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1[2025江苏盐城调研]张老师上班途中要经过3个十字路口，每个十字路口遇到红、绿灯的可能性都相同（不考虑黄灯），张老师希望上班途中经过的每个路口都是绿灯，但实际上这样的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{9}$
C
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
1.C
【解析】根据题意画树状图如下：
由图可知共有8种等可能的结果,上班途中经过的每个路口都是绿灯的结果有1种,所以这样的概率为$\frac{1}{8}$.故选C.
解析
【分析】
本题要求经过3个路口全是绿灯的概率，首先明确每个路口遇到红、绿灯是等可能的，属于分步的等可能事件概率问题。我们可以通过画树状图的方法，不重不漏地列举出经过3个路口所有可能出现的情况，再从中筛选出全是绿灯的情况数，最后利用“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”这一公式计算即可。
【解析】
已知每个十字路口遇到红、绿灯的可能性相同，经过3个十字路口，画树状图如下：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中上班途中经过的每个路口都是绿灯的结果有1种，
因此所求概率为$\frac{1}{8}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
画树状图求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查画树状图列举所有等可能结果的能力，只要掌握树状图的画法和概率的基本计算公式，就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题要求经过3个路口全是绿灯的概率，首先明确每个路口遇到红、绿灯是等可能的，属于分步的等可能事件概率问题。我们可以通过画树状图的方法，不重不漏地列举出经过3个路口所有可能出现的情况，再从中筛选出全是绿灯的情况数，最后利用“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”这一公式计算即可。
【解析】
已知每个十字路口遇到红、绿灯的可能性相同，经过3个十字路口，画树状图如下：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中上班途中经过的每个路口都是绿灯的结果有1种，
因此所求概率为$\frac{1}{8}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
画树状图求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查画树状图列举所有等可能结果的能力，只要掌握树状图的画法和概率的基本计算公式，就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2 小聪和小明两个同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，随机出手一次是平局的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
2.$\frac{1}{3}$
【解析】列表如下：
|小明\小聪|石头|剪刀|布|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|石头|(石头,石头)|(石头,剪刀)|(石头,布)|
|剪刀|(剪刀,石头)|(剪刀,剪刀)|(剪刀,布)|
|布|(布,石头)|(布,剪刀)|(布,布)|
由表格可知,共有9种等可能的情况,其中平局的有3种:(石头,石头)、(剪刀,剪刀)、(布,布),
∴ 小明和小聪平局的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.故答案为$\frac{1}{3}$.
【解析】列表如下：
|小明\小聪|石头|剪刀|布|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|石头|(石头,石头)|(石头,剪刀)|(石头,布)|
|剪刀|(剪刀,石头)|(剪刀,剪刀)|(剪刀,布)|
|布|(布,石头)|(布,剪刀)|(布,布)|
由表格可知,共有9种等可能的情况,其中平局的有3种:(石头,石头)、(剪刀,剪刀)、(布,布),
∴ 小明和小聪平局的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.故答案为$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
要计算两人玩“石头、剪刀、布”随机出手一次平局的概率，首先明确该事件为等可能事件，两人的出手结果相互独立，各有石头、剪刀、布3种可能。解题时可先通过列表法不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中筛选出两人出手相同（即平局）的结果数量，最后根据概率公式“$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$”代入计算即可得到平局的概率。
【解析】
用列表法列举所有等可能的结果如下：
|小明\小聪|石头|剪刀|布|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|石头|(石头,石头)|(石头,剪刀)|(石头,布)|
|剪刀|(剪刀,石头)|(剪刀,剪刀)|(剪刀,布)|
|布|(布,石头)|(布,剪刀)|(布,布)|
由表格可知，共有9种等可能的情况，其中平局的情况有3种：(石头,石头)、(剪刀,剪刀)、(布,布)。
根据概率公式可得，平局的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式应用，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查用列表法列举所有等可能结果的能力，以及对概率公式的运用，掌握列表法和概率公式即可快速准确解题。
【难度系数】
0.85
要计算两人玩“石头、剪刀、布”随机出手一次平局的概率，首先明确该事件为等可能事件，两人的出手结果相互独立，各有石头、剪刀、布3种可能。解题时可先通过列表法不重不漏地列举出所有等可能的结果，再从中筛选出两人出手相同（即平局）的结果数量，最后根据概率公式“$P=\frac{所求情况数}{总情况数}$”代入计算即可得到平局的概率。
【解析】
用列表法列举所有等可能的结果如下：
|小明\小聪|石头|剪刀|布|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|石头|(石头,石头)|(石头,剪刀)|(石头,布)|
|剪刀|(剪刀,石头)|(剪刀,剪刀)|(剪刀,布)|
|布|(布,石头)|(布,剪刀)|(布,布)|
由表格可知，共有9种等可能的情况，其中平局的情况有3种：(石头,石头)、(剪刀,剪刀)、(布,布)。
根据概率公式可得，平局的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式应用，等可能事件
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查用列表法列举所有等可能结果的能力，以及对概率公式的运用，掌握列表法和概率公式即可快速准确解题。
【难度系数】
0.85
3 从①$AB=CD$，②$AD=BC$，③$AB// CD$，④$AD// BC$四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形$ABCD$是平行四边形的概率是
$\frac{2}{3}$
。答案
3.$\frac{2}{3}$
【解析】列表如下：
| |①|②|③|④|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|①| |(②,①)|(③,①)|(④,①)|
|②|(①,②)| |(③,②)|(④,②)|
|③|(①,③)|(②,③)| |(④,③)|
|④|(①,④)|(②,④)|(③,④)| |
∵ 共有12种等可能的结果,选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的结果有8种,
∴ 选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.故答案为$\frac{2}{3}$.
【解析】列表如下：
| |①|②|③|④|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|①| |(②,①)|(③,①)|(④,①)|
|②|(①,②)| |(③,②)|(④,②)|
|③|(①,③)|(②,③)| |(④,③)|
|④|(①,④)|(②,④)|(③,④)| |
∵ 共有12种等可能的结果,选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的结果有8种,
∴ 选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.故答案为$\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是一道概率计算与平行四边形判定相结合的综合题，解题思路分为三步：①首先确定所有等可能的选法：从4个条件中任选2个，可通过列表法罗列出所有不重复的选择情况，得到总结果数；②再结合平行四边形的判定定理，筛选出能判定四边形ABCD是平行四边形的条件组合，统计符合要求的结果数；③最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算所求概率。
【解析】
从四个关系中任选两个，列表如下：
| |①|②|③|④|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|①| |(②,①)|(③,①)|(④,①)|
|②|(①,②)| |(③,②)|(④,②)|
|③|(①,③)|(②,③)| |(④,③)|
|④|(①,④)|(②,④)|(③,④)| |
由表格可知，共有12种等可能的结果。根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（①②组合）、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（①③、②④组合）、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（③④组合），可知能判定四边形ABCD是平行四边形的结果共8种。
因此所求概率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的判定；列表法求概率；概率公式
【点评】
本题属于几何与概率的综合基础题，既需要熟练掌握平行四边形的各类判定定理，又要能通过列表法不重不漏地列出所有等可能的情况，考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道概率计算与平行四边形判定相结合的综合题，解题思路分为三步：①首先确定所有等可能的选法：从4个条件中任选2个，可通过列表法罗列出所有不重复的选择情况，得到总结果数；②再结合平行四边形的判定定理，筛选出能判定四边形ABCD是平行四边形的条件组合，统计符合要求的结果数；③最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算所求概率。
【解析】
从四个关系中任选两个，列表如下：
| |①|②|③|④|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|①| |(②,①)|(③,①)|(④,①)|
|②|(①,②)| |(③,②)|(④,②)|
|③|(①,③)|(②,③)| |(④,③)|
|④|(①,④)|(②,④)|(③,④)| |
由表格可知，共有12种等可能的结果。根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（①②组合）、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（①③、②④组合）、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（③④组合），可知能判定四边形ABCD是平行四边形的结果共8种。
因此所求概率为$\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的判定；列表法求概率；概率公式
【点评】
本题属于几何与概率的综合基础题，既需要熟练掌握平行四边形的各类判定定理，又要能通过列表法不重不漏地列出所有等可能的情况，考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4 有四张质地一样的不透明卡片,正面分别写有数字1,2,3,4,现将它们背面朝上洗匀,随机抽取两张,其上面的数字分别记为$a,c$,则关于$x$的一元二次方程$ax^2 +4x +c=0$有实数根的概率是
$\frac{1}{2}$
.答案
4.$\frac{1}{2}$
【解析】列表如下：
|积\a|1|2|3|4|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|1| |2|3|4|
|2|2| |6|8|
|3|3|6| |12|
|4|4|8|12| |
由表知,共有12种等可能的结果,其中使方程$ax^2+4x+c=0$有实数根($16-4ac≥0$,即$ac≤4$)的结果有6种,所以关于$x$的一元二次方程$ax^2+4x+c=0$有实数根的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,故答案为$\frac{1}{2}$.
【解析】列表如下：
|积\a|1|2|3|4|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|1| |2|3|4|
|2|2| |6|8|
|3|3|6| |12|
|4|4|8|12| |
由表知,共有12种等可能的结果,其中使方程$ax^2+4x+c=0$有实数根($16-4ac≥0$,即$ac≤4$)的结果有6种,所以关于$x$的一元二次方程$ax^2+4x+c=0$有实数根的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,故答案为$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先明确一元二次方程有实根的判定条件，代入方程参数推导得到a和c的数量关系；第二步，因为是抽取两张卡片分别作为a、c，属于不放回的有序抽取，可通过列表法列举所有等可能的抽取结果，统计总情况数；第三步，筛选出满足a、c数量关系的结果数，最后用概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算概率即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+4x+c=0$，有实数根的条件为：
1. 二次项系数$a≠0$（本题卡片数字为1~4，天然满足）；
2. 判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，代入$b=4$得：
$4^2 - 4ac ≥ 0$，化简得$ac ≤ 4$。
接下来用列表法列出所有抽取结果：
|积\a|1|2|3|4|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|1| |2|3|4|
|2|2| |6|8|
|3|3|6| |12|
|4|4|8|12| |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中满足$ac≤4$的结果有6种。
因此方程有实数根的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列表法求概率
3. 概率计算
【点评】
本题是代数与概率的综合题，需要结合根的判别式确定符合条件的情况，再通过列举法统计结果，既考察基础知识点的掌握，也考察知识的综合应用能力，解题时要注意抽取的两张卡片对应不同的参数a、c，是有序抽取，避免统计情况数时出错。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先明确一元二次方程有实根的判定条件，代入方程参数推导得到a和c的数量关系；第二步，因为是抽取两张卡片分别作为a、c，属于不放回的有序抽取，可通过列表法列举所有等可能的抽取结果，统计总情况数；第三步，筛选出满足a、c数量关系的结果数，最后用概率公式（符合条件的结果数÷总等可能结果数）计算概率即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+4x+c=0$，有实数根的条件为：
1. 二次项系数$a≠0$（本题卡片数字为1~4，天然满足）；
2. 判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，代入$b=4$得：
$4^2 - 4ac ≥ 0$，化简得$ac ≤ 4$。
接下来用列表法列出所有抽取结果：
|积\a|1|2|3|4|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|1| |2|3|4|
|2|2| |6|8|
|3|3|6| |12|
|4|4|8|12| |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中满足$ac≤4$的结果有6种。
因此方程有实数根的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列表法求概率
3. 概率计算
【点评】
本题是代数与概率的综合题，需要结合根的判别式确定符合条件的情况，再通过列举法统计结果，既考察基础知识点的掌握，也考察知识的综合应用能力，解题时要注意抽取的两张卡片对应不同的参数a、c，是有序抽取，避免统计情况数时出错。
【难度系数】
0.7
5 上电脑课时，有一排桌上放有四台电脑，同学A先坐在如图的一台电脑前的座位上，B，C，D三位同学随机坐到其他三个座位上，则A与B两位同学坐在相邻电脑前的座位上的概率为
$\frac{2}{3}$
。答案
5.$\frac{2}{3}$
【解析】假设将从左到右的空座位依次记为①②③,画树状图如图.
共有6种等可能的结果,其中A与B相邻而坐的结果有4种,
∴ A与B两位同学坐在相邻电脑前的座位上的概率是$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先明确A的座位固定，仅需考虑B、C、D三人在剩余三个座位的排列情况；其次该问题属于3个元素的排列问题，可通过画树状图的方法不重不漏地列举出所有等可能的结果；接着结合A的位置，找出B与A相邻的所有符合条件的结果；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的结果数，即可算出最终概率。
【解析】
已知A固定在从左数第三个电脑座位上，将剩余的三个空座位从左到右依次记为①、②、③，画树状图如下：
由树状图可知，B、C、D三人的座位排列共有6种等可能的结果。
A在左数第三个位置，与A相邻的座位为②和③，即B坐在②或③时A、B相邻，统计得符合该条件的结果共有4种。
根据概率计算公式可得：$P(\mathrm{A与B相邻})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
树状图法求概率、概率计算公式、简单排列问题
【点评】
本题是概率计算的基础应用类题目，核心是掌握用树状图列举多步事件所有等可能结果的方法，解题时要先确定固定条件，再准确判断符合要求的事件对应的结果，避免出现漏数、错数的情况。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先明确A的座位固定，仅需考虑B、C、D三人在剩余三个座位的排列情况；其次该问题属于3个元素的排列问题，可通过画树状图的方法不重不漏地列举出所有等可能的结果；接着结合A的位置，找出B与A相邻的所有符合条件的结果；最后代入概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的结果数，即可算出最终概率。
【解析】
已知A固定在从左数第三个电脑座位上，将剩余的三个空座位从左到右依次记为①、②、③，画树状图如下：
由树状图可知，B、C、D三人的座位排列共有6种等可能的结果。
A在左数第三个位置，与A相邻的座位为②和③，即B坐在②或③时A、B相邻，统计得符合该条件的结果共有4种。
根据概率计算公式可得：$P(\mathrm{A与B相邻})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
树状图法求概率、概率计算公式、简单排列问题
【点评】
本题是概率计算的基础应用类题目，核心是掌握用树状图列举多步事件所有等可能结果的方法，解题时要先确定固定条件，再准确判断符合要求的事件对应的结果，避免出现漏数、错数的情况。
【难度系数】
0.7
6 新考向 传统文化 智慧的中国古代人民发明了用抽象的符号来表达丰富的含义.例如,符号“☰”有刚毅的含义,符号“☱”有愉快的含义.符号中的“--”表示“阴”,“—”表示“阳”,类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的.所有这些三行符号中,每一行只有一个阴或一个阳,且出现阴、阳的可能性相同.
(1)所有这些三行符号共有
(2)若随机画一个这样的三行符号,求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率.
(1)所有这些三行符号共有
8
种.(2)若随机画一个这样的三行符号,求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概率.
答案
6.【解】(1)画树状图如下：
共有8种等可能的结果.故答案为8.
(2)由(1)知,8种等可能的结果中,含有一个阴和两个阳的三行符号的结果有3种,所以$P$(画出含有一个阴和两个阳的三行符号)$=\frac{3}{8}$.
解析
【分析】
(1) 三行符号的每行都有“阴”“阳”2种等可能的选择，且每行的选择相互独立，我们可以通过画树状图分步列举每一行的所有可能，进而得到所有三行符号的总种类数。(2) 等可能事件的概率计算公式为$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$，因此我们只需从(1)得到的所有结果中，统计出含有1个阴和2个阳的结果数量，代入公式即可求出对应概率。
【解析】
(1) 根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，因此所有这些三行符号共有8种。
(2) 观察(1)中的树状图，8种等可能的结果里，含有1个阴和2个阳的三行符号的结果共有3种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{画出含有一个阴和两个阳的三行符号})=\frac{3}{8}$
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) $\boxed{\dfrac{3}{8}}$
【知识点】
树状图法；概率公式；等可能事件
【点评】
本题结合传统阴阳符号的文化背景考查概率计算，将传统文化与数学知识融合，解题的关键是正确用树状图列举所有等可能结果，准确匹配符合条件的结果后代入公式计算，整体难度不高，注重基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 三行符号的每行都有“阴”“阳”2种等可能的选择，且每行的选择相互独立，我们可以通过画树状图分步列举每一行的所有可能，进而得到所有三行符号的总种类数。(2) 等可能事件的概率计算公式为$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$，因此我们只需从(1)得到的所有结果中，统计出含有1个阴和2个阳的结果数量，代入公式即可求出对应概率。
【解析】
(1) 根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有8种等可能的结果，因此所有这些三行符号共有8种。
(2) 观察(1)中的树状图，8种等可能的结果里，含有1个阴和2个阳的三行符号的结果共有3种，根据概率公式可得：
$P(\mathrm{画出含有一个阴和两个阳的三行符号})=\frac{3}{8}$
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) $\boxed{\dfrac{3}{8}}$
【知识点】
树状图法；概率公式；等可能事件
【点评】
本题结合传统阴阳符号的文化背景考查概率计算，将传统文化与数学知识融合，解题的关键是正确用树状图列举所有等可能结果，准确匹配符合条件的结果后代入公式计算，整体难度不高，注重基础方法的考查。
【难度系数】
0.8
7 在一个不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外其他都相同.
(1)用画树状图法或列表法求从袋中随机取出两个球，都是黑球的概率.
(2)如果往袋中再放进$x$个白球和$y$个黑球，从中随机取一个球是白球的概率为$\frac{1}{3}$，求出$y$和$x$之间的函数关系式.
(1)用画树状图法或列表法求从袋中随机取出两个球，都是黑球的概率.
(2)如果往袋中再放进$x$个白球和$y$个黑球，从中随机取一个球是白球的概率为$\frac{1}{3}$，求出$y$和$x$之间的函数关系式.
答案
7.【解】(1)将三个黑球分别用A、B、C表示,两个白球分别用D、E表示.列表如下：
| |A|B|C|D|E|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|A| |(B,A)|(C,A)|(D,A)|(E,A)|
|B|(A,B)| |(C,B)|(D,B)|(E,B)|
|C|(A,C)|(B,C)| |(D,C)|(E,C)|
|D|(A,D)|(B,D)|(C,D)| |(E,D)|
|E|(A,E)|(B,E)|(C,E)|(D,E)| |
由表格可知一共有20种等可能的结果,其中从袋中随机取出两个球,都是黑球的结果有6种,
∴ 从袋中随机取出两个球,都是黑球的概率是$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
(2)由题意得$\frac{x+2}{3+2+x+y}=\frac{1}{3}$,
∴ $3x+6=5+x+y$,
∴ $y=2x+1$.
| |A|B|C|D|E|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|A| |(B,A)|(C,A)|(D,A)|(E,A)|
|B|(A,B)| |(C,B)|(D,B)|(E,B)|
|C|(A,C)|(B,C)| |(D,C)|(E,C)|
|D|(A,D)|(B,D)|(C,D)| |(E,D)|
|E|(A,E)|(B,E)|(C,E)|(D,E)| |
由表格可知一共有20种等可能的结果,其中从袋中随机取出两个球,都是黑球的结果有6种,
∴ 从袋中随机取出两个球,都是黑球的概率是$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
(2)由题意得$\frac{x+2}{3+2+x+y}=\frac{1}{3}$,
∴ $3x+6=5+x+y$,
∴ $y=2x+1$.
解析
【分析】
(1) 本题是不放回抽取两个球的古典概型计算问题，所有抽取结果可能性相等。解题时先给每个球做标记区分，再用列表法列举出所有等可能的抽取结果，统计总结果数和取出两个都是黑球的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
(2) 加入新球后，先明确此时袋中白球总个数和球的总个数，根据“随机取一个球是白球的概率为$\frac{1}{3}$”，利用概率公式列等式，再对等式进行化简整理，就能得到y与x的函数关系式。
【解析】
(1) 将三个黑球分别用A、B、C表示，两个白球分别用D、E表示，列表如下：
| |A|B|C|D|E|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|A| |(B,A)|(C,A)|(D,A)|(E,A)|
|B|(A,B)| |(C,B)|(D,B)|(E,B)|
|C|(A,C)|(B,C)| |(D,C)|(E,C)|
|D|(A,D)|(B,D)|(C,D)| |(E,D)|
|E|(A,E)|(B,E)|(C,E)|(D,E)| |
由表格可知一共有20种等可能的结果，其中从袋中随机取出两个球，都是黑球的结果有6种，
∴ 从袋中随机取出两个球，都是黑球的概率是$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
(2) 由题意得，加入球后袋中白球共有$(x+2)$个，球的总个数为$3+2+x+y=5+x+y$，根据取到白球的概率为$\frac{1}{3}$列等式：
$\frac{x+2}{5+x+y}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3(x+2)=5+x+y$
整理得：$3x+6=5+x+y$
∴ $y=2x+1$
【答案】
(1) $\frac{3}{10}$；(2) $y=2x+1$
【知识点】
列表法求概率，概率公式，函数关系式推导
【点评】
本题是概率的基础综合题，第一问考查用列表法计算概率，解题时要注意不放回抽取的特点，避免重复计数或漏计；第二问结合概率公式建立等式化简即可得到函数关系，掌握概率的基本计算公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是不放回抽取两个球的古典概型计算问题，所有抽取结果可能性相等。解题时先给每个球做标记区分，再用列表法列举出所有等可能的抽取结果，统计总结果数和取出两个都是黑球的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
(2) 加入新球后，先明确此时袋中白球总个数和球的总个数，根据“随机取一个球是白球的概率为$\frac{1}{3}$”，利用概率公式列等式，再对等式进行化简整理，就能得到y与x的函数关系式。
【解析】
(1) 将三个黑球分别用A、B、C表示，两个白球分别用D、E表示，列表如下：
| |A|B|C|D|E|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|A| |(B,A)|(C,A)|(D,A)|(E,A)|
|B|(A,B)| |(C,B)|(D,B)|(E,B)|
|C|(A,C)|(B,C)| |(D,C)|(E,C)|
|D|(A,D)|(B,D)|(C,D)| |(E,D)|
|E|(A,E)|(B,E)|(C,E)|(D,E)| |
由表格可知一共有20种等可能的结果，其中从袋中随机取出两个球，都是黑球的结果有6种，
∴ 从袋中随机取出两个球，都是黑球的概率是$\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。
(2) 由题意得，加入球后袋中白球共有$(x+2)$个，球的总个数为$3+2+x+y=5+x+y$，根据取到白球的概率为$\frac{1}{3}$列等式：
$\frac{x+2}{5+x+y}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3(x+2)=5+x+y$
整理得：$3x+6=5+x+y$
∴ $y=2x+1$
【答案】
(1) $\frac{3}{10}$；(2) $y=2x+1$
【知识点】
列表法求概率，概率公式，函数关系式推导
【点评】
本题是概率的基础综合题，第一问考查用列表法计算概率，解题时要注意不放回抽取的特点，避免重复计数或漏计；第二问结合概率公式建立等式化简即可得到函数关系，掌握概率的基本计算公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
