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三、解答题
11.已知一个正数的两个平方根分别为a和2a－6.
(1)求a的值，并求这个正数；
(2)求10a＋7的立方根.
11.已知一个正数的两个平方根分别为a和2a－6.
(1)求a的值，并求这个正数；
(2)求10a＋7的立方根.
答案
11.解:(1)由平方根的性质得,a+2a-6=0,
解得 a=2,
∴这个正数为 2²=4;
(2)当 a=2 时,10a+7=27,
∵27 的立方根是 3.
∴10a+7 的立方根为 3.
解得 a=2,
∴这个正数为 2²=4;
(2)当 a=2 时,10a+7=27,
∵27 的立方根是 3.
∴10a+7 的立方根为 3.
解析
【分析】
解题时先回忆平方根的相关性质：一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为0。第一问可依据该性质列关于a的一元一次方程，解出a的值后，对a取平方即可得到这个正数；第二问先把求得的a代入10a+7算出结果，再根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
(1)由平方根的性质得，a+2a-6=0，
合并同类项得3a-6=0，解得a=2，
∴这个正数为2²=4；
(2)当a=2时，10a+7=10×2+7=27，
∵3³=27，即27的立方根是3，
∴10a+7的立方根为3。
【答案】
(1)a的值为2，这个正数是4；(2)10a+7的立方根为3
【知识点】
平方根的性质，立方根的计算
【点评】
本题考查平方根与立方根的基础性质，解题的关键是掌握正数的两个平方根互为相反数的特点，整体计算量小，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平方根的相关性质：一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为0。第一问可依据该性质列关于a的一元一次方程，解出a的值后，对a取平方即可得到这个正数；第二问先把求得的a代入10a+7算出结果，再根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
(1)由平方根的性质得，a+2a-6=0，
合并同类项得3a-6=0，解得a=2，
∴这个正数为2²=4；
(2)当a=2时，10a+7=10×2+7=27，
∵3³=27，即27的立方根是3，
∴10a+7的立方根为3。
【答案】
(1)a的值为2，这个正数是4；(2)10a+7的立方根为3
【知识点】
平方根的性质，立方根的计算
【点评】
本题考查平方根与立方根的基础性质，解题的关键是掌握正数的两个平方根互为相反数的特点，整体计算量小，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
12.如图，已知$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，$∠ A = ∠ C$，试猜想：AB与EC之间有怎样的位置关系？并说明理由。
答案
12.解:AB//CE,理由如下:
∵∠1+∠2=180°,
∴AD//BC,
∴∠ADE=∠C,
∵∠A=∠C,
∴∠ADE=∠A,
∴AB//CE.
∵∠1+∠2=180°,
∴AD//BC,
∴∠ADE=∠C,
∵∠A=∠C,
∴∠ADE=∠A,
∴AB//CE.
解析
【分析】要判断AB与EC的位置关系，结合已知角的条件可优先考虑平行关系。解题思路如下：第一步，根据∠1+∠2=180°，利用平行线的判定定理推出AD和BC平行；第二步，利用平行线的性质得到与∠C相等的角；第三步，结合已知∠A=∠C，通过等量代换得到能判定AB和EC平行的角的关系，最终得出结论。
【解析】AB$\mathbin{/\mkern-5mu/}$CE，理由如下：
$\because ∠ 1+∠ 2=180°$，
$\therefore AD\mathbin{/\mkern-5mu/}BC$（同旁内角互补，两直线平行），
$\therefore ∠ ADE=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
$\because ∠ A=∠ C$，
$\therefore ∠ ADE=∠ A$（等量代换），
$\therefore AB\mathbin{/\mkern-5mu/}CE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】AB$\mathbin{/\mkern-5mu/}$CE
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】本题属于平行线相关的基础综合题，核心考查平行线判定和性质的综合应用，解题时需要理清角的关系和平行线的对应逻辑，按步骤推导即可得出结果。
【难度系数】0.8
【解析】AB$\mathbin{/\mkern-5mu/}$CE，理由如下：
$\because ∠ 1+∠ 2=180°$，
$\therefore AD\mathbin{/\mkern-5mu/}BC$（同旁内角互补，两直线平行），
$\therefore ∠ ADE=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
$\because ∠ A=∠ C$，
$\therefore ∠ ADE=∠ A$（等量代换），
$\therefore AB\mathbin{/\mkern-5mu/}CE$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】AB$\mathbin{/\mkern-5mu/}$CE
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】本题属于平行线相关的基础综合题，核心考查平行线判定和性质的综合应用，解题时需要理清角的关系和平行线的对应逻辑，按步骤推导即可得出结果。
【难度系数】0.8
13.今年“五一”假期，盛开的蓝花楹成了某市的人气“顶流”。为了吸引更多的游客前来打卡，某商家推出A，B两种关于春城蓝花楹的不同明信片套盒。已知1套A种明信片和1套B种明信片的总价为13元，2套A种明信片和3套B种明信片的总价为31元。
(1)请求出A，B两种明信片的单价各是多少；
(2)某顾客计划购买A，B两种明信片共10套，其中A种明信片的数量不低于B种明信片的数量，且总费用不超过72元。该顾客有哪几种购买方案？
(1)请求出A，B两种明信片的单价各是多少；
(2)某顾客计划购买A，B两种明信片共10套，其中A种明信片的数量不低于B种明信片的数量，且总费用不超过72元。该顾客有哪几种购买方案？
答案
13.解:(1)设 A 种明信片的单价是 x 元/套,B 种明信片的单价是 y 元/套,
根据题意,得$\begin{cases}x+y=13, \\2x+3y=31,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8, \\y=5.\end{cases}$
答:A 种明信片的单价是 8 元/套,B 种明信片的单价是 5 元/套.
(2)设该顾客购买 m 套 A 种明信片,则购买(10-m)套 B 种明信片,
根据题意,得$\begin{cases}m≥10-m, \\8m+5(10-m)≤72,\end{cases}$
解得$5≤ m≤ \dfrac{22}{3}$.
又
∵m 为正整数,
∴m 的取值可以为 5,6,7.
∴该顾客有 3 种购买方案,分别为:
方案 1:购买 5 套 A 种明信片,10-5=5(套)B种明信片;
方案 2:购买 6 套 A 种明信片,10-6=4(套)B种明信片;
方案 3:购买 7 套 A 种明信片,10-7=3(套)B种明信片.
根据题意,得$\begin{cases}x+y=13, \\2x+3y=31,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=8, \\y=5.\end{cases}$
答:A 种明信片的单价是 8 元/套,B 种明信片的单价是 5 元/套.
(2)设该顾客购买 m 套 A 种明信片,则购买(10-m)套 B 种明信片,
根据题意,得$\begin{cases}m≥10-m, \\8m+5(10-m)≤72,\end{cases}$
解得$5≤ m≤ \dfrac{22}{3}$.
又
∵m 为正整数,
∴m 的取值可以为 5,6,7.
∴该顾客有 3 种购买方案,分别为:
方案 1:购买 5 套 A 种明信片,10-5=5(套)B种明信片;
方案 2:购买 6 套 A 种明信片,10-6=4(套)B种明信片;
方案 3:购买 7 套 A 种明信片,10-7=3(套)B种明信片.
解析
【分析】
（1）第一问求两种明信片的单价，题干给出两个明确等量关系：1套A种和1套B种总价13元、2套A种和3套B种总价31元，我们可以设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）第二问是购买方案设计题，已知总购买套数为10套，设A种购买m套，则B种为(10-m)套，根据两个限制条件：A种数量不低于B种数量、总费用不超过72元，列一元一次不等式组求出m的取值范围，再结合m为正整数的实际要求，即可得到所有符合条件的购买方案。
【解析】
(1) 设A种明信片的单价是x元/套，B种明信片的单价是y元/套，
根据题意，得$\begin{cases}x+y=13, \\2x+3y=31,\end{cases}$
由第一个方程得x=13-y，代入第二个方程得2(13-y)+3y=31，解得y=5，将y=5代入x=13-y得x=8，
解得$\begin{cases}x=8, \\y=5.\end{cases}$
答：A种明信片的单价是8元/套，B种明信片的单价是5元/套。
(2) 设该顾客购买m套A种明信片，则购买(10-m)套B种明信片，
根据题意，得$\begin{cases}m≥10-m, \\8m+5(10-m)≤72,\end{cases}$
解第一个不等式得m≥5，解第二个不等式得3m≤22，即m≤$\dfrac{22}{3}$，
因此不等式组的解集为$5≤ m≤ \dfrac{22}{3}$。
∵m为正整数，
∴m的取值可以为5,6,7，对应3种购买方案：
方案1：购买5套A种明信片，10-5=5(套)B种明信片；
方案2：购买6套A种明信片，10-6=4(套)B种明信片；
方案3：购买7套A种明信片，10-7=3(套)B种明信片。
【答案】
(1) A种明信片单价为8元/套，B种明信片单价为5元/套；
(2) 共有3种购买方案：①购买A种5套，B种5套；②购买A种6套，B种4套；③购买A种7套，B种3套。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一元一次不等式组的应用
3. 方案设计问题
【点评】
本题是贴合生活实际的应用类题型，是方程与不等式综合应用的典型题，解题关键是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，同时要注意未知数的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求两种明信片的单价，题干给出两个明确等量关系：1套A种和1套B种总价13元、2套A种和3套B种总价31元，我们可以设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）第二问是购买方案设计题，已知总购买套数为10套，设A种购买m套，则B种为(10-m)套，根据两个限制条件：A种数量不低于B种数量、总费用不超过72元，列一元一次不等式组求出m的取值范围，再结合m为正整数的实际要求，即可得到所有符合条件的购买方案。
【解析】
(1) 设A种明信片的单价是x元/套，B种明信片的单价是y元/套，
根据题意，得$\begin{cases}x+y=13, \\2x+3y=31,\end{cases}$
由第一个方程得x=13-y，代入第二个方程得2(13-y)+3y=31，解得y=5，将y=5代入x=13-y得x=8，
解得$\begin{cases}x=8, \\y=5.\end{cases}$
答：A种明信片的单价是8元/套，B种明信片的单价是5元/套。
(2) 设该顾客购买m套A种明信片，则购买(10-m)套B种明信片，
根据题意，得$\begin{cases}m≥10-m, \\8m+5(10-m)≤72,\end{cases}$
解第一个不等式得m≥5，解第二个不等式得3m≤22，即m≤$\dfrac{22}{3}$，
因此不等式组的解集为$5≤ m≤ \dfrac{22}{3}$。
∵m为正整数，
∴m的取值可以为5,6,7，对应3种购买方案：
方案1：购买5套A种明信片，10-5=5(套)B种明信片；
方案2：购买6套A种明信片，10-6=4(套)B种明信片；
方案3：购买7套A种明信片，10-7=3(套)B种明信片。
【答案】
(1) A种明信片单价为8元/套，B种明信片单价为5元/套；
(2) 共有3种购买方案：①购买A种5套，B种5套；②购买A种6套，B种4套；③购买A种7套，B种3套。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 一元一次不等式组的应用
3. 方案设计问题
【点评】
本题是贴合生活实际的应用类题型，是方程与不等式综合应用的典型题，解题关键是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，同时要注意未知数的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
14.在平面直角坐标系$xOy$中,对于点$P(x,y)$,若点$Q$坐标为$(-x,y+2x)$,则称点$Q$为点$P$的“关联点”.
例如,点$P(1,2)$,则点$Q(-1,4)$是点$P$的“关联点”.
(1)若点$Q_1$是点$P_1(2,3)$的“关联点”,则点$Q_1$的坐标为________;
(2)若点$Q_2$是点$P_2(-1,t-1)$的“关联点”,且点$Q_2$在$x$轴上,求$t$的值;
(3)若点$Q_3$是点$P_3(t,-t-3)$的“关联点”,且线段$P_3Q_3$与$x$轴有交点,直接写出$t$的取值范围.
例如,点$P(1,2)$,则点$Q(-1,4)$是点$P$的“关联点”.
(1)若点$Q_1$是点$P_1(2,3)$的“关联点”,则点$Q_1$的坐标为________;
(2)若点$Q_2$是点$P_2(-1,t-1)$的“关联点”,且点$Q_2$在$x$轴上,求$t$的值;
(3)若点$Q_3$是点$P_3(t,-t-3)$的“关联点”,且线段$P_3Q_3$与$x$轴有交点,直接写出$t$的取值范围.
答案
14.解:(1)$(-2,7)$;
(2)$P_2(-1,t-1)$的关联点$Q_2$的坐标为$(1,t-1-2)$,即$(1,t-3)$,
∵点$Q_2$在$x$轴上,
∴$t-3=0$,
∴$t=3$;
(3)$P_3(t,-t-3)$的关联点$Q_3$的坐标为$(-t,-t-3+2t)$,即$(-t,t-3)$,
∵线段$P_3Q_3$与$x$轴有交点,
∴$P_3Q_3$的纵坐标异号或至少一个为 0,
∴$\begin{cases}t-3≥0, \\-t-3≤0\end{cases}$或$\begin{cases}t-3≤0, \\-t-3≥0\end{cases}$
∴解得:$t≥3$或$t≤-3$,
∴$t$的取值范围为$t≥3$或$t≤-3$.
(2)$P_2(-1,t-1)$的关联点$Q_2$的坐标为$(1,t-1-2)$,即$(1,t-3)$,
∵点$Q_2$在$x$轴上,
∴$t-3=0$,
∴$t=3$;
(3)$P_3(t,-t-3)$的关联点$Q_3$的坐标为$(-t,-t-3+2t)$,即$(-t,t-3)$,
∵线段$P_3Q_3$与$x$轴有交点,
∴$P_3Q_3$的纵坐标异号或至少一个为 0,
∴$\begin{cases}t-3≥0, \\-t-3≤0\end{cases}$或$\begin{cases}t-3≤0, \\-t-3≥0\end{cases}$
∴解得:$t≥3$或$t≤-3$,
∴$t$的取值范围为$t≥3$或$t≤-3$.
解析
【分析】
本题围绕新定义“关联点”展开，解题时首先明确关联点的坐标变换规则：若点P坐标为$(x,y)$，则其关联点Q的坐标为$(-x,y+2x)$。①第(1)问直接将$P_1$的横、纵坐标代入变换规则计算即可得到$Q_1$的坐标；②第(2)问先按照规则求出$Q_2$的坐标，再结合x轴上的点纵坐标为0的特征，列方程求解t；③第(3)问先求出$P_3$和其关联点$Q_3$的纵坐标，线段与x轴有交点说明两点的纵坐标符号相反或至少有一个为0，据此列不等式组求解即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 已知点$P_1(2,3)$，根据关联点定义，$Q_1$的横坐标为$-2$，纵坐标为$3+2×2=7$，因此$Q_1$坐标为$(-2,7)$。
(2) 点$P_2(-1,t-1)$的关联点$Q_2$横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$(t-1)+2×(-1)=t-3$，即$Q_2(1,t-3)$。
∵点$Q_2$在x轴上，x轴上的点纵坐标为0，
∴$t-3=0$，解得$t=3$。
(3) 点$P_3(t,-t-3)$的关联点$Q_3$横坐标为$-t$，纵坐标为$(-t-3)+2t=t-3$，即$Q_3(-t,t-3)$。
∵线段$P_3Q_3$与x轴有交点，
∴$P_3$和$Q_3$的纵坐标异号或至少一个为0，可列不等式组：
$\begin{cases}t-3≥0 \\ -t-3≤0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}t-3≤0 \\ -t-3≥0\end{cases}$
解第一个不等式组得$t≥3$，解第二个不等式组得$t≤-3$。
【答案】
(1)$(-2,7)$；(2)$t=3$；(3)$t≥3$或$t≤-3$
【知识点】
新定义问题，坐标轴上点的特征，不等式组的应用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础性质，解题核心是准确理解“关联点”的坐标变换规则，再结合坐标的几何特征转化为方程或不等式求解，能有效考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕新定义“关联点”展开，解题时首先明确关联点的坐标变换规则：若点P坐标为$(x,y)$，则其关联点Q的坐标为$(-x,y+2x)$。①第(1)问直接将$P_1$的横、纵坐标代入变换规则计算即可得到$Q_1$的坐标；②第(2)问先按照规则求出$Q_2$的坐标，再结合x轴上的点纵坐标为0的特征，列方程求解t；③第(3)问先求出$P_3$和其关联点$Q_3$的纵坐标，线段与x轴有交点说明两点的纵坐标符号相反或至少有一个为0，据此列不等式组求解即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 已知点$P_1(2,3)$，根据关联点定义，$Q_1$的横坐标为$-2$，纵坐标为$3+2×2=7$，因此$Q_1$坐标为$(-2,7)$。
(2) 点$P_2(-1,t-1)$的关联点$Q_2$横坐标为$-(-1)=1$，纵坐标为$(t-1)+2×(-1)=t-3$，即$Q_2(1,t-3)$。
∵点$Q_2$在x轴上，x轴上的点纵坐标为0，
∴$t-3=0$，解得$t=3$。
(3) 点$P_3(t,-t-3)$的关联点$Q_3$横坐标为$-t$，纵坐标为$(-t-3)+2t=t-3$，即$Q_3(-t,t-3)$。
∵线段$P_3Q_3$与x轴有交点，
∴$P_3$和$Q_3$的纵坐标异号或至少一个为0，可列不等式组：
$\begin{cases}t-3≥0 \\ -t-3≤0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}t-3≤0 \\ -t-3≥0\end{cases}$
解第一个不等式组得$t≥3$，解第二个不等式组得$t≤-3$。
【答案】
(1)$(-2,7)$；(2)$t=3$；(3)$t≥3$或$t≤-3$
【知识点】
新定义问题，坐标轴上点的特征，不等式组的应用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础性质，解题核心是准确理解“关联点”的坐标变换规则，再结合坐标的几何特征转化为方程或不等式求解，能有效考查学生的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
