登录
1 [2026 安徽芜湖期中，中]某店对售价为a元/千克的水果进行降价，拟采取三种方案，方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次均降价20%。降价最多的是（
A.方案一
B.方案二
C.方案三
D.不能确定
A
）A.方案一
B.方案二
C.方案三
D.不能确定
答案
1.A 【解析】方案一:$a-(1-10\%)(1-30\%)a = a-63\%a=37\%a$,
方案二:$a-(1-20\%)(1-15\%)a=a-68\%a=32\%a$,
方案三:$a-(1-20\%)(1-20\%)a=a-64\%a=36\%a$.
因为 $a＞0$, 所以 $37\%a＞36\%a＞32\%a$, 所以方案一降价最多,故选 A.
方案二:$a-(1-20\%)(1-15\%)a=a-68\%a=32\%a$,
方案三:$a-(1-20\%)(1-20\%)a=a-64\%a=36\%a$.
因为 $a＞0$, 所以 $37\%a＞36\%a＞32\%a$, 所以方案一降价最多,故选 A.
2[2026 湖北黄冈期中，中]已知多项式$2ax^4 +5ax^3 -8x^2 -x^4 +1 +2x +3x^3 -bx^4 -13x^3$是关于x的二次多项式，则$a^2 +b^2 +2024$等于（
A.2029
B.2037
C.2049
D.2053
B
）A.2029
B.2037
C.2049
D.2053
答案
2.B 【解析】因为 $2ax^4+5ax^3-8x^2-x^4+1+2x+3x^3-bx^4-13x^3=(2a-1-b)x^4+(5a-10)x^3-8x^2+2x+1$,该多项式是关于 $x$ 的二次多项式, 所以 $2a-1-b=0$ 且 $5a-10=0$. 由 $5a-10=0$,得 $a=2$. 把 $a=2$ 代入 $2a-1-b=0$, 得 $2×2-1-b=0$, 即 $3-b=0$, 得 $b=3$, 所以 $a^2+b^2+2\ 024=2^2+3^2+2\ 024=2\ 037$. 故选 B.
3[2025北京海淀区期中,中]若关于x,y的单项式中,x的指数与y的指数是相等的正整数,则称该单项式是“等次单项式”,如$x^2y^2,-3xy$.给出下面四个结论:
①$-2x^3y^3$是“等次单项式”;
②“等次单项式”的次数可能是奇数;
③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”;
④若五个“等次单项式”的次数均不高于8,则它们中必有同类项.
所有正确结论的序号是 (
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
①$-2x^3y^3$是“等次单项式”;
②“等次单项式”的次数可能是奇数;
③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”;
④若五个“等次单项式”的次数均不高于8,则它们中必有同类项.
所有正确结论的序号是 (
B
)A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
3.B 【解析】由题意可知,$-2x^3y^3$是“等次单项式”,故①正确;“等次单项式”中 $x$ 和 $y$ 的次数相同,次数和一定是偶数,即“等次单项式”的次数一定是偶数,故②错误;两个次数相等的“等次单项式”的和可以为 0,故③错误;若五个“等次单项式”的次数均不高于 8,则这五个“等次单项式”的次数可能为 2 或 4 或 6 或 8,有 4 种情况,所以一定有同类项,故④正确. 故选 B.
4[2026湖北武汉期末，中]已知$m,n$为正整数，若多项式$2a^2b - a^3b^2 + 3a^{m-1}b^n$合并同类项后只有两项，则$m+n$的值为
6 或 4
。答案
4.6 或 4 【解析】因为多项式 $2a^2b-a^3b^2+3a^{m-1}b^n$ 合并同类项后只有两项, 所以 $3a^{m-1}b^n$ 和 $-a^3b^2$ 是同类项或 $3a^{m-1}b^n$ 和 $2a^2b$ 是同类项. ①当 $3a^{m-1}b^n$ 和 $-a^3b^2$ 是同类项时, $m-1=3,n=2$, 所以 $m=4,n=2$, 所以 $m+n=4+2=6$; ②当 $3a^{m-1}b^n$ 和 $2a^2b$ 是同类项时, $m-1=2,n=1$, 所以 $m=3,n=1$, 所以 $m+n=3+1=4$. 综上可知, $m+n$ 的值为 6 或 4. 故答案为 6 或 4.
5[中]对于两个互不相等的有理数$a,b$,规定符号$(a,b)$表示$a,b$两个数中较小的一个,规定符号$[a,b]$表示$a,b$两个数中较大的一个.
例如:$(3,1)=1,[-1,3]=3$.
(1)计算:$(-2,3)+[-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{4}]=$
(2)化简:$(m,m-2)+3[-m,-m-1]=$
例如:$(3,1)=1,[-1,3]=3$.
(1)计算:$(-2,3)+[-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{4}]=$
$-\dfrac{9}{4}$
;(2)化简:$(m,m-2)+3[-m,-m-1]=$
$-2-2m$
.答案
5.(1)$-\dfrac{9}{4}$ (2)$-2-2m$ 【解析】(1)由题意可知$(-2,3)+[-\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{4}]=-2+(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{9}{4}$.
(2)
$m-2＜m$，$-m＞-m-1$，$(m,m-2)=m-2$，$[-m,-m-1]=-m$，$(m,m-2)+3[-m,-m-1]=m-2+3×(-m)=-2-2m$.6[2026 山西太原期中,中]某品牌手机后视摄像头可以抽象成如图的图形,其中有一个圆环的主体,大圆的半径为$r$,与大圆同圆心的空白小圆的半径为$\frac{1}{2}r$,在圆环中有三个半径为$\frac{1}{6}r$的小圆,还有一个由两个直径为$\frac{1}{6}r$的半圆和一个长为$2a$、宽为$\frac{1}{6}r$的长方形组成的平面图形.
(1)求阴影部分的面积.(用含$r$和$a$的代数式表示)
(2)当$r=12\ \mathrm{mm},a=3\ \mathrm{mm}$时,计算阴影部分的面积.($π$取3)
(1)求阴影部分的面积.(用含$r$和$a$的代数式表示)
(2)当$r=12\ \mathrm{mm},a=3\ \mathrm{mm}$时,计算阴影部分的面积.($π$取3)
答案
6.【解】(1)阴影部分的面积为 $π r^2-π(\frac{1}{2}r)^2-3π(\frac{1}{6}r)^2-π(\frac{1}{6}r÷2)^2-\frac{1}{6}r·2a=π r^2-\frac{1}{4}π r^2-\frac{1}{12}π r^2-\frac{1}{144}π r^2-\frac{1}{3}ra=\frac{95}{144}π r^2-\frac{1}{3}ra$.
答:阴影部分的面积为 $\frac{95}{144}π r^2-\frac{1}{3}ra$.
(2)当 $r=12\ \mathrm{mm},a=3\ \mathrm{mm},π=3$ 时,原式$=\frac{95}{144}×3×12^2-\frac{1}{3}×12×3=273(\mathrm{mm}^2)$.
答:阴影部分的面积为 $273\ \mathrm{mm}^2$.
答:阴影部分的面积为 $\frac{95}{144}π r^2-\frac{1}{3}ra$.
(2)当 $r=12\ \mathrm{mm},a=3\ \mathrm{mm},π=3$ 时,原式$=\frac{95}{144}×3×12^2-\frac{1}{3}×12×3=273(\mathrm{mm}^2)$.
答:阴影部分的面积为 $273\ \mathrm{mm}^2$.
7 核心素养符号意识[难]类比同类项的概念，我们规定:所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如:$-x^3y^4$与$2x^4y^3$是“强同类项”.
(1)给出下列四个单项式:①$5x^2y^5$；②$-x^5y^5$；③$4x^4y^4$；④$-2x^3y^6$.其中与$x^4y^5$是“强同类项”的是
(2)若$x^3y^4z^{m-2}$与$-2x^2y^3z^6$是“强同类项”，求m的值；
(3)已知$2a^2b^s,3a^tb^4$均为关于a,b的单项式，其中$s=|x-1|+k,t=2k$，如果$2a^2b^s,3a^tb^4$是“强同类项”，那么x的最大值是
(1)给出下列四个单项式:①$5x^2y^5$；②$-x^5y^5$；③$4x^4y^4$；④$-2x^3y^6$.其中与$x^4y^5$是“强同类项”的是
②③④
;(填写序号)(2)若$x^3y^4z^{m-2}$与$-2x^2y^3z^6$是“强同类项”，求m的值；
(3)已知$2a^2b^s,3a^tb^4$均为关于a,b的单项式，其中$s=|x-1|+k,t=2k$，如果$2a^2b^s,3a^tb^4$是“强同类项”，那么x的最大值是
$\dfrac{11}{2}$
，最小值是$-\dfrac{7}{2}$
.答案
7.【解】(1)因为$|2-4|=|-2|=2,|5-5|=0$,所以①$5x^2y^5$与$x^4y^5$不是“强同类项”.
因为$|5-4|=1,|5-5|=0$,所以②$-x^5y^5$与$x^4y^5$是“强同类项”.
因为$|4-4|=0,|4-5|=|-1|=1$,所以③$4x^4y^4$与$x^4y^5$是“强同类项”.
因为$|3-4|=|-1|=1,|6-5|=1$,所以④$-2x^3y^6$与$x^4y^5$是“强同类项”,所以②③④与$x^4y^5$是“强同类项”,故答案为②③④.
(2)因为$x^3y^4z^{m-2}$与$-2x^2y^3z^6$是“强同类项”,所以$m-2=5$或6或7,所以$m=7$或8或9.
(3)因为$2a^2b^s,3a^tb^4$是“强同类项”,所以$s=3$或4或5,$t=1$或2或3.
因为$t=2k$,所以$k=\frac{1}{2}$或1或$\frac{3}{2}$.
因为$s=|x-1|+k$,所以$|x-1|=s-k$,当$s$取最大值,$k$取最小值时,$|x-1|$取得最大值,此时$x$有最大值和最小值,即当$s=5,k=\frac{1}{2}$时,$|x-1|$的最大值为$s-k=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$,解得$x=\frac{11}{2}$或$-\frac{7}{2}$,所以$x$的最大值为$\frac{11}{2}$,$x$的最小值为$-\frac{7}{2}$.故答案为$\frac{11}{2},-\frac{7}{2}$.
因为$|5-4|=1,|5-5|=0$,所以②$-x^5y^5$与$x^4y^5$是“强同类项”.
因为$|4-4|=0,|4-5|=|-1|=1$,所以③$4x^4y^4$与$x^4y^5$是“强同类项”.
因为$|3-4|=|-1|=1,|6-5|=1$,所以④$-2x^3y^6$与$x^4y^5$是“强同类项”,所以②③④与$x^4y^5$是“强同类项”,故答案为②③④.
(2)因为$x^3y^4z^{m-2}$与$-2x^2y^3z^6$是“强同类项”,所以$m-2=5$或6或7,所以$m=7$或8或9.
(3)因为$2a^2b^s,3a^tb^4$是“强同类项”,所以$s=3$或4或5,$t=1$或2或3.
因为$t=2k$,所以$k=\frac{1}{2}$或1或$\frac{3}{2}$.
因为$s=|x-1|+k$,所以$|x-1|=s-k$,当$s$取最大值,$k$取最小值时,$|x-1|$取得最大值,此时$x$有最大值和最小值,即当$s=5,k=\frac{1}{2}$时,$|x-1|$的最大值为$s-k=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$,解得$x=\frac{11}{2}$或$-\frac{7}{2}$,所以$x$的最大值为$\frac{11}{2}$,$x$的最小值为$-\frac{7}{2}$.故答案为$\frac{11}{2},-\frac{7}{2}$.
