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1. 学科特色 教材变式 按下列要求作图：
(1)如图
，把点P绕点O顺时针旋转$45°$.
(2)如图
，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转$90°$.
(3)如图
，以AC的中点O为中心，把$△ ABC$顺时针旋转$120°$.
(4)如图，$△ A'B'C'$是由$△ ABC$绕点O旋转得到的，点A，B的对应点分别是点A'，B'，作出旋转中心O及$△ ABC$.
(1)如图
，把点P绕点O顺时针旋转$45°$.(2)如图
，以点O为中心，把线段AB逆时针旋转$90°$.(3)如图
，以AC的中点O为中心，把$△ ABC$顺时针旋转$120°$.(4)如图，$△ A'B'C'$是由$△ ABC$绕点O旋转得到的，点A，B的对应点分别是点A'，B'，作出旋转中心O及$△ ABC$.
答案
(1)如图①
所示，点$P'$即为所求.(2)如图②
所示，线段$A'B'$即为所求.(3)如图③
所示，$△ A'B'C'$即为所求.(4)如图④
所示，旋转中心$O$和$△ ABC$即为所求.解析
【分析】
旋转作图的核心依据是旋转的性质，解题时需先明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），先作出图形关键点的对应点，再顺次连接对应点得到旋转后的图形；已知旋转后的图形找旋转中心时，利用旋转中心到各组对应点的距离相等，即旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，作两组对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心。
各小问具体思路：
(1) 单个点旋转：连接旋转中心O和点P，将线段OP按顺时针方向旋转45°，在旋转后的射线上截取与OP等长的线段，端点即为P的对应点P'；
(2) 线段旋转：线段的关键点为两个端点，分别将A、B绕O逆时针旋转90°得到对应点A'、B'，连接A'B'即为旋转后的线段；
(3) 三角形旋转：三角形的关键点为三个顶点，分别将A、B、C绕AC中点O顺时针旋转120°得到对应点A'、B'、C'，顺次连接三点即为旋转后的三角形；
(4) 找旋转中心并补全原图形：先作AA'、BB'的垂直平分线，交点就是旋转中心O，再根据旋转的性质确定点C的对应点，补全△ABC。
【解析】
(1) ①连接OP；②以O为顶点，OP为一边，按顺时针方向作∠POP'=45°；③在角的另一边上截取OP'=OP，所得点P'就是点P旋转后的对应点。
(2) ①连接OA、OB；②分别将OA、OB绕点O逆时针旋转90°，得到OA'、OB'，满足∠AOA'=∠BOB'=90°，且OA'=OA，OB'=OB；③连接A'B'，线段A'B'即为所求。
(3) ①连接OA、OB、OC（O是AC中点，故OA=OC）；②分别将OA、OB、OC绕点O顺时针旋转120°，得到OA'、OB'、OC'，满足∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=120°，且OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC；③顺次连接A'、B'、C'，△A'B'C'即为所求。
(4) ①连接AA'、BB'；②分别作AA'、BB'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心O；③根据旋转的性质，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角、对应边长度相等，确定点C的对应点，顺次连接A、B、C得到△ABC。
【答案】
(1)如图①所示，点$P'$即为所求.
(2)如图②所示，线段$A'B'$即为所求.
(3)如图③所示，$△ A'B'C'$即为所求.
(4)如图④所示，旋转中心$O$和$△ ABC$即为所求.
【知识点】
旋转的性质，旋转作图，垂直平分线的性质
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，考查对旋转三要素的理解和作图实操能力，解题时要注意准确把握旋转方向和旋转角度，作图需规范，避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.7
旋转作图的核心依据是旋转的性质，解题时需先明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度），先作出图形关键点的对应点，再顺次连接对应点得到旋转后的图形；已知旋转后的图形找旋转中心时，利用旋转中心到各组对应点的距离相等，即旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，作两组对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心。
各小问具体思路：
(1) 单个点旋转：连接旋转中心O和点P，将线段OP按顺时针方向旋转45°，在旋转后的射线上截取与OP等长的线段，端点即为P的对应点P'；
(2) 线段旋转：线段的关键点为两个端点，分别将A、B绕O逆时针旋转90°得到对应点A'、B'，连接A'B'即为旋转后的线段；
(3) 三角形旋转：三角形的关键点为三个顶点，分别将A、B、C绕AC中点O顺时针旋转120°得到对应点A'、B'、C'，顺次连接三点即为旋转后的三角形；
(4) 找旋转中心并补全原图形：先作AA'、BB'的垂直平分线，交点就是旋转中心O，再根据旋转的性质确定点C的对应点，补全△ABC。
【解析】
(1) ①连接OP；②以O为顶点，OP为一边，按顺时针方向作∠POP'=45°；③在角的另一边上截取OP'=OP，所得点P'就是点P旋转后的对应点。
(2) ①连接OA、OB；②分别将OA、OB绕点O逆时针旋转90°，得到OA'、OB'，满足∠AOA'=∠BOB'=90°，且OA'=OA，OB'=OB；③连接A'B'，线段A'B'即为所求。
(3) ①连接OA、OB、OC（O是AC中点，故OA=OC）；②分别将OA、OB、OC绕点O顺时针旋转120°，得到OA'、OB'、OC'，满足∠AOA'=∠BOB'=∠COC'=120°，且OA'=OA，OB'=OB，OC'=OC；③顺次连接A'、B'、C'，△A'B'C'即为所求。
(4) ①连接AA'、BB'；②分别作AA'、BB'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心O；③根据旋转的性质，对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角、对应边长度相等，确定点C的对应点，顺次连接A、B、C得到△ABC。
【答案】
(1)如图①
所示，点$P'$即为所求.(2)如图②
所示，线段$A'B'$即为所求.(3)如图③
所示，$△ A'B'C'$即为所求.(4)如图④
所示，旋转中心$O$和$△ ABC$即为所求.【知识点】
旋转的性质，旋转作图，垂直平分线的性质
【点评】
本题是旋转作图的基础题型，考查对旋转三要素的理解和作图实操能力，解题时要注意准确把握旋转方向和旋转角度，作图需规范，避免因细节失误出错。
【难度系数】
0.7
2.「2026广东广州白云期中」如图,在平面直角坐标系中,将点$P(4,3)$绕原点$O$逆时针旋转$90°$得到点$P'$,则$P'$的坐标为
(-3,4)
.答案
答案 $(-3,4)$
解析 如图
,分别过 $P,P'$ 向 $x$ 轴作垂线,垂足分别为 $M,N$,$\therefore ∠ P'NO= ∠ OMP=90^{ \circ },\therefore ∠ POM+ ∠ OPM=90^{ \circ }$,
$\because ∠ POP'=90^{ \circ },\therefore ∠ POM+ ∠ P'ON=90^{ \circ },\therefore ∠ P'ON = ∠ OPM$.
在 $△ OMP$ 和 $△ P'NO$ 中, $\begin{cases} ∠ OMP= ∠ P'NO, \\ ∠ OPM= ∠ P'ON, \\ OP=P'O, \end{cases}$
$\therefore △ OMP≌ △ P'NO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore P'N=OM=4,ON=PM=3,\therefore P'(-3,4)$.
解析
【分析】
要解决点绕原点逆时针旋转90°求坐标的问题，首先利用旋转的性质，可得旋转后对应点到原点的距离相等，旋转角为90°，即$OP=OP'$，$∠POP'=90°$。接下来可通过作x轴的垂线构造直角三角形，利用直角三角形两锐角互余推导相等的角，证明两个直角三角形全等，将已知点P的坐标转化为线段长度，再根据全等三角形对应边相等得到$P'$对应的线段长度，最后结合$P'$所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
如图，分别过$P,P'$向 $x$ 轴作垂线，垂足分别为 $M,N$，
$\therefore ∠ P'NO= ∠ OMP=90^{ \circ }$，
$\therefore ∠ POM+ ∠ OPM=90^{ \circ }$，
$\because ∠ POP'=90^{ \circ }$，
$\therefore ∠ POM+ ∠ P'ON=90^{ \circ }$，
$\therefore ∠ P'ON = ∠ OPM$。
在 $△ OMP$ 和 $△ P'NO$ 中，
$\begin{cases} ∠ OMP= ∠ P'NO, \\ ∠ OPM= ∠ P'ON, \\ OP=P'O, \end{cases}$
$\therefore △ OMP≌ △ P'NO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore P'N=OM=4,ON=PM=3$，
$\because$ 点$P'$在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore P'$的坐标为$(-3,4)$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查旋转性质与全等三角形的综合应用，解题的核心是通过作垂线构造全等三角形，将坐标问题转化为线段长度问题求解，也可直接记忆平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(-y,x)$，可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要解决点绕原点逆时针旋转90°求坐标的问题，首先利用旋转的性质，可得旋转后对应点到原点的距离相等，旋转角为90°，即$OP=OP'$，$∠POP'=90°$。接下来可通过作x轴的垂线构造直角三角形，利用直角三角形两锐角互余推导相等的角，证明两个直角三角形全等，将已知点P的坐标转化为线段长度，再根据全等三角形对应边相等得到$P'$对应的线段长度，最后结合$P'$所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
如图
，分别过$P,P'$向 $x$ 轴作垂线，垂足分别为 $M,N$，$\therefore ∠ P'NO= ∠ OMP=90^{ \circ }$，
$\therefore ∠ POM+ ∠ OPM=90^{ \circ }$，
$\because ∠ POP'=90^{ \circ }$，
$\therefore ∠ POM+ ∠ P'ON=90^{ \circ }$，
$\therefore ∠ P'ON = ∠ OPM$。
在 $△ OMP$ 和 $△ P'NO$ 中，
$\begin{cases} ∠ OMP= ∠ P'NO, \\ ∠ OPM= ∠ P'ON, \\ OP=P'O, \end{cases}$
$\therefore △ OMP≌ △ P'NO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore P'N=OM=4,ON=PM=3$，
$\because$ 点$P'$在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore P'$的坐标为$(-3,4)$。
【答案】
$(-3,4)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查旋转性质与全等三角形的综合应用，解题的核心是通过作垂线构造全等三角形，将坐标问题转化为线段长度问题求解，也可直接记忆平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变化规律：原坐标$(x,y)$旋转后变为$(-y,x)$，可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
3.「2026北京一五九中学期中」如图,点O,B的坐标分别为(0,0),(3,0),将△OAB绕O点逆时针旋转90°得到△OA'B'.
(1)画出平面直角坐标系和△OA'B'.
(2)直接写出点A'的坐标：
(3)OA旋转到OA'所围成的图形面积为
(1)画出平面直角坐标系和△OA'B'.
(2)直接写出点A'的坐标：
(-2,4)
.(3)OA旋转到OA'所围成的图形面积为
5π
.答案
(1)如图
,平面直角坐标系和 $△ OA'B'$ 即为所求.(2)$(-2,4)$.
(3)$5π$.详解:如图,$OA$ 旋转 $90°$ 到 $OA'$,故所围成的图形面积是半径为 $OA$ 长的圆的面积的四分之一,
由图可得 $A(4,2),\therefore OA=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$,
$\therefore OA$ 旋转到 $OA'$ 所围成的图形面积为 $\frac{π×(2\sqrt{5})^2}{4}=5π$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先从网格中读取点A的坐标为(4,2)，回忆绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点(x,y)旋转后对应点坐标为(-y,x)，据此求出A、B的对应点A'、B'的坐标，建立平面直角坐标系后描点连线即可完成(1)的作图；2. 直接根据坐标变换结果写出A'的坐标，解决(2)；3. 明确OA旋转到OA'扫过的图形是圆心角为90°的扇形，先通过勾股定理计算OA的长度，再代入扇形面积公式计算，即可解决(3)。
【解析】
(1) 首先建立平面直角坐标系，原点为O(0,0)，x轴、y轴按网格标准绘制；由网格得点A坐标为(4,2)，点B坐标为(3,0)。根据绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则：点(x,y)旋转后对应点为(-y,x)，可得：B(3,0)旋转后对应点B'(0,3)，A(4,2)旋转后对应点A'(-2,4)。顺次连接O、A'、B'，即可得到△OA'B'。
(2) 由上述坐标变换结果，直接得点A'的坐标为(-2,4)。
(3) OA旋转到OA'所围成的图形是圆心角为90°，半径为OA长的扇形。
先由勾股定理计算OA的长度：$OA=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
再代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），n=90，r=2√5，
则$S=\frac{90π×(2\sqrt{5})^2}{360}=\frac{90π×20}{360}=5π$。
【答案】
(1)如图，平面直角坐标系和 $△ OA'B'$ 即为所求。
(2)$(-2,4)$
(3)$5π$
【知识点】
旋转作图，旋转的坐标变化，扇形面积计算
【点评】
本题围绕旋转的性质设计，既考查了旋转作图的基本技能，也结合了勾股定理、扇形面积计算的知识点，是旋转章节的典型基础题，掌握旋转的坐标变换规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先从网格中读取点A的坐标为(4,2)，回忆绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：点(x,y)旋转后对应点坐标为(-y,x)，据此求出A、B的对应点A'、B'的坐标，建立平面直角坐标系后描点连线即可完成(1)的作图；2. 直接根据坐标变换结果写出A'的坐标，解决(2)；3. 明确OA旋转到OA'扫过的图形是圆心角为90°的扇形，先通过勾股定理计算OA的长度，再代入扇形面积公式计算，即可解决(3)。
【解析】
(1) 首先建立平面直角坐标系，原点为O(0,0)，x轴、y轴按网格标准绘制；由网格得点A坐标为(4,2)，点B坐标为(3,0)。根据绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则：点(x,y)旋转后对应点为(-y,x)，可得：B(3,0)旋转后对应点B'(0,3)，A(4,2)旋转后对应点A'(-2,4)。顺次连接O、A'、B'，即可得到△OA'B'。
(2) 由上述坐标变换结果，直接得点A'的坐标为(-2,4)。
(3) OA旋转到OA'所围成的图形是圆心角为90°，半径为OA长的扇形。
先由勾股定理计算OA的长度：$OA=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
再代入扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），n=90，r=2√5，
则$S=\frac{90π×(2\sqrt{5})^2}{360}=\frac{90π×20}{360}=5π$。
【答案】
(1)如图
，平面直角坐标系和 $△ OA'B'$ 即为所求。(2)$(-2,4)$
(3)$5π$
【知识点】
旋转作图，旋转的坐标变化，扇形面积计算
【点评】
本题围绕旋转的性质设计，既考查了旋转作图的基本技能，也结合了勾股定理、扇形面积计算的知识点，是旋转章节的典型基础题，掌握旋转的坐标变换规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.下列图案中可以用基本图形旋转得到的是
①②④
（填序号）.答案
答案 ①②④
解析
【分析】
解题时先回忆旋转的核心特征：旋转变换是将图形绕某一个固定点转动一定角度得到新图形，旋转前后图形的形状、大小完全一致，仅位置和朝向改变，和平移（沿直线移动）、轴对称（沿直线翻折）的变换特征不同。接下来逐一分析每个图案的形成方式：先确定每个图案的基本图形，判断是否能通过绕定点旋转得到，排除通过平移、对称得到的图案即可。
【解析】
我们根据旋转的特征逐一判断：
1. 图案①：基本图形为单个的圆弧造型，绕中心的固定点每次旋转相同角度，多次旋转后可得到该图案，属于旋转得到。
2. 图案②：基本图形为1个带阴影的四边形，绕中心定点每次旋转60°，旋转5次即可得到完整图案，属于旋转得到。
3. 图案③：该图案的阴影和空白部分无法通过单个基本图形绕定点旋转得到，不符合旋转的特征。
4. 图案④：基本图形为1个箭头造型，绕中心定点每次旋转120°，旋转2次即可得到完整图案，属于旋转得到。
5. 图案⑤：该图案是基本图形五角星沿水平方向平移得到的，不属于旋转变换。
综上，可用基本图形旋转得到的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
旋转的特征；图形变换识别；平移的特征
【点评】
本题考查常见图形变换的区分，重点是对旋转变换特征的掌握，只要抓住“绕定点转动”的核心特点，就能快速区分旋转和其他变换，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆旋转的核心特征：旋转变换是将图形绕某一个固定点转动一定角度得到新图形，旋转前后图形的形状、大小完全一致，仅位置和朝向改变，和平移（沿直线移动）、轴对称（沿直线翻折）的变换特征不同。接下来逐一分析每个图案的形成方式：先确定每个图案的基本图形，判断是否能通过绕定点旋转得到，排除通过平移、对称得到的图案即可。
【解析】
我们根据旋转的特征逐一判断：
1. 图案①：基本图形为单个的圆弧造型，绕中心的固定点每次旋转相同角度，多次旋转后可得到该图案，属于旋转得到。
2. 图案②：基本图形为1个带阴影的四边形，绕中心定点每次旋转60°，旋转5次即可得到完整图案，属于旋转得到。
3. 图案③：该图案的阴影和空白部分无法通过单个基本图形绕定点旋转得到，不符合旋转的特征。
4. 图案④：基本图形为1个箭头造型，绕中心定点每次旋转120°，旋转2次即可得到完整图案，属于旋转得到。
5. 图案⑤：该图案是基本图形五角星沿水平方向平移得到的，不属于旋转变换。
综上，可用基本图形旋转得到的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
旋转的特征；图形变换识别；平移的特征
【点评】
本题考查常见图形变换的区分，重点是对旋转变换特征的掌握，只要抓住“绕定点转动”的核心特点，就能快速区分旋转和其他变换，难度不大。
【难度系数】
0.7
5.「★☆」如图,在$2×4$的网格纸ABCD中,每个小正方形的边长均为1.已知格点P,请按要求画格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图1中画一个等腰三角形PEF,使底边长为$\sqrt{2}$,点E在BC上,点F在AD上,再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转$180°$后的图形.
(2)在图2中画一个$Rt△ PQR$,使$∠ P=45°$,点Q在BC上,点R在AD上,再画出该三角形向右平移1个单位后的图形.
(1)在图1中画一个等腰三角形PEF,使底边长为$\sqrt{2}$,点E在BC上,点F在AD上,再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转$180°$后的图形.
(2)在图2中画一个$Rt△ PQR$,使$∠ P=45°$,点Q在BC上,点R在AD上,再画出该三角形向右平移1个单位后的图形.
答案
(1)如图①
或图②
.(2)如图③
或图④
.解析
【分析】
(1) 要画底边长为√2的等腰三角形PEF，首先根据勾股定理可知，直角边长为1的等腰直角三角形斜边长为√2，因此底边的两个端点横向、纵向的距离差均为1；再结合点E在BC上、点F在AD上的要求，确定E、F的位置使三角形有两边相等即可。画旋转180°的图形时，先找到矩形ABCD的中心（对角线交点），根据旋转180°本质是中心对称的性质，分别作出P、E、F三点关于中心的对称点，顺次连接即可得到旋转后的图形。
(2) 要画∠P=45°的Rt△PQR，根据直角三角形性质，有一个内角为45°的直角三角形是等腰直角三角形，满足两条直角边相等，结合Q在BC上、R在AD上的要求确定Q、R的位置。画向右平移1个单位的图形时，将P、Q、R三点分别向右平移1格，顺次连接对应点即可得到平移后的图形。
【解析】
(1) 第一步：根据√2的长度特征，在BC边上取格点E，AD边上取格点F，使△PEF的底边长为√2且有两边长度相等，连接PE、PF、EF得到等腰三角形PEF；第二步：找到矩形ABCD对角线交点作为旋转中心，分别作出P、E、F关于旋转中心的对称点，顺次连接三个对称点，即可得到旋转180°后的图形。
(2) 第一步：由∠P=45°且△PQR为直角三角形，可知△PQR为等腰直角三角形，在BC边上取格点Q，AD边上取格点R，满足三角形有一个直角且∠P=45°，连接PQ、PR、QR得到Rt△PQR；第二步：将P、Q、R三点分别向右平移1个单位长度得到对应点，顺次连接三个对应点，即可得到平移后的图形。
【答案】
(1)如图①或图②.
(2)如图③或图④.
【知识点】
勾股定理，旋转作图，平移作图
【点评】
本题属于网格作图基础题，结合了特殊三角形的性质与图形变换的作图要求，既考查了学生对网格中线段长度的计算能力，也考查了对旋转、平移特征的掌握程度，作图时注意所有顶点均落在格点上即可。
【难度系数】
0.7
(1) 要画底边长为√2的等腰三角形PEF，首先根据勾股定理可知，直角边长为1的等腰直角三角形斜边长为√2，因此底边的两个端点横向、纵向的距离差均为1；再结合点E在BC上、点F在AD上的要求，确定E、F的位置使三角形有两边相等即可。画旋转180°的图形时，先找到矩形ABCD的中心（对角线交点），根据旋转180°本质是中心对称的性质，分别作出P、E、F三点关于中心的对称点，顺次连接即可得到旋转后的图形。
(2) 要画∠P=45°的Rt△PQR，根据直角三角形性质，有一个内角为45°的直角三角形是等腰直角三角形，满足两条直角边相等，结合Q在BC上、R在AD上的要求确定Q、R的位置。画向右平移1个单位的图形时，将P、Q、R三点分别向右平移1格，顺次连接对应点即可得到平移后的图形。
【解析】
(1) 第一步：根据√2的长度特征，在BC边上取格点E，AD边上取格点F，使△PEF的底边长为√2且有两边长度相等，连接PE、PF、EF得到等腰三角形PEF；第二步：找到矩形ABCD对角线交点作为旋转中心，分别作出P、E、F关于旋转中心的对称点，顺次连接三个对称点，即可得到旋转180°后的图形。
(2) 第一步：由∠P=45°且△PQR为直角三角形，可知△PQR为等腰直角三角形，在BC边上取格点Q，AD边上取格点R，满足三角形有一个直角且∠P=45°，连接PQ、PR、QR得到Rt△PQR；第二步：将P、Q、R三点分别向右平移1个单位长度得到对应点，顺次连接三个对应点，即可得到平移后的图形。
【答案】
(1)如图①
或图②.(2)如图③
或图④.【知识点】
勾股定理，旋转作图，平移作图
【点评】
本题属于网格作图基础题，结合了特殊三角形的性质与图形变换的作图要求，既考查了学生对网格中线段长度的计算能力，也考查了对旋转、平移特征的掌握程度，作图时注意所有顶点均落在格点上即可。
【难度系数】
0.7
6. 聚焦 中考 尺规作图 「2026福建福州台江期中，★☆」如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，点E在线段AB上.
(1)请用尺规作图作$△ ABC$绕着点B逆时针旋转得到的$△ FBE$，点C，A的对应点分别为E，F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，连接AF，若$AC=12$，$BC=9$，求AF的长.
(1)请用尺规作图作$△ ABC$绕着点B逆时针旋转得到的$△ FBE$，点C，A的对应点分别为E，F.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，连接AF，若$AC=12$，$BC=9$，求AF的长.
答案
(1)如图
,$△ FBE$ 即为所求.提示:过点 $E$ 作 $AB$ 的垂线 $EM$,取 $BF=BA$ 交 $EM$ 于 $F$ 即可.方法不唯一.
(2)如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=12,BC=9$,
由勾股定理得,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$,
由旋转的性质可得,$BE=BC=9,EF=AC=12$,
$\therefore AE=AB-BE=15-9=6$,
在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中,由勾股定理得, $AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 作图思路：根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，对应关系为C→E、A→F，因此有BE=BC，BF=BA，∠BEF=∠C=90°。可先过点E作AB的垂线，再以B为圆心、BA长为半径画弧，交垂线于F，连接对应边即可得到所求三角形，注意保留作图痕迹。
(2) 计算思路：首先在Rt△ABC中，已知两条直角边长度，用勾股定理先求出斜边AB的长度；再根据旋转的性质得到BE、EF的长度以及∠BEF=90°，进而算出AE的长度，确定△AEF为直角三角形，最后在Rt△AEF中用勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
(1) 作图步骤：① 过点E作AB的垂线EM；② 以B为圆心，BA的长度为半径画弧，交EM于点F；③ 连接BF、EF，所得△FBE即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 计算过程：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$BC=9$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$
由旋转的性质可得：$BE=BC=9$，$EF=AC=12$，$∠ BEF=∠ C=90°$，因此$∠ AEF=90°$，△AEF为直角三角形。
计算AE的长度：$AE=AB-BE=15-9=6$
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$
【答案】
(1) 如图，$△ FBE$ 即为所求。
(2) $AF$的长为$6\sqrt{5}$。
【知识点】
旋转的性质，尺规作图，勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转作图与几何计算，作图的核心是抓住旋转前后对应边、对应角相等的性质，计算部分需要熟练运用勾股定理，同时要准确识别旋转后的对应边和直角三角形，属于旋转章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，对应关系为C→E、A→F，因此有BE=BC，BF=BA，∠BEF=∠C=90°。可先过点E作AB的垂线，再以B为圆心、BA长为半径画弧，交垂线于F，连接对应边即可得到所求三角形，注意保留作图痕迹。
(2) 计算思路：首先在Rt△ABC中，已知两条直角边长度，用勾股定理先求出斜边AB的长度；再根据旋转的性质得到BE、EF的长度以及∠BEF=90°，进而算出AE的长度，确定△AEF为直角三角形，最后在Rt△AEF中用勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
(1) 作图步骤：① 过点E作AB的垂线EM；② 以B为圆心，BA的长度为半径画弧，交EM于点F；③ 连接BF、EF，所得△FBE即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 计算过程：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$BC=9$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$
由旋转的性质可得：$BE=BC=9$，$EF=AC=12$，$∠ BEF=∠ C=90°$，因此$∠ AEF=90°$，△AEF为直角三角形。
计算AE的长度：$AE=AB-BE=15-9=6$
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$
【答案】
(1) 如图
，$△ FBE$ 即为所求。(2) $AF$的长为$6\sqrt{5}$。
【知识点】
旋转的性质，尺规作图，勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转作图与几何计算，作图的核心是抓住旋转前后对应边、对应角相等的性质，计算部分需要熟练运用勾股定理，同时要准确识别旋转后的对应边和直角三角形，属于旋转章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
