M_3$、$N_3$分别是$AM_2$、$AN_2$的中点，
所以$AM_3=\frac{1}{2}AM_2$，$AN_3=\frac{1}{2}AN_2$，
则$M_3N_3=AM_3-AN_3=\frac{1}{2}(AM_2-AN_2)=\frac{1}{2}M_2N_2=\frac{2025}{2^3}$；
……
归纳可得规律：第n次操作后，$M_nN_n=\frac{2025}{2^n}$；
当$n=2024$时，$M_{2024}N_{2024}=\frac{2025}{2^{2024}}$。
【答案】
$\frac{2025}{2^{2024}}$
【知识点】
1.线段中点的定义 2.线段的差运算 3.规律探究
【点评】
本题将线段中点运算与规律探究相结合，需要从特殊的前几次操作入手推导得到一般规律，体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握线段中点的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.6
解题时先利用线段中点的性质计算前几次操作后$M_nN_n$的长度，观察结果和$MN$长度、操作次数的关系，归纳出通用规律后，将操作次数2024代入规律即可得到结果。具体思路：任意一次操作中，$M_nN_n=AM_n-AN_n$，根据中点定义，$AM_n$、$AN_n$分别是前一次对应线段的$\frac{1}{2}$，因此两者的差也为前一次$M_{n-1}N_{n-1}$的$\frac{1}{2}$，即可推出每次操作后线段长度是前一次的$\frac{1}{2}$，结合初始$MN$的长度就能得到第n次的结果。
【解析】
已知$MN=2025$，
因为$M_1$、$N_1$分别是$AM$、$AN$的中点，
所以$AM_1=\frac{1}{2}AM$，$AN_1=\frac{1}{2}AN$，
则$M_1N_1=AM_1-AN_1=\frac{1}{2}(AM-AN)=\frac{1}{2}MN=\frac{2025}{2}$；
因为$M_2$、$N_2$分别是$AM_1$、$AN_1$的中点，
所以$AM_2=\frac{1}{2}AM_1$，$AN_2=\frac{1}{2}AN_1$，
则$M_2N_2=AM_2-AN_2=\frac{1}{2}(AM_1-AN_1)=\frac{1}{2}M_1N_1=\frac{2025}{2^2}$；
因为$M_3$、$N_3$分别是$AM_2$、$AN_2$的中点，
所以$AM_3=\frac{1}{2}AM_2$，$AN_3=\frac{1}{2}AN_2$，
则$M_3N_3=AM_3-AN_3=\frac{1}{2}(AM_2-AN_2)=\frac{1}{2}M_2N_2=\frac{2025}{2^3}$；
……
归纳可得规律：第n次操作后，$M_nN_n=\frac{2025}{2^n}$；
当$n=2024$时，$M_{2024}N_{2024}=\frac{2025}{2^{2024}}$。
【答案】
$\frac{2025}{2^{2024}}$
【知识点】
1.线段中点的定义 2.线段的差运算 3.规律探究
【点评】
本题将线段中点运算与规律探究相结合，需要从特殊的前几次操作入手推导得到一般规律，体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握线段中点的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.6
17. 核心 素养 推理能力 学科 特色 分类讨论思想 「2026山东济南历城期中」如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线MPN，若该折线MPN上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”。已知点D是折线ACB的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=3，CE=7，则线段BC的长为
8 或 20
。答案
17. 8 或 20
解析 如图 1,因为点 E 为线段 AC 的中点,$CE=7$,
所以 $AC=2CE=14$,
因为 $CD=3$,
所以 $AD=AC-CD=14-3=11$,
因为点 D 是折线 ACB 的“折中点”,
所以 $AD=DC+BC=11$,
所以 $BC=11-3=8$.
如图 2,因为点 E 为线段 AC 的中点,$CE=7$,
所以 $AC=2CE=14$,
因为 $CD=3$,所以 $AC+CD=14+3=17$,
因为点 D 是折线 ACB 的“折中点”,
所以 $BD=AC+CD=17$,
所以 $BC=BD+CD=17+3=20$.
综上所述,$BC=8$ 或 $BC=20$.
解析
【分析】
本题为新定义类线段计算问题，解题思路如下：首先明确“折中点”的定义是将折线分成长度相等两部分的点；第一步先利用线段中点的性质，由E是AC中点、CE=7求出AC的总长度；由于点D在折线ACB上的位置不确定，需分两种情况分类讨论：点D在线段AC上、点D在线段BC上；最后针对每种情况，根据折中点的等量关系，结合线段和差运算求出BC的长度即可。
【解析】
∵点E为线段AC的中点，$CE=7$，
∴$AC=2CE=2×7=14$。
分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AC上时：
已知$CD=3$，则$AD=AC-CD=14-3=11$，
∵点D是折线ACB的“折中点”，
∴$AD=DC+BC$，代入得$11=3+BC$，解得$BC=8$。
2. 当点D在线段BC上时：
已知$CD=3$，则$AC+CD=14+3=17$，
∵点D是折线ACB的“折中点”，
∴$BD=AC+CD=17$，
∴$BC=BD+CD=17+3=20$。
综上所述，线段BC的长为8或20。
【答案】8或20
【知识点】线段中点性质，分类讨论思想，线段和差计算
【点评】本题属于新定义题型，解题关键是准确理解“折中点”的定义，结合分类讨论思想全面考虑点D的不同位置，再利用线段的相关性质计算，解题时需注意避免遗漏情况造成漏解。
【难度系数】
0.6
本题为新定义类线段计算问题，解题思路如下：首先明确“折中点”的定义是将折线分成长度相等两部分的点；第一步先利用线段中点的性质，由E是AC中点、CE=7求出AC的总长度；由于点D在折线ACB上的位置不确定，需分两种情况分类讨论：点D在线段AC上、点D在线段BC上；最后针对每种情况，根据折中点的等量关系，结合线段和差运算求出BC的长度即可。
【解析】
∵点E为线段AC的中点，$CE=7$，
∴$AC=2CE=2×7=14$。
分两种情况讨论：
1. 当点D在线段AC上时：
已知$CD=3$，则$AD=AC-CD=14-3=11$，
∵点D是折线ACB的“折中点”，
∴$AD=DC+BC$，代入得$11=3+BC$，解得$BC=8$。
2. 当点D在线段BC上时：
已知$CD=3$，则$AC+CD=14+3=17$，
∵点D是折线ACB的“折中点”，
∴$BD=AC+CD=17$，
∴$BC=BD+CD=17+3=20$。
综上所述，线段BC的长为8或20。
【答案】8或20
【知识点】线段中点性质，分类讨论思想，线段和差计算
【点评】本题属于新定义题型，解题关键是准确理解“折中点”的定义，结合分类讨论思想全面考虑点D的不同位置，再利用线段的相关性质计算，解题时需注意避免遗漏情况造成漏解。
【难度系数】
0.6
