1 [2024 上海静安区期中]下列说法正确的是 ()

A.若∠A+∠B＞∠C，则△ABC 为锐角三角形
B.若∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC 为锐角三角形
C.若 AB=BC=AC=2 cm，则△ABC 为锐角三角形
D.若∠A＜90°且∠B＜90°，则△ABC 为锐角三角形

1.C　[解析]A选项，当∠A = 20°，∠B = 100°，∠C = 60°时，满足∠A + ∠B＞∠C，但△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意；关键点拔　　　B选项，
∵∠A:∠B:∠C = 1:2:3，
∴∠A = $\frac{1}{1 + 2 + 3}$×180° = 30°，∠B = $\frac{2}{1 + 2 + 3}$×180° = 60°，∠C = $\frac{3}{1 + 2 + 3}$×180° = 90°，则△ABC为直角三角形，故原说法错误，不符合题意;C选项，若AB = BC = AC = 2cm，则△ABC为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意;
D选项，若∠A = 20°，∠B = 20°，满足∠A＜90°且∠B＜90°，则∠C = 140°，则△ABC不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意.故选C.

2 [2025 上海杨浦区期中]如图，将一副三角板的一边叠合，图中∠α 的大小为°。

2.75　[解析]如图，由题意可得∠ABC = 45°，∠ACB = 60°，
　　　　　　　　　　　　　　
∴　∠α = ∠BAC = 180°−∠ABC−∠ACB = 180°−45°−60° = 75°，故答案为75.

3 如图，在△ABC 中，BD⊥AC，垂足为点 D，∠C=∠ABC=2∠A. 求∠DBC 的度数.

3.[解]在△ABC中，
∵∠C = ∠ABC = 2∠A，
∴∠A = $\frac{180°}{2 + 2 + 1}$ = 36°，
∴∠C = 2∠A = 2×36° = 72°.
∵BD⊥AC，垂足为点D，
∴∠BDC = 90°，
∴∠DBC = 180°−∠BDC−∠C = 180°−90°−72° = 18°.　　　　　　　　　　　　　　　　　　＞思路分析

4 如图，∠A，∠1，∠2 的大小关系是 ()

A.∠A＞∠1＞∠2
B.∠2＞∠1＞∠A
C.∠A＞∠2＞∠1
D.∠2＞∠A＞∠1

4.B　[解析]由∠1是∠A所在三角形的一个外角，得∠1＞∠A；由∠2是∠1所在三角形的一个外角，得∠2＞∠1，故∠2＞∠1＞∠A.

5 已知直线 PQ//MN，△ABC 的顶点 A 与 B 分别在直线 MN 与 PQ 上，点 C 在直线 AB 的右侧，且∠C=45°，设∠CBQ=∠α，∠CAN=∠β.
(1)如图(1)，当点 C 落在 PQ 的上方时，AC 与 PQ 相交于点 D，求证：∠β=∠α+45°。

请将下列推理过程补充完整：
证明：∵∠CDQ 是△CBD 的一个外角(三角形外角的定义)，
∴∠CDQ=∠α+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
∵PQ//MN()，
∴∠CDQ=∠β()，
∴∠β=(等量代换).
∵∠C=45°(已知)，∴∠β=∠α+45°(等量代换).
(2)如图(2)，当点 C 落在直线 MN 的下方时，BC 与 MN 交于点 F，请判断∠α 与∠β 的数量关系，并说明理由.

5.(1)[证明]
∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），
∴∠CDQ = ∠α + ∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.
∵PQ//MN（已知），
∴∠CDQ = ∠β（两直线平行，同位角相等），
∴∠β = ∠α + ∠C（等量代换）.
∵∠C = 45°（已知），
∴∠β = ∠α + 45°（等量代换）.
　(2)[解]∠α = ∠β + 45°.理由如下:
∵∠CFN是△ACF的一个外角（三角形外角的定义），
∴∠CFN = ∠β + ∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.
∵PQ//MN（已知），
∴∠CFN = ∠α（两直线平行,同位角相等），
∴∠α = ∠β + ∠C（等量代换）.
∵∠C = 45°（已知），
∴∠α = ∠β + 45°（等量代换）.
　　　　　　　　易错警示
解答这类题时，一定要有正确的理论依据，不能仅凭直觉判断，此外，易忽略三角形外角的性质中“不相邻”这一条件，而错选A.

6 如图，已知△ABC，在 BC 的延长线上取点 D，E，连接 AD，AE，则下列式子中正确的是 ()

A.∠ACB＞∠ACD
B.∠ACB＞∠1+∠2+∠3
C.∠ACB＞∠2+∠3
D.以上都对

6.C　[解析]由三角形外角的性质可得∠ACB = ∠1 + ∠ADC = ∠1 + ∠2 + ∠3，则∠ACB＞∠2 + ∠3，无法得到∠ACB＞∠ACD.故选C.