1[2025浙江杭州期末,中]如图,直线AB,CD交于点O,OF⊥CD.若∠EOB=90°,OD平分∠BOG,则下列角中,与∠DOG互余的是()

A.∠AOC
B.∠COE
C.∠EOF
D.∠BOG

（第1题图）
（第3题图）

B 【解析】因为 ∠EOB = 90°, 所以∠AOE = 90°, 所以∠AOC + ∠COE = ∠EOF + ∠BOF = 90°. 因为 OF ⊥ CD, 所以∠COF = ∠DOF = 90°, 所以∠COE + ∠EOF = ∠BOF + ∠BOD = 90°, 所以∠AOC = ∠EOF = ∠BOD. 因为 OD 平分∠BOG, 所以∠DOG = ∠DOB. 因为 ∠AOC = ∠DOB, 所以 ∠AOC = ∠EOF = ∠BOD = ∠DOG, 所以与∠DOG 互余的角是∠BOF, ∠COE, 故选 B.

2[2025江苏徐州期末，较难]在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（）

A.20°
B.55°
C.20°或125°
D.20°或55°

C 【解析】因为∠A 与∠B 的两边分别垂直, 所以∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180°. 设∠B = x°, 则∠A = (3x - 40)°. 分类讨论如下: ①如图(1), 当∠A = ∠B 时, 3x - 40 = x, 解得 x = 20, 则∠A = 20°; ②如图(2), 当∠A + ∠B = 180°时, 3x - 40 + x = 180, 解得 x = 55, 则∠A = 125°. 综上所述, ∠A 的度数为 20°或 125°. 故选 C.


易错警示：注意分类讨论,避免漏解.

3[2026江苏南通调研,中]如图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=135°.将直角三角板MON绕点O旋转一周,当直线OM与直线OC互相垂直时,∠AOM的度数是.

135°或45° 【解析】因为∠BOC = 135°, 所以∠AOC = 180° - 135° = 45°. 当 OM 在直线 OC 的右侧时, 如图(1), 因为 OM ⊥ OC, 所以∠COM = 90°, 所以∠AOM = ∠AOC + ∠COM = 135°. 当 OM 在直线 OC 的左侧时, 如图(2), 因为 OM ⊥ OC, 所以∠COM = 90°, 所以∠AOM = ∠COM - ∠AOC = 45°. 故答案为 135°或 45°.


易错警示：分OM在直线OC的右侧和OM在直线OC的左侧两种情况求解,注意不能漏解.

4 [2025江苏泰州质检,难]
如图，OE ⊥ AB于点O，∠COE=∠DOE=15°，射线OM从OA出发，绕点O以每秒60°的速度顺时针向终边OB旋转，同时，射线ON从OB出发，绕点O以每秒30°的速度顺时针向终边OD旋转，当OM，ON中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止旋转。在旋转过程中，设∠MOC = x°，∠NOE = y°(∠MOC，∠NOE均小于180°)，则x与y之间的数量关系为。

x+2y=255 或 x-2y=105 【解析】因为 OE ⊥ AB, 所以∠AOE = ∠BOE = 90°. 因为 ∠COE = ∠DOE = 15°, 所以∠AOC = 90° - ∠COE = 75°, ∠BOD = 90° - ∠DOE = 75°. 设旋转时间为 t 秒, 则∠AOM = 60°t, ∠BON = 30°t. 因为射线 OM 从 OA 出发旋转到终边 OB 所需时间为 180°/60° = 3 (秒), 射线 ON 从 OB 出发旋转到终边 OD 所需时间为 75°/30° = 2.5 (秒), 所以 0 ≤ t ≤ 2.5. 当 OM 与 OC 在一条直线上时, ∠AOM + ∠AOC = 180°, 即 60°t + 75° = 180°, 解得 t = 1.75.
①如图(1), 当 0 ≤ t ≤ 1.75 时, ∠MOC = ∠AOM + ∠AOC, ∠NOE = 90° - ∠BON. 因为 ∠MOC = x°, ∠NOE = y°, 所以 x° = 60°t + 75°, y° = 90° - 30°t, 所以 x° - 75° = 60°t = 180° - 2y°, 即 x° + 2y° = 255°, 所以 x + 2y = 255.

②如图(2), 当 1.75 ＜ t ≤ 2.5 时, ∠MOC = 360° - ∠AOM - ∠AOC, ∠NOE = 90° - ∠BON. 因为 ∠MOC = x°, ∠NOE = y°, 所以 x° = 360° - 60°t - 75° = 285° - 60°t, y° = 90° - 30°t, 所以 285° - x° = 60°t = 180° - 2y°, 即 x° - 2y° = 105°, 所以 x - 2y = 105. 综上, x+2y=255 或 x-2y=105, 故答案为 x+2y=255 或 x-2y=105.
关键点拨：本题注意针对旋转时间分情况讨论.

5[2025江苏盐城期末,中]如图,已知∠AOB=30°.
(1)若射线OC⊥OA,射线OD⊥OB,请你画出所有符合要求的图形;
(2)请根据(1)所画出的图形,求∠COD的度数.(∠COD为小于180°的角)

【解】(1)如图(1)(2)(3)(4)所示.




(2)如图(1), 因为∠AOB = 30°, 射线 OC ⊥ OA, 射线 OD ⊥ OB, 所以∠AOB + ∠BOC = 90°, ∠COD + ∠BOC = 90°, 所以∠AOB = ∠COD = 30°.
如图(2), 因为∠AOB = 30°, 射线 OC ⊥ OA, 射线 OD ⊥ OB, 所以∠AOB + ∠AOC + ∠BOD = 30° + 90° + 90° = 210°, 所以∠COD = 360° - 210° = 150°.
同理可得图(3)中, ∠AOB = ∠COD = 30°.
图(4)中, ∠COD = ∠COA + ∠BOD - ∠BOA = 90° + 90° - 30° = 150°.

6[2026上海虹口区期中,中]如图,直线AB和CD相交于点O,OE把∠AOC分成两部分,且∠AOE:∠COE=2:3,OF平分∠BOE.
(1)如图(1),若AB⊥CD,求∠BOF的度数;
(2)如图(2),若∠BOF=∠AOC+12°,则∠BOF的度数为.

刷素养 走向重高

(1)因为 AB ⊥ CD, 所以∠AOC = ∠BOC = 90°.
因为∠AOE:∠COE = 2:3, 所以∠AOE = 2/5 × 90° = 36°, ∠COE = 3/5 ×90° = 54°,
所以∠BOE = 90° + 54° = 144°.
因为 OF 平分∠BOE,
所以∠BOF = 1/2 ∠BOE = 72°.
(2)设∠AOC = x°. 因为∠AOE:∠COE = 2:3, OF 平分∠BOE,
所以∠AOE = 2/5 ∠AOC = 2/5 x°, ∠COE = 3/5 ∠AOC = 3/5 x°, ∠BOF = ∠EOF = 1/2 ∠BOE.
因为∠BOF = ∠AOC + 12° = x° + 12°,
∠BOE + ∠AOE = 180°, 所以 2(x + 12) + 2/5 x = 180, 解得 x = 65, 所以∠BOF = 65° + 12° = 77°.
故答案为 77°.

7 思想方法 分类讨论 [2025浙江杭州期末,较难]直线AB,CD相交于点O,过点O作OE⊥CD.
(1)如图(1),若∠BOD=27°44',求∠AOE的度数.
(2)如图(2),作射线OF,使∠EOF=∠AOE,则OD是∠BOF的平分线.请说明理由.
(3)在图(1)上作OG⊥AB,写出∠COG与∠AOE的数量关系,并说明理由.

【解】(1)因为 OE ⊥ CD, 所以∠COE = 90°, 所以∠AOC + ∠AOE = 90°. 因为 ∠BOD = 27°44' = ∠AOC, 所以∠AOE = 90° - 27°44' = 62°16'.
(2)因为 OE ⊥ CD, 所以∠COE = ∠DOE = 90°, 所以∠AOC + ∠AOE = ∠DOF + ∠EOF = 90°. 因为 ∠EOF = ∠AOE, 所以∠AOC = ∠DOF. 又因为 ∠AOC = ∠BOD, 所以∠BOD = ∠DOF, 即 OD 是∠BOF 的平分线.
(3)∠COG + ∠AOE = 180°或∠COG = ∠AOE.
理由如下:①当 OG 在 AB 下方时, 如图(1). 因为 OG ⊥ AB, 所以∠AOG = ∠BOG = 90°, 即∠AOE + ∠EOG = 90° = ∠DOG + ∠BOD. 因为 OE ⊥ CD, 所以∠COE = 90°, 即∠AOC + ∠AOE = 90°. 因为 ∠AOC = ∠BOD, 所以∠AOE = ∠DOG. 因为 ∠COG + ∠DOG = 180°, 所以∠COG + ∠AOE = 180°.

②当 OG 在 AB 上方时, 如图(2). 因为 OG ⊥ AB, 所以∠AOG = 90°, 即∠AOC + ∠COG = 90°. 因为 OE ⊥ CD, 所以∠COE = 90°, 即∠AOC + ∠AOE = 90°, 所以∠COG = ∠AOE.