登录
16.先化简,再求值:$(4x^2y - xy) - 6(x^2y - \frac{1}{3}xy) + x^2y$,其中$x=-1,y=\frac{1}{2}.$
答案
16.解:原式$=4x^2y-xy-6x^2y+2xy+x^2y=(4-6+1)x^2y+(-1+2)xy=-x^2y+xy$.
因为$x=-1,y=\frac{1}{2}$,所以原式$=-(-1)^2×\frac{1}{2}+(-1)×\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$.
因为$x=-1,y=\frac{1}{2}$,所以原式$=-(-1)^2×\frac{1}{2}+(-1)×\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步走：第一步先化简整式，首先要正确去括号，注意括号前是负号时，括号里每一项都要变号，同时括号外的系数要乘遍括号内的每一项，不能漏乘；去完括号后找到同类项（所含字母相同、相同字母的指数也相同的项），合并同类项时只把系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式。第二步代入数值计算，先算乘方，再算乘法，最后算加减，这样比直接代入原式计算更简便，也不容易出错。
【解析】
解：先去括号：
原式$=4x^2y - xy - 6x^2y + 2xy + x^2y$
再合并同类项：
$=(4-6+1)x^2y + (-1+2)xy$
$=-x^2y + xy$
将$x=-1$，$y=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-(-1)^2×\frac{1}{2} + (-1)×\frac{1}{2}$
$=-1×\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$=-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1.去括号法则 2.合并同类项 3.整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查去括号的符号规则和合并同类项的方法，解题时要注意去括号时不要漏乘系数、不要搞错符号，代入数值计算时要遵循有理数的运算顺序，先化简再求值的方法能大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步走：第一步先化简整式，首先要正确去括号，注意括号前是负号时，括号里每一项都要变号，同时括号外的系数要乘遍括号内的每一项，不能漏乘；去完括号后找到同类项（所含字母相同、相同字母的指数也相同的项），合并同类项时只把系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式。第二步代入数值计算，先算乘方，再算乘法，最后算加减，这样比直接代入原式计算更简便，也不容易出错。
【解析】
解：先去括号：
原式$=4x^2y - xy - 6x^2y + 2xy + x^2y$
再合并同类项：
$=(4-6+1)x^2y + (-1+2)xy$
$=-x^2y + xy$
将$x=-1$，$y=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-(-1)^2×\frac{1}{2} + (-1)×\frac{1}{2}$
$=-1×\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$=-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1.去括号法则 2.合并同类项 3.整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查去括号的符号规则和合并同类项的方法，解题时要注意去括号时不要漏乘系数、不要搞错符号，代入数值计算时要遵循有理数的运算顺序，先化简再求值的方法能大幅降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
17.已知长方形的长是$(2a - 5b)\mathrm{m}$，宽比长少$(a - 2b)\mathrm{m}$。求：
(1)长方形的宽；
(2)长方形的周长。
(1)长方形的宽；
(2)长方形的周长。
答案
17.解:(1)由题意,得长方形的宽为$(2a-5b)-(a-2b)=2a-5b-a+2b=(a-3b)\mathrm{m}$.
答:长方形的宽为$(a-3b)\mathrm{m}$.
(2)由(1),得长方形的周长为$[(2a-5b)+(a-3b)]×2=(3a-8b)×2=(6a-16b)\mathrm{m}$.
答:长方形的周长为$(6a-16b)\mathrm{m}$.
答:长方形的宽为$(a-3b)\mathrm{m}$.
(2)由(1),得长方形的周长为$[(2a-5b)+(a-3b)]×2=(3a-8b)×2=(6a-16b)\mathrm{m}$.
答:长方形的周长为$(6a-16b)\mathrm{m}$.
解析
【分析】
（1）要求长方形的宽，题目明确宽比长少$(a-2b)\mathrm{m}$，因此直接用长的代数式减去少的长度即可，计算时注意去括号的规则：括号前是减号，去掉括号后括号内各项要变号，再合并同类项就能得到结果。
（2）要求长方形的周长，首先回忆长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，把已知的长和第（1）问求出的宽代入公式，先计算括号内的加法，再乘2，正确完成整式加减运算即可。
【解析】
(1) 根据题意，长方形的宽为长减去$(a-2b)\mathrm{m}$，列式计算：
$\begin{split}(2a-5b)-(a-2b)&=2a-5b-a+2b\\&=(2a-a)+(-5b+2b)\\&=(a-3b)\mathrm{m}\end{split}$
(2) 代入长方形周长公式计算：
$\begin{split}\mathrm{周长}&=2×[(2a-5b)+(a-3b)]\\&=2×(3a-8b)\\&=(6a-16b)\mathrm{m}\end{split}$
【答案】
(1) 长方形的宽为$(a-3b)\mathrm{m}$；
(2) 长方形的周长为$(6a-16b)\mathrm{m}$。
【知识点】
整式加减运算、长方形周长公式、合并同类项
【点评】
本题属于代数运算与几何公式结合的基础题，解题关键是准确理解题意列出代数式，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
（1）要求长方形的宽，题目明确宽比长少$(a-2b)\mathrm{m}$，因此直接用长的代数式减去少的长度即可，计算时注意去括号的规则：括号前是减号，去掉括号后括号内各项要变号，再合并同类项就能得到结果。
（2）要求长方形的周长，首先回忆长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，把已知的长和第（1）问求出的宽代入公式，先计算括号内的加法，再乘2，正确完成整式加减运算即可。
【解析】
(1) 根据题意，长方形的宽为长减去$(a-2b)\mathrm{m}$，列式计算：
$\begin{split}(2a-5b)-(a-2b)&=2a-5b-a+2b\\&=(2a-a)+(-5b+2b)\\&=(a-3b)\mathrm{m}\end{split}$
(2) 代入长方形周长公式计算：
$\begin{split}\mathrm{周长}&=2×[(2a-5b)+(a-3b)]\\&=2×(3a-8b)\\&=(6a-16b)\mathrm{m}\end{split}$
【答案】
(1) 长方形的宽为$(a-3b)\mathrm{m}$；
(2) 长方形的周长为$(6a-16b)\mathrm{m}$。
【知识点】
整式加减运算、长方形周长公式、合并同类项
【点评】
本题属于代数运算与几何公式结合的基础题，解题关键是准确理解题意列出代数式，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
18.已知代数式$A=-a^2+4ab-2a$，小虎同学在做整式的加减运算时，误将“$A+B$”看成了“$A-B$”，计算的结果是$-2a^2+3ab$.根据以上信息，求出代数式$B$，并计算“$A+B$”的结果.
答案
18.解:依题意,得$A-B=-2a^2+3ab$,
所以$B=A-(-2a^2+3ab)$
$=(-a^2+4ab-2a)-(-2a^2+3ab)$
$=-a^2+4ab-2a+2a^2-3ab$
$=a^2+ab-2a$,
所以$A+B=(-a^2+4ab-2a)+(a^2+ab-2a)=5ab-4a$.
所以$B=A-(-2a^2+3ab)$
$=(-a^2+4ab-2a)-(-2a^2+3ab)$
$=-a^2+4ab-2a+2a^2-3ab$
$=a^2+ab-2a$,
所以$A+B=(-a^2+4ab-2a)+(a^2+ab-2a)=5ab-4a$.
解析
【分析】
解题时首先根据小虎误算的情况，明确A与B的差是已知结果$-2a^2+3ab$，根据“减数=被减数-差”的数量关系，用A减去这个错误结果即可求出B；求出B后，再将A和B代入$A+B$，通过去括号、合并同类项就能算出正确结果。
【解析】
解：依题意，得$A-B=-2a^2+3ab$，
所以$B=A-(-2a^2+3ab)$
将$A=-a^2+4ab-2a$代入得：
$\begin{aligned}B&=(-a^2+4ab-2a)-(-2a^2+3ab)\\&=-a^2+4ab-2a+2a^2-3ab\\&=a^2+ab-2a\end{aligned}$
再计算$A+B$：
$\begin{aligned}A+B&=(-a^2+4ab-2a)+(a^2+ab-2a)\\&=-a^2+4ab-2a+a^2+ab-2a\\&=5ab-4a\end{aligned}$
【答案】
$B=a^2+ab-2a$；$A+B=5ab-4a$
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础应用题，解题核心是利用错误的运算关系先推导求出代数式B，运算过程中要注意去括号时的符号变化，合并同类项时需找准同类项再计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据小虎误算的情况，明确A与B的差是已知结果$-2a^2+3ab$，根据“减数=被减数-差”的数量关系，用A减去这个错误结果即可求出B；求出B后，再将A和B代入$A+B$，通过去括号、合并同类项就能算出正确结果。
【解析】
解：依题意，得$A-B=-2a^2+3ab$，
所以$B=A-(-2a^2+3ab)$
将$A=-a^2+4ab-2a$代入得：
$\begin{aligned}B&=(-a^2+4ab-2a)-(-2a^2+3ab)\\&=-a^2+4ab-2a+2a^2-3ab\\&=a^2+ab-2a\end{aligned}$
再计算$A+B$：
$\begin{aligned}A+B&=(-a^2+4ab-2a)+(a^2+ab-2a)\\&=-a^2+4ab-2a+a^2+ab-2a\\&=5ab-4a\end{aligned}$
【答案】
$B=a^2+ab-2a$；$A+B=5ab-4a$
【知识点】
整式的加减；去括号法则；合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础应用题，解题核心是利用错误的运算关系先推导求出代数式B，运算过程中要注意去括号时的符号变化，合并同类项时需找准同类项再计算。
【难度系数】
0.7
19.一个两位数,个位上的数字不为0,且个位上的数字与十位上的数字不同,把十位上的数字与个位上的数字对调,得到一个新的两位数.试说明原来的两位数与新的两位数的差一定能被9整除.
答案
19.解:设原来的两位数是$10a+b$,则调换位置后的新的两位数是$10b+a$.
因为$(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)$,且a与b都是整数,$a≠b$,
所以原来的两位数与新的两位数的差一定能被9整除.
因为$(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)$,且a与b都是整数,$a≠b$,
所以原来的两位数与新的两位数的差一定能被9整除.
解析
【分析】
要判断两个数的差能不能被9整除，我们可以先把这两个数用字母表示出来再计算差值。首先回忆两位数的组成：十位上的数字乘10加个位上的数字就是这个两位数。我们可以设原来两位数十位数字是a，个位数字是b（a、b都是1到9的整数，且a≠b），先分别写出原数和对调后的新数，再求两个数的差，最后把差整理成含因数9的形式，就能证明差能被9整除啦。
【解析】
解：设原来的两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（a、b均为1~9的整数，且a≠b）。
则原来的两位数可表示为：$10a+b$
对调后得到的新两位数可表示为：$10b+a$
计算两个数的差：
$\begin{aligned}(10a+b)-(10b+a)&=10a+b-10b-a\\&=9a-9b\\&=9(a-b)\end{aligned}$
因为a、b都是整数，且a≠b，所以$a-b$也是不为0的整数，因此$9(a-b)$是9的倍数，即原来的两位数与新两位数的差一定能被9整除。
【答案】
原来的两位数与新的两位数的差一定能被9整除。
【知识点】
两位数的表示、代数式化简、整除性质
【点评】
本题属于数字类的代数应用题型，解题核心是正确用字母表示两位数，通过化简两个数的差找到公因数9，即可完成证明，能够锻炼学生用代数方法解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断两个数的差能不能被9整除，我们可以先把这两个数用字母表示出来再计算差值。首先回忆两位数的组成：十位上的数字乘10加个位上的数字就是这个两位数。我们可以设原来两位数十位数字是a，个位数字是b（a、b都是1到9的整数，且a≠b），先分别写出原数和对调后的新数，再求两个数的差，最后把差整理成含因数9的形式，就能证明差能被9整除啦。
【解析】
解：设原来的两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（a、b均为1~9的整数，且a≠b）。
则原来的两位数可表示为：$10a+b$
对调后得到的新两位数可表示为：$10b+a$
计算两个数的差：
$\begin{aligned}(10a+b)-(10b+a)&=10a+b-10b-a\\&=9a-9b\\&=9(a-b)\end{aligned}$
因为a、b都是整数，且a≠b，所以$a-b$也是不为0的整数，因此$9(a-b)$是9的倍数，即原来的两位数与新两位数的差一定能被9整除。
【答案】
原来的两位数与新的两位数的差一定能被9整除。
【知识点】
两位数的表示、代数式化简、整除性质
【点评】
本题属于数字类的代数应用题型，解题核心是正确用字母表示两位数，通过化简两个数的差找到公因数9，即可完成证明，能够锻炼学生用代数方法解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
20.将边长相等的黑、白两种颜色的小正方形按如图所示的方式拼接起来，第1个图由5个白色小正方形和1个黑色小正方形拼接而成，第2个图由8个白色小正方形和2个黑色小正方形拼接而成，第3个图由11个白色小正方形和3个黑色小正方形拼接而成……
(1)第4个图中白色小正方形的个数为
(2)第10个图中白色小正方形的个数为
(3)第n个图中白色小正方形的个数为
(4)是否存在某个图，其中白色小正方形的个数为2027？若存在，求出是第几个图；若不存在，请说明理由.
(1)第4个图中白色小正方形的个数为
14
.(2)第10个图中白色小正方形的个数为
32
.(3)第n个图中白色小正方形的个数为
$3n+2$
(用含n的代数式表示，结果化简).(4)是否存在某个图，其中白色小正方形的个数为2027？若存在，求出是第几个图；若不存在，请说明理由.
答案
20.解:(1)14
(2)32
(3)$3n+2$
(4)存在.
设第n个图中白色小正方形的个数为2027,则$3n+2=2027$,解得$n=675$,所以第675个图中白色小正方形的个数为2027.
(2)32
(3)$3n+2$
(4)存在.
设第n个图中白色小正方形的个数为2027,则$3n+2=2027$,解得$n=675$,所以第675个图中白色小正方形的个数为2027.
解析
【分析】
解题时先观察给出的前3个图中白色小正方形的数量，找出数量变化的规律：每增加1个黑色小正方形，白色小正方形就增加3个。先推导第n个图白色小正方形个数的通用表达式，再代入对应数值计算即可求解前3问；第4问将白色小正方形数量等于2027代入表达式，解出n若为正整数则存在对应的图。
【解析】
观察已知图形的白色小正方形数量：
第1个图：5个，可写作$3×1 + 2 = 5$
第2个图：8个，可写作$3×2 + 2 = 8$
第3个图：11个，可写作$3×3 + 2 = 11$
由此可得规律：第n个图中白色小正方形的个数为$3n+2$。
(1) 第4个图代入$n=4$：$3×4 + 2 = 14$
(2) 第10个图代入$n=10$：$3×10 + 2 = 32$
(3) 由上述规律推导，第n个图白色小正方形个数为$3n+2$
(4) 假设存在这样的图，令$3n+2=2027$，解得$n=(2027-2)÷3=675$，n是正整数，因此存在对应的图。
【答案】
(1)14
(2)32
(3)$3n+2$
(4)存在，第675个图中白色小正方形的个数为2027。
【知识点】
图形规律探究；代数式求值；解方程
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察前几组数据的变化特征总结通用规律，再利用规律解决实际问题，这类题型能锻炼观察归纳能力，掌握等差型规律的推导方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的前3个图中白色小正方形的数量，找出数量变化的规律：每增加1个黑色小正方形，白色小正方形就增加3个。先推导第n个图白色小正方形个数的通用表达式，再代入对应数值计算即可求解前3问；第4问将白色小正方形数量等于2027代入表达式，解出n若为正整数则存在对应的图。
【解析】
观察已知图形的白色小正方形数量：
第1个图：5个，可写作$3×1 + 2 = 5$
第2个图：8个，可写作$3×2 + 2 = 8$
第3个图：11个，可写作$3×3 + 2 = 11$
由此可得规律：第n个图中白色小正方形的个数为$3n+2$。
(1) 第4个图代入$n=4$：$3×4 + 2 = 14$
(2) 第10个图代入$n=10$：$3×10 + 2 = 32$
(3) 由上述规律推导，第n个图白色小正方形个数为$3n+2$
(4) 假设存在这样的图，令$3n+2=2027$，解得$n=(2027-2)÷3=675$，n是正整数，因此存在对应的图。
【答案】
(1)14
(2)32
(3)$3n+2$
(4)存在，第675个图中白色小正方形的个数为2027。
【知识点】
图形规律探究；代数式求值；解方程
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察前几组数据的变化特征总结通用规律，再利用规律解决实际问题，这类题型能锻炼观察归纳能力，掌握等差型规律的推导方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
